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3. 如图，PA，PB，DE分别切$\odot O$于点A，B，C，DE分别交PA，PB于点D，E. 已知P到$\odot O$的切线长为8 cm，则$△ PDE$的周长为
16 cm
. 答案
3. 16 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，点P引的两条切线PA、PB长度均为8cm；点D引的两条切线DA、DC长度相等，点E引的两条切线EB、EC长度相等。接下来将△PDE的周长拆分为PD+DE+PE，再把DE拆分为DC+CE，利用相等的线段进行等量代换，即可将周长转化为PA+PB的和，从而求出结果。
【解析】
根据切线长定理可得：
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B，且切线长为8cm，
∴$PA=PB=8\mathrm{cm}$，
又
∵DE切$\odot O$于点C，D在PA上，E在PB上，
∴$DA=DC$，$EB=EC$，
∴$△ PDE$的周长为：
$C_{△ PDE}=PD+DE+PE$
$=PD+DC+CE+PE$
将$DC=DA$、$CE=EB$代入上式得：
$C_{△ PDE}=PD+DA+PE+EB=PA+PB$
$=8+8=16\mathrm{cm}$
【答案】
16 cm
【知识点】
切线长定理，等量代换，三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线部分的基础常考题，核心考查切线长定理的应用，解题的关键是通过线段等量代换将三角形周长转化为两条已知切线长的和，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，点P引的两条切线PA、PB长度均为8cm；点D引的两条切线DA、DC长度相等，点E引的两条切线EB、EC长度相等。接下来将△PDE的周长拆分为PD+DE+PE，再把DE拆分为DC+CE，利用相等的线段进行等量代换，即可将周长转化为PA+PB的和，从而求出结果。
【解析】
根据切线长定理可得：
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B，且切线长为8cm，
∴$PA=PB=8\mathrm{cm}$，
又
∵DE切$\odot O$于点C，D在PA上，E在PB上，
∴$DA=DC$，$EB=EC$，
∴$△ PDE$的周长为：
$C_{△ PDE}=PD+DE+PE$
$=PD+DC+CE+PE$
将$DC=DA$、$CE=EB$代入上式得：
$C_{△ PDE}=PD+DA+PE+EB=PA+PB$
$=8+8=16\mathrm{cm}$
【答案】
16 cm
【知识点】
切线长定理，等量代换，三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线部分的基础常考题，核心考查切线长定理的应用，解题的关键是通过线段等量代换将三角形周长转化为两条已知切线长的和，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B. 若$PA = 5$，则PB的长度为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. D
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，已知PA=5，要求PB的长度。解题时先回忆圆的切线相关性质，从圆外一点引圆的两条切线，对应切线长相等（即切线长定理），直接通过该定理建立PA和PB的等量关系，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，切点分别为A、B，且P为⊙O外一点，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴PB = PA，
又
∵PA = 5，
∴PB = 5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是基础题型，直接考查切线长定理的应用，熟练掌握定理内容即可快速得到答案，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
首先明确题目已知条件：点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，已知PA=5，要求PB的长度。解题时先回忆圆的切线相关性质，从圆外一点引圆的两条切线，对应切线长相等（即切线长定理），直接通过该定理建立PA和PB的等量关系，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，切点分别为A、B，且P为⊙O外一点，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴PB = PA，
又
∵PA = 5，
∴PB = 5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是基础题型，直接考查切线长定理的应用，熟练掌握定理内容即可快速得到答案，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别是P，C，D.若$AB = 10,AC = 6$,则BD的长是(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. B
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步，先找从点A引出的两条⊙O的切线AC、AP，可得AC=AP，得到AP的长度；第二步，用AB的长度减去AP的长度，算出PB的长度；第三步，找从点B引出的两条⊙O的切线BP、BD，可得BD=BP，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AP都是$\odot O$的切线，切点分别为C、P，
∴根据切线长定理，得$AC=AP=6$，
∵$AB=10$，
∴$PB=AB-AP=10-6=4$，
又
∵BP、BD都是$\odot O$的切线，切点分别为P、D，
∴根据切线长定理，得$BD=PB=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握切线长定理，找准从同一点引出的两条切线，将未知线段转化为已知线段的差计算即可。
【难度系数】
0.8
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步，先找从点A引出的两条⊙O的切线AC、AP，可得AC=AP，得到AP的长度；第二步，用AB的长度减去AP的长度，算出PB的长度；第三步，找从点B引出的两条⊙O的切线BP、BD，可得BD=BP，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AP都是$\odot O$的切线，切点分别为C、P，
∴根据切线长定理，得$AC=AP=6$，
∵$AB=10$，
∴$PB=AB-AP=10-6=4$，
又
∵BP、BD都是$\odot O$的切线，切点分别为P、D，
∴根据切线长定理，得$BD=PB=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握切线长定理，找准从同一点引出的两条切线，将未知线段转化为已知线段的差计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B是切点，且$∠ P = 60°$. 若$PA = 3$，则AB的长为
3
.答案
3. 3
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：PA、PB是$\odot O$的切线，可先联想到切线长定理，得到$PA=PB$，可知$△ PAB$为等腰三角形；再结合已知$∠ P=60°$，根据等边三角形的判定定理，可推出$△ PAB$是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出AB的长度。
【解析】
$\because PA、PB$是$\odot O$的切线，A、B为切点，
$\therefore$根据切线长定理可得：$PA=PB=3$，
$\therefore △ PAB$是等腰三角形，
又$\because ∠ P=60°$，
$\therefore △ PAB$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AB=PA=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，将切线长定理和等边三角形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握相关定理，通过切线长相等推导出等腰三角形，再结合角度判定等边三角形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：PA、PB是$\odot O$的切线，可先联想到切线长定理，得到$PA=PB$，可知$△ PAB$为等腰三角形；再结合已知$∠ P=60°$，根据等边三角形的判定定理，可推出$△ PAB$是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出AB的长度。
【解析】
$\because PA、PB$是$\odot O$的切线，A、B为切点，
$\therefore$根据切线长定理可得：$PA=PB=3$，
$\therefore △ PAB$是等腰三角形，
又$\because ∠ P=60°$，
$\therefore △ PAB$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AB=PA=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，将切线长定理和等边三角形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握相关定理，通过切线长相等推导出等腰三角形，再结合角度判定等边三角形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，P为$\odot O$外一点，$PA$，$PB$为$\odot O$的切线，$A$和$B$是切点，$BC$是$\odot O$的直径。求证：$AC // OP$。
答案
证明:如图,连接AB,交OP于点D.
∵ PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴ PA = PB,∠1 = ∠2,
∴ PD ⊥ AB,即 ∠3 = 90°. 由 BC 是 ⊙O 的直径,知 ∠4 = 90°,
∴ ∠3 = ∠4,
∴ AC // OP.
解析
【分析】
要证明$AC // OP$，可通过证明两条直线的内错角相等，或证明两条直线垂直于同一条直线推导。首先结合已知条件分析：$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，结合等腰三角形三线合一的性质，可得$OP$垂直$AB$；再根据$BC$是$\odot O$的直径，由直径所对的圆周角为直角，可得$AC$垂直$AB$，此时$AC$、$OP$均垂直于$AB$，即可推出平行，因此作辅助线连接$AB$作为沟通两组关系的桥梁即可解题。
【解析】
证明：连接$AB$，交$OP$于点$D$。
$\because PA$，$PB$分别切$\odot O$于点$A$，$B$，
$\therefore$由切线长定理得$PA = PB$，$OP$平分$∠ APB$，即$∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore$在等腰$△ PAB$中，$PD ⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即$∠ 3 = 90°$，
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore$直径所对的圆周角$∠ CAB=90°$，即$∠ 4 = 90°$，
$\therefore ∠ 3 = ∠ 4$（内错角相等），
$\therefore AC // OP$。
【答案】
证明:如图,连接AB,交OP于点D.
∵ PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴ PA = PB,∠1 = ∠2,
∴ PD ⊥ AB,即 ∠3 = 90°. 由 BC 是 ⊙O 的直径,知 ∠4 = 90°,
∴ ∠3 = ∠4,
∴ AC // OP.
【知识点】
切线长定理，圆周角定理，平行线的判定
【点评】
本题是圆与平行线判定的综合基础题，解题的关键是合理连接辅助线$AB$，借助切线长定理和直径的性质得到相等的内错角，进而推导平行，属于圆章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.75
要证明$AC // OP$，可通过证明两条直线的内错角相等，或证明两条直线垂直于同一条直线推导。首先结合已知条件分析：$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，结合等腰三角形三线合一的性质，可得$OP$垂直$AB$；再根据$BC$是$\odot O$的直径，由直径所对的圆周角为直角，可得$AC$垂直$AB$，此时$AC$、$OP$均垂直于$AB$，即可推出平行，因此作辅助线连接$AB$作为沟通两组关系的桥梁即可解题。
【解析】
证明：连接$AB$，交$OP$于点$D$。
$\because PA$，$PB$分别切$\odot O$于点$A$，$B$，
$\therefore$由切线长定理得$PA = PB$，$OP$平分$∠ APB$，即$∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore$在等腰$△ PAB$中，$PD ⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即$∠ 3 = 90°$，
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore$直径所对的圆周角$∠ CAB=90°$，即$∠ 4 = 90°$，
$\therefore ∠ 3 = ∠ 4$（内错角相等），
$\therefore AC // OP$。
【答案】
证明:如图,连接AB,交OP于点D.
∵ PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴ PA = PB,∠1 = ∠2,
∴ PD ⊥ AB,即 ∠3 = 90°. 由 BC 是 ⊙O 的直径,知 ∠4 = 90°,
∴ ∠3 = ∠4,
∴ AC // OP.
【知识点】
切线长定理，圆周角定理，平行线的判定
【点评】
本题是圆与平行线判定的综合基础题，解题的关键是合理连接辅助线$AB$，借助切线长定理和直径的性质得到相等的内错角，进而推导平行，属于圆章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.75
5. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别是A，B，直线EF也是$\odot O$的切线，切点为Q，交PA，PB于点E，F，$PA = 12\ \mathrm{cm}$，$∠ P = 40°$.
（1）求$△ PEF$的周长；
（2）求$∠ EOF$的度数.
（1）求$△ PEF$的周长；
（2）求$∠ EOF$的度数.
答案
(1) 24 cm;(2) 70°
解析
【分析】
（1）求解△PEF的周长可借助切线长定理转化线段长度：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此PA=PB，EB=EQ，FQ=FA，将△PEF的周长拆分重组后可转化为PA与PB的和，代入已知PA的长度即可计算结果。
（2）求解∠EOF的度数，先连接OA、OB、OQ，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA、OB⊥PB、OQ⊥EF，先通过四边形内角和计算出∠AOB的度数，再证明OE、OF分别平分∠BOQ和∠AOQ，即可推出∠EOF为∠AOB的一半，代入计算即可。
【解析】
（1）
∵PA、PB是$\odot O$的切线，EF也是$\odot O$的切线
∴根据切线长定理可得：$PA=PB=12\ \mathrm{cm}$，$EB=EQ$，$FQ=FA$
$\begin{aligned}△ PEF\mathrm{的周长}&=PE+EF+PF\\&=PE+EQ+QF+PF\\&=PE+EB+FA+PF\\&=PB+PA\\&=12+12\\&=24\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
（2）连接OA、OB、OQ，
∵PA、PB、EF都是$\odot O$的切线
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OQ⊥ EF$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，因此：
$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-40°=140°$
又
∵$OB=OQ$，$OE=OE$，$∠ OBE=∠ OQE=90°$
∴$\mathrm{Rt}△ OBE≌\mathrm{Rt}△ OQE(\mathrm{HL})$，可得$∠ BOE=∠ QOE$
同理可证$\mathrm{Rt}△ OAF≌\mathrm{Rt}△ OQF(\mathrm{HL})$，可得$∠ AOF=∠ QOF$
$\begin{aligned}\therefore∠ EOF&=∠ QOE+∠ QOF\\&=\frac{1}{2}∠ BOQ+\frac{1}{2}∠ AOQ\\&=\frac{1}{2}∠ AOB\\&=\frac{1}{2}×140°\\&=70°\end{aligned}$
【答案】
(1) $24\ \mathrm{cm}$；(2) $70°$
【知识点】
切线长定理；切线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线相关的基础应用题，解题的关键是熟练运用切线长定理完成线段和角的等量转化，掌握切线的性质、全等三角形的判定等知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）求解△PEF的周长可借助切线长定理转化线段长度：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此PA=PB，EB=EQ，FQ=FA，将△PEF的周长拆分重组后可转化为PA与PB的和，代入已知PA的长度即可计算结果。
（2）求解∠EOF的度数，先连接OA、OB、OQ，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA、OB⊥PB、OQ⊥EF，先通过四边形内角和计算出∠AOB的度数，再证明OE、OF分别平分∠BOQ和∠AOQ，即可推出∠EOF为∠AOB的一半，代入计算即可。
【解析】
（1）
∵PA、PB是$\odot O$的切线，EF也是$\odot O$的切线
∴根据切线长定理可得：$PA=PB=12\ \mathrm{cm}$，$EB=EQ$，$FQ=FA$
$\begin{aligned}△ PEF\mathrm{的周长}&=PE+EF+PF\\&=PE+EQ+QF+PF\\&=PE+EB+FA+PF\\&=PB+PA\\&=12+12\\&=24\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
（2）连接OA、OB、OQ，
∵PA、PB、EF都是$\odot O$的切线
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OQ⊥ EF$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，因此：
$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-40°=140°$
又
∵$OB=OQ$，$OE=OE$，$∠ OBE=∠ OQE=90°$
∴$\mathrm{Rt}△ OBE≌\mathrm{Rt}△ OQE(\mathrm{HL})$，可得$∠ BOE=∠ QOE$
同理可证$\mathrm{Rt}△ OAF≌\mathrm{Rt}△ OQF(\mathrm{HL})$，可得$∠ AOF=∠ QOF$
$\begin{aligned}\therefore∠ EOF&=∠ QOE+∠ QOF\\&=\frac{1}{2}∠ BOQ+\frac{1}{2}∠ AOQ\\&=\frac{1}{2}∠ AOB\\&=\frac{1}{2}×140°\\&=70°\end{aligned}$
【答案】
(1) $24\ \mathrm{cm}$；(2) $70°$
【知识点】
切线长定理；切线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线相关的基础应用题，解题的关键是熟练运用切线长定理完成线段和角的等量转化，掌握切线的性质、全等三角形的判定等知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
