2. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ B = 90°, AC = 13\ \mathrm{cm}, AB = 5\ \mathrm{cm}, \odot O$ 内切于 $△ ABC$, 求 $\odot O$ 的半径.

解：由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$。
方法1（面积法）：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC=\frac{1}{2}·(AB+BC+AC)· r$，代入得$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×(5+12+13)× r$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
方法2（直角三角形内切圆半径公式）：$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为$2\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时首先利用勾股定理求出直角三角形的第三条边BC的长度，再选择合适的方法计算内切圆半径：①面积法：将原三角形拆分为以内切圆圆心为顶点，分别以原三角形三边为底的三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径r，根据原三角形面积等于三个小三角形面积之和列等式求解；②直角三角形内切圆半径公式：直接利用直角三角形内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，代入数值计算即可。
【解析】
第一步：求BC的长度
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，$AC=13\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$
∴ 由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
方法1（面积法）：
设$\odot O$的半径为$r$，$\because \odot O$是$△ABC$的内切圆，$\therefore \odot O$到$△ABC$三边的距离均等于半径$r$
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r$，同时$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·BC$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×(5+12+13)×r$
解得：$r=2\ \mathrm{cm}$
方法2（直角三角形内切圆半径公式）：
直角三角形内切圆半径$r=\frac{两直角边的和-斜边}{2}$，代入数值得：
$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\odot O$的半径为$2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理，三角形内切圆，面积法
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，两种求解方法均需掌握：面积法适用于所有三角形的内切圆半径计算，直角三角形的专属公式计算更简便，解题时可根据情况灵活选用。
【难度系数】
0.8

1. 已知$△ ABC$的内心为$P$，下列说法错误的是()

A.$PA = PB = PC$
B.$P$在$△ ABC$的内部
C.$P$为$△ ABC$的3个内角平分线的交点
D.$P$到$△ ABC$三边距离相等

1. A

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形内心的相关定义和性质，再逐一比对每个选项的描述是否符合内心的特点，同时注意区分内心和外心的不同性质，避免混淆。解题时先明确内心是三角形内角平分线的交点，再结合角平分线的性质判断各选项正误即可。
【解析】
首先明确三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，据此逐一分析选项：
选项C：根据内心的定义，P是△ABC三个内角平分线的交点，描述正确，不符合题意；
选项B：任意三角形的内角平分线交点都在三角形内部，因此内心P一定在△ABC内部，描述正确，不符合题意；
选项D：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三个内角平分线的交点P到△ABC三边的距离都相等，描述正确，不符合题意；
选项A：PA=PB=PC是三角形外心（三边垂直平分线的交点）的性质，不是内心的性质，描述错误，符合题意。
综上，本题选说法错误的选项，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的定义；三角形内心的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查三角形内心和外心的性质区分，解题的关键是熟记内心的定义与相关性质，不要将内心（角平分线交点）和外心（垂直平分线交点）的性质混淆。
【难度系数】
0.8

1. 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心.若∠A = 80°, 则∠BOC 的度数为（）

A.130°
B.120°
C.100°
D.90°

1. A

【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆圆心（内心）的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。首先结合已知的∠A的度数，利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出两个角一半的和，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的内切圆圆心，
∴OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=80°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$。
在△BOC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是明确三角形内切圆圆心是三角形三条内角角平分线的交点，结合内角和定理即可逐步推导结果。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在 $□ OABC$ 中,以 $O$ 为圆心,$OC$ 为半径的 $\odot O$ 切 $AB$ 于点 $B$,$F$ 是圆上一动点,作直线 $AF$ 交 $\odot O$ 于
另一点 $E$,当 $EF = BC$ 时,$∠ OAF$ 的度数是 ()

A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

2. B

【分析】
首先根据切线的性质得到OB⊥AB，结合平行四边形对边平行的性质推出OB⊥OC，可得△OBC为等腰直角三角形，用半径表示出BC的长度；再由EF=BC推出△OEF为等腰直角三角形；接着利用切割线定理求出线段AE的长度，最后在△OAE中通过余弦定理计算∠OAF的度数即可。
【解析】
连接OB、OE，设⊙O的半径为R。
1.
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°。
2.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//OC，AB=OC=R，OA=BC。
3.
∵AB//OC，OB⊥AB，
∴OB⊥OC，又OB=OC=R，
∴△OBC是等腰直角三角形，可得$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2}R$，因此$OA=\sqrt{2}R$，$EF=BC=\sqrt{2}R$。
4. 在△OEF中，OE=OF=R，$EF=\sqrt{2}R$，满足$OE^2+OF^2=EF^2$，故△OEF是等腰直角三角形，∠EOF=90°。
5. 根据切割线定理：AB是⊙O的切线，AEF是⊙O的割线，
∴$AB^2=AE· AF$。设AE=x，则$AF=AE+EF=x+\sqrt{2}R$，代入AB=R得：$R^2=x(x+\sqrt{2}R)$，整理为$x^2+\sqrt{2}Rx-R^2=0$，解得$x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}R$（负根不符合实际，舍去）。
6. 在△OAE中，由余弦定理：
$\cos∠ OAF=\frac{OA^2+AE^2-OE^2}{2· OA· AE}$
代入$OA=\sqrt{2}R$，$AE=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}R$，$OE=R$计算得$\cos∠ OAF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ OAF=30°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；切割线定理
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的综合题，需要熟练掌握几何图形的基本性质，解题时要学会通过设参数表示各线段长度，结合代数方法求解几何问题。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ CAB = 90°$,I为$△ ABC$ 的内心,延长 $CI$ 交 $AB$ 于点 $D$,则 $∠ BIC =$ °。

3. 135°

【分析】
解题思路可分三步展开：第一步，回忆三角形内心的定义：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB；第二步，在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余，算出∠ABC与∠ACB的和；第三步，结合角平分线性质得到△BIC中两个底角的和，再用三角形内角和定理即可求出∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB=90°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ CAB=90°$，
∴$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在$△ BIC$中，$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-45°=135°$。
【答案】
135
【知识点】
三角形内心的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的三角形角度计算题，核心考点是三角形内心的性质，只要掌握内心是角平分线交点的特征，结合内角和定理就能快速求解，是三角形相关考点中的常见题型。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$分别与$AB,AC,BC$相切于点$D,E,F$.若$∠ C=90°$，$AC=6,BC=8$，则$\odot O$的半径等于.

4. 2

【分析】
要求直角三角形内切圆的半径，解题思路分为两步：第一步先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步可以通过面积法，将大三角形的面积拆分为以内切圆半径为高、原三角形三边为底的三个小三角形的面积和，建立等式求解半径，也可直接用直角三角形内切圆半径公式计算。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
设$\odot O$的半径为$r$，
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D、E、F$，
$\therefore$ 圆心$O$到三边的距离都等于半径$r$，
$△ ABC$的面积可表示为：$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$，
即 $\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × r + \frac{1}{2} × BC × r + \frac{1}{2} × AC × r$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × r × (10+8+6)$，
化简得：$24=12r$，
解得：$r=2$。
也可直接用直角三角形内切圆半径公式求解：$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2$，其中$a、b$为直角边，$c$为斜边。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，三角形内切圆性质，面积法计算
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础计算题，既可以通过面积法推导求解，也可以直接用直角三角形内切圆半径公式快速得出结果，解题的关键是先求出斜边长度，再结合内切圆的特征建立等量关系。
【难度系数】
0.8

5. 如图,点O是$△ ABC$的内心,AO的延长线和$△ ABC$的外接圆相交于点D,连接CD.求证:$OD = CD$.

提示:连接 OC

【分析】
要证明OD=CD，可通过证明△DOC是等腰三角形，即证∠DOC=∠DCO。首先根据提示连接辅助线OC，结合O是△ABC的内心，可得AO平分∠BAC、CO平分∠ACB；再利用同弧所对的圆周角相等，推出∠BAD=∠BCD，即∠OAC=∠BCD；最后通过角的和差关系及外角性质推导∠DOC和∠DCO相等，即可得证。
【解析】
证明：连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴∠OAC=∠BAD，∠ACO=∠BCO，
∵∠BAD与∠BCD均为弧BD所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∴∠OAC=∠BCD，
∵∠DOC是△AOC的外角，
∴∠DOC=∠OAC+∠ACO，
又
∵∠DCO=∠BCD+∠BCO，
将∠OAC=∠BCD，∠ACO=∠BCO代入可得：
∠DOC=∠BCD+∠BCO=∠DCO，
∴△DOC为等腰三角形，
∴OD=CD。
【答案】
OD=CD，得证。
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合应用题，解题的关键是正确添加辅助线，利用角平分线性质和圆周角定理完成角的等量代换，进而通过等腰三角形的判定证明线段相等。
【难度系数】
0.65