1. 正多边形需同时具备两个条件:①；②.
这两个条件是判定一个多边形是否为正多边形缺一不可的条件.

1. 各边相等 2. 各角相等

【分析】
这道题考查正多边形的基础判定条件，我们可以结合实例辅助理解：比如我们熟悉的正三角形（等边三角形）同时具备三条边相等、三个内角相等的特点；再通过反例验证两个条件缺一不可：菱形的四条边都相等，但内角不一定全部相等，因此不是正四边形（正方形）；矩形的四个内角都相等，但边不一定全部相等，也不是正四边形，由此就能明确正多边形需要同时满足的两个核心条件。
【解析】
根据正多边形的定义可知，正多边形指的是各边相等，且各角也相等的多边形，因此两个空依次填入对应的条件即可。
【答案】
①各边相等；②各角相等
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对正多边形判定条件的识记，学习时要注意两个条件必须同时满足，避免出现只记住单一条件的误区，日常学习要重视基础概念的理解和巩固。
【难度系数】
0.9

2. 圆的内接正多边形：
正多边形的外接圆：
圆的外切正多边形：
正多边形的内切圆：

1. 顶点都在同一圆上的正多边形 2. 正多边形的所有顶点都在其上的圆 3. 各边都与同一个圆相切的正多边形 4. 和正多边形的所有边都相切的圆

【分析】
这是一道概念识记类题目，解题时需先明确每个概念的描述主体，再结合位置特征梳理对应关系：①“圆的内接正多边形”主体是正多边形，核心特征是顶点都在给定圆上；②“正多边形的外接圆”主体是圆，核心特征是圆经过正多边形的所有顶点；③“圆的外切正多边形”主体是正多边形，核心特征是各边都和给定圆相切；④“正多边形的内切圆”主体是圆，核心特征是圆和正多边形的所有边都相切，结合上述特征对应填写定义即可。
【解析】
1. 圆的内接正多边形的定义为顶点都在同一圆上的正多边形；
2. 正多边形的外接圆的定义为正多边形的所有顶点都在其上的圆；
3. 圆的外切正多边形的定义为各边都与同一个圆相切的正多边形；
4. 正多边形的内切圆的定义为和正多边形的所有边都相切的圆。
【答案】
1. 顶点都在同一圆上的正多边形
2. 正多边形的所有顶点都在其上的圆
3. 各边都与同一个圆相切的正多边形
4. 和正多边形的所有边都相切的圆
【知识点】
圆内接正多边形概念；正多边形外接圆概念；正多边形内切圆概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对正多边形和圆相关定义的识记能力，解题时注意区分不同概念的主体和位置特征，熟记课本相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 如图,在$\odot O$的内接正六边形ABCDEF中,$OP ⊥ BC$于点P,则这个正六边形的中心为,它的半径为,中心角是,边心距为.

1. 点O 2. OB（或OA、OC、OD、OE、OF） 3. ∠BOC（或60°） 4. OP

【分析】
解答本题需先回忆正多边形与圆的相关概念：正多边形的中心是其外接圆的圆心，半径是外接圆的半径即中心到顶点的距离，中心角是正多边形的边所对的外接圆圆心角，边心距是中心到正多边形边的距离，结合图形对应判断即可。
【解析】
1. 正六边形内接于$\odot O$，其外接圆的圆心就是正六边形的中心，因此中心为点$O$；
2. 正多边形的半径是其外接圆的半径，即中心到任意顶点的线段，因此半径为$OB$（或$OA、OC、OD、OE、OF$）；
3. 中心角是正多边形的边所对的外接圆圆心角，正六边形有6条相等的边，对应中心角和为$360°$，因此单个中心角为$360°÷6=60°$，对应角为$∠ BOC$（或填$60°$）；
4. 边心距是中心到正多边形边的距离，已知$OP⊥ BC$，因此边心距为$OP$。
【答案】
1. 点$O$ 2. $OB$（或$OA、OC、OD、OE、OF$） 3. $∠ BOC$（或$60°$） 4. $OP$
【知识点】
正多边形与圆、正多边形相关概念、中心角计算
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距的定义，结合图形即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

4. 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是图形，又是图形。

1. n 2. 中心 3. 轴对称 4. 中心对称

【分析】
解题时可结合常见正多边形的特征推导规律：①先回忆轴对称图形的定义，观察正三角形有3条对称轴、正方形有4条对称轴、正五边形有5条对称轴，可归纳出正n边形的对称轴条数和边数相等；②再观察对称轴的位置，无论对称轴是过顶点与对边中点的连线，还是偶数边正多边形中过对顶点或对边中点的连线，都经过正n边形外接圆与内切圆的公共圆心，也就是正n边形的中心；③最后判断偶数边正多边形的对称性：所有正多边形都是轴对称图形，而边数为偶数的正多边形绕中心旋转180°后能与自身重合，符合中心对称图形的定义，因此同时具备两种对称性。
【解析】
1. 正n边形的对称轴数量：结合实例归纳可得，正n边形有n条对称轴；
2. 对称轴的位置：正n边形的每条对称轴都经过其外接圆和内切圆的公共圆心，即正n边形的中心；
3. 偶数边正多边形的对称性：所有正多边形都是轴对称图形，若正多边形边数为偶数，将其绕中心旋转180°后可与自身重合，因此也属于中心对称图形。
【答案】
n；中心；轴对称；中心对称
【知识点】
正多边形的性质；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕正多边形的对称性质设置问题，熟练记忆正多边形对称轴数量、对称轴位置及不同边数正多边形的对称类型即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1. 完成下表中有关正多边形的计算：

【归纳总结】正$n$边形的几条半径把正$n$边形分成$n$个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

|正多边形|边数|内角|中心角|半径|边长|边心距|周长|面积|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|正三角形|3|60°|120°|R|$\sqrt{3}R$|$\frac{1}{2}R$|$3\sqrt{3}R$|$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$|
|正方形|4|90°|90°|R|$\sqrt{2}R$|$\frac{\sqrt{2}}{2}R$|$4\sqrt{2}R$|$2R^2$|
|正六边形|6|120°|60°|R|R|$\frac{\sqrt{3}}{2}R$|6R|$\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$|

【分析】
解题时可分两步进行：第一步先计算正多边形的内角和中心角，直接套用公式：内角=$\frac{(n-2)×180°}{n}$，中心角=$\frac{360°}{n}$即可求出；第二步计算其余量，根据正多边形的半径、边心距、半边长可构成直角三角形，结合三角函数或勾股定理求出边长、边心距、半径，再根据周长=边长×边数、面积=$\frac{1}{2}×$周长×边心距，分别对正三角形、正方形、正六边形逐一计算即可。
【解析】
1. 通用公式推导（对应参考答案）
正n边形的半径、边心距、半边长构成直角三角形，结合三角函数推导可得：
|正多边形边数|内角|中心角|半径|边长|边心距|周长|面积|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|3|$60°$|$120°$|$R$|$\sqrt{3}R$|$\frac{1}{2}R$|$3\sqrt{3}R$|$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$|
|4|$90°$|$90°$|$R$|$\sqrt{2}R$|$\frac{\sqrt{2}}{2}R$|$4\sqrt{2}R$|$2R^2$|
|6|$120°$|$60°$|$R$|$R$|$\frac{\sqrt{3}}{2}R$|$6R$|$\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$|
2. 代入题目已知值计算表格内容
正三角形（边数$n=3$，已知半径$R=2\sqrt{3}$）
代入通用公式得：边长$=\sqrt{3}×2\sqrt{3}=6$，边心距$=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，周长$=3\sqrt{3}×2\sqrt{3}=18$，面积$=\frac{3\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=9\sqrt{3}$。
正方形（边数$n=4$，已知边长$=1$）
由边长$\sqrt{2}R=1$得$R=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入通用公式得：边心距$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$，周长$=4×1=4$，面积$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1$。
正六边形（边数$n=6$，已知边长$=\sqrt{3}$）
由边长$R=\sqrt{3}$，代入通用公式得：边心距$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\frac{3}{2}$，周长$=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，面积$=\frac{3\sqrt{3}}{2}×(\sqrt{3})^2=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
|正多边形边数|内角|中心角|半径|边长|边心距|周长|面积|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|3|$60°$|$120°$|$2\sqrt{3}$|$6$|$\sqrt{3}$|$18$|$9\sqrt{3}$|
|4|$90°$|$90°$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$1$|$\frac{1}{2}$|$4$|$1$|
|6|$120°$|$60°$|$\sqrt{3}$|$\sqrt{3}$|$\frac{3}{2}$|$6\sqrt{3}$|$\frac{9\sqrt{3}}{2}$|
通用公式见解析部分。
【知识点】
正多边形的性质，正多边形与圆，解直角三角形
【点评】
本题考查正多边形相关量的计算，核心是利用正多边形中半径、边心距、半边长构成的直角三角形转化为解直角三角形问题，熟记正多边形内角、中心角公式和特殊正多边形的边长、半径关系可提升解题效率，是正多边形相关计算的基础题型。
【难度系数】
0.7

2. 在正多边形的有关计算中,我们要构造以边心距、边长的一半及半径为边的直角三角形来进行解题.
(1) 在正n边形中,我们以边心距、边长的一半及半径为边构造的直角三角形有个,以相邻半径和边长为边构造的等腰三角形有个.
(2) 正n边形的内角和等于,每个内角为.
(3) 正n边形的每个中心角为.

(4) 正n边形的外角和为,每个外角的度数为.
(5) 正n边形的中心角与外角的大小有什么关系? .

(1) 2n n
(2) (n-2)×180° $\frac{(n-2)×180°}{n}$
(3) $\frac{360°}{n}$
(4) 360° $\frac{360°}{n}$
(5) 相等

【分析】
本题是正多边形相关基础概念的考查，解题时可结合正多边形与外接圆的结构特征、多边形通用性质逐步推导：
1. 解决第(1)问：先明确正n边形有n条边，每条边对应1个由两条相邻半径和边长组成的等腰三角形；每个等腰三角形作边心距后可分为2个直角三角形，由此计数即可。
2. 解决第(2)问：直接调用多边形内角和公式，正n边形各内角相等，用内角和除以边数即可得单个内角度数。
3. 解决第(3)问：所有中心角之和为周角360°，正n边形各中心角相等，除以边数即可得单个中心角度数。
4. 解决第(4)问：任意多边形外角和均为固定值360°，正n边形各外角相等，除以边数即可得单个外角度数。
5. 解决第(5)问：对比中心角和外角的表达式，即可得出二者的大小关系。
【解析】
(1) 正n边形共有n条边，每条边对应1个由相邻两条半径和边长组成的等腰三角形，故等腰三角形共n个；每个等腰三角形被边心距分为2个由边心距、边长的一半、半径组成的直角三角形，因此直角三角形共有$2× n=2n$个。
(2) 根据多边形内角和定理，n边形内角和为$(n-2)× 180°$；正n边形各内角大小相等，因此每个内角为$\frac{(n-2)× 180°}{n}$。
(3) 正n边形所有中心角之和为周角$360°$，且各中心角大小相等，因此每个中心角为$\frac{360°}{n}$。
(4) 任意多边形的外角和均为$360°$，正n边形各外角大小相等，因此每个外角为$\frac{360°}{n}$。
(5) 由(3)(4)的计算结果可知，正n边形的中心角和外角的度数表达式相同，因此二者大小相等。
【答案】
(1) $2n$；$n$
(2) $(n-2)× 180°$；$\frac{(n-2)× 180°}{n}$
(3) $\frac{360°}{n}$
(4) $360°$；$\frac{360°}{n}$
(5) 相等
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和与外角和；正多边形中心角
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕正多边形与外接圆的结构、相关角度计算公式设置，熟练掌握这些基础结论是后续解决正多边形的边长、面积等计算问题的前提。
【难度系数】
0.9