1.三角形的外接圆及外心:经过三角形三个顶点的圆叫作，三角形的外心是三角形的三条的交点，它到三角形三个顶点的距离。

1. 三角形的外接圆；边的垂直平分线；相等

【分析】
本题考查三角形外接圆与外心的基础概念，解题时只需回忆相关定义与性质即可：首先明确经过三角形三个顶点的圆的定义，再回忆外心的形成逻辑以及外心的距离性质，就能顺利完成三个空的填写。
【解析】
1. 第一个空：根据外接圆的官方定义，经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆；
2. 第二个空：三角形外心的定义就是三角形三条边的垂直平分线的交点；
3. 第三个空：结合线段垂直平分线的性质——垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，外心是三条边垂直平分线的公共交点，因此它到三角形三个顶点的距离相等。
【答案】
三角形的外接圆；边的垂直平分线；相等
【知识点】
外接圆的定义；外心的概念；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定义、性质的识记，是圆与三角形结合板块的入门级知识点，熟练记忆相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

2. 一个圆有条切线；过圆外一点，可以作圆的条切线。

2. 无数；2

【分析】
解题时先回忆切线的相关概念：首先思考切线的定义，圆上每一个点都可以作一条切线，圆上点的数量是无数个，因此第一空可推出答案；再思考点和圆的位置关系对应的切线条数，点在圆内时没有切线，点在圆上时有1条切线，点在圆外时有2条切线，因此第二空对应过圆外一点的切线条数即可得出答案。
【解析】
1. 第一空：根据切线的定义，与圆只有唯一公共点的直线叫做圆的切线。圆上有无数个不同的点，过每个点都能作出1条和圆仅交于该点的直线（即切线），因此一个圆有无数条切线。
2. 第二空：根据过定点作圆切线的规律：若点在圆内，没有切线；若点在圆上，可作1条切线；若点在圆外，可作2条切线。因此过圆外一点，可以作圆的2条切线。
【答案】
无数；2
【知识点】
1. 切线的定义
2. 点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对圆的切线基础性质的识记，只要熟练掌握切线相关的基础概念，就能快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 三角形的内心、外心
| 图形 | 名称 | 性质 | 位置 | 角度关系 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | 外心:外接圆的圆心或三角形三边垂直平分线交点 | | | $∠ BOC = 2∠ A$ |
续表
| 图形 | 名称 | 性质 | 位置 | 角度关系 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | | | |

外心部分：性质为外心到三角形三个顶点的距离相等；位置为锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。
内心部分：名称为内心:内切圆的圆心或三角形三条角平分线交点；性质为内心到三角形三边的距离相等；位置为始终在三角形内部；角度关系为$∠BIC=90°+\frac{1}{2}∠A$

【分析】
本题考查三角形外心与内心的基础概念，解题思路如下：
1. 先处理外心的空缺项：外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合垂直平分线“线上任意一点到线段两端点距离相等”的性质，可推出外心的核心性质；再分别分析锐角、直角、钝角三角形三边垂直平分线的交点位置，即可得到外心的位置规律。
2. 再处理续表的空缺项：对应外心的考查维度，可知续表考查的是内心：首先回忆内心的定义；结合角平分线“线上任意一点到角两边距离相等”的性质，可推出内心的核心性质；由于三角形的三条角平分线均位于三角形内部，因此交点位置固定在三角形内部；角度关系可结合三角形内角和定理，通过角平分线的角度等分关系推导得到。
【解析】
外心部分填空：
1. 性质：因为外心是三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。
2. 位置：
锐角三角形的三边垂直平分线交点在三角形内部；
直角三角形斜边的垂直平分线与斜边中线重合，因此外心在斜边中点处；
钝角三角形的三边垂直平分线交点在三角形外部。
内心部分填空：
1. 名称：内心：内切圆的圆心或三角形三条角平分线交点。
2. 性质：因为内心是三条角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）。
3. 位置：三角形的三条角平分线均在三角形内部，因此交点始终在三角形内部。
4. 角度关系推导：
在$△ BIC$中，由三角形内角和定理得$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)$
∵$IB$平分$∠ ABC$，$IC$平分$∠ ACB$
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$
代入得$∠ BIC=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
【答案】
外心部分：性质为外心到三角形三个顶点的距离相等；位置为锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。
内心部分：名称为内心:内切圆的圆心或三角形三条角平分线交点；性质为内心到三角形三边的距离相等；位置为始终在三角形内部；角度关系为$∠BIC=90°+\frac{1}{2}∠A$
【知识点】
三角形外心的性质；三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕三角形外心和内心的核心考点设题，是圆与三角形综合题型的基础，需要熟练掌握两个心的定义、性质、位置规律和常见角度结论，避免混淆两个心的性质特征。
【难度系数】
0.8

1. 与$△ ABC$三边都相切的圆的作法.
分析:与$△ ABC$三边都相切的圆的圆心,到三角形的三边的距离都等于,那么这个圆的圆心的位置,是三角形三条角平分线的交点.
第一步: 分别作 $∠ ABC,∠ ACB$ 的,两线交于点$I$.
第二步:过点$I$作$ID ⊥ BC$,垂足为点$D$.
第三步:以点$I$为圆心,以为半径,即可作出$△ ABC$的内切圆.

1. 内切圆的半径；角平分线；ID的长度

【分析】
要推导填空内容，我们结合三角形内切圆的相关性质分析：和三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，它的圆心叫内心。内心的核心性质是到三角形三边的距离相等，这个相等的距离就是内切圆的半径，同时内心是三角形三条角平分线的交点。基于这个性质可知作图时，先作两个内角的角平分线得到交点即内心，再取内心到任意一边的垂线段长度作为半径，就能画出内切圆，对应空缺内容可依次确定。
【解析】
第一个空：圆的切线到圆心的距离等于半径，因此与△ABC三边都相切的圆的圆心到三边的距离都等于该内切圆的半径，故填内切圆的半径；
第二个空：三角形的内心是三条角平分线的交点，作两个内角的角平分线即可得到交点I，也就是内心，故填角平分线；
第三个空：过点I作ID⊥BC，ID的长度就是内心到边的距离，即内切圆的半径，因此以I为圆心、ID的长度为半径即可作出内切圆，故填ID的长度。
【答案】
内切圆的半径；角平分线；ID的长度
【知识点】
三角形内切圆、内心的性质、角平分线的性质
【点评】
本题考查三角形内切圆的基础作图方法，侧重对基础概念、性质的理解和应用，掌握内心的定义与性质是解决这类作图题的核心，这类基础题是后续解决圆与三角形综合题型的重要铺垫。
【难度系数】
0.8

1. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=9$，$BC=14$，$CA=13$. 求$AF$，$BD$，$CE$的长度.

解：设$AF=x$，由切线长定理得$AE=AF=x$，$BD=BF=AB-AF=9-x$，$CD=CE=AC-AE=13-x$。
因为$BD+CD=BC$，所以$9-x+13-x=14$，解得$x=4$。
因此$AF=4$，$BD=9-4=5$，$CE=13-4=9$。

【分析】
看到题目中△ABC的内切圆与三边分别相切，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。由此可得AF=AE、BF=BD、CD=CE三组相等的线段。我们可以设AF的长度为x，将BD、CE都用含x的代数式表示，再结合BC=BD+CD的等量关系列一元一次方程，求解得到x的值后，就能分别算出AF、BD、CE的长度。
【解析】
解：设$AF=x$，根据切线长定理可得：
$AE=AF=x$，$BD=BF=AB-AF=9-x$，$CD=CE=AC-AE=13-x$。
又因为$BD+CD=BC$，代入已知长度得：
$9-x+13-x=14$
合并同类项得$22-2x=14$，
解得$x=4$。
因此$AF=4$，$BD=9-4=5$，$CE=13-4=9$。
【答案】
$AF=4$，$BD=5$，$CE=9$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆；一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题，解题的关键是熟练运用切线长定理找到相等的线段，通过设未知数列方程的方式将几何问题转化为代数问题求解，这类题型是圆与三角形结合的常考基础题型。
【难度系数】
0.8