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延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征,它是一个八角九层楼阁式砖塔,其地基的形状是半径为6 cm的正八边形(如图).求宝塔地基的面积.(结果保留小数点后一位).
延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征,它是一个八角九层楼阁式砖塔,其地基的形状是半径为6 cm的正八边形(如图).求宝塔地基的面积.(结果保留小数点后一位).
答案
解：正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，将正八边形分割为8个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为6cm，顶角为45°，单个三角形的面积为$\frac{1}{2}×6×6×sin45°=9\sqrt{2}$，因此正八边形的总面积为$8×9\sqrt{2}=72\sqrt{2}≈101.8\ \mathrm{cm}^2$。答：宝塔地基的面积约为101.8 cm²。
解析
【分析】
计算正八边形面积可利用正多边形与外接圆的关系求解：正八边形外接圆半径与地基半径相等，正八边形可分割为8个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于外接圆半径，顶角为正八边形的中心角。解题思路如下：首先计算正八边形的中心角，再计算单个等腰三角形的面积，最后用单个三角形面积乘8得到正八边形总面积，换算为近似值即可得到结果。
【解析】
解：正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
将正八边形分割为8个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于外接圆半径6cm，顶角为中心角$45°$，
单个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2} × 6 × 6 × \sin45° = 9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$，
因此正八边形的总面积为：$8 × 9\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \approx 101.8\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
宝塔地基的面积约为$\boxed{101.8\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
正多边形与圆的性质、三角形面积计算、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形面积计算的典型题型，核心解题思想是转化，将陌生的正多边形面积转化为熟悉的等腰三角形面积之和计算，需要熟练掌握正多边形中心角的计算方法，灵活运用三角形面积公式求解。
【难度系数】
0.7
计算正八边形面积可利用正多边形与外接圆的关系求解：正八边形外接圆半径与地基半径相等，正八边形可分割为8个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于外接圆半径，顶角为正八边形的中心角。解题思路如下：首先计算正八边形的中心角，再计算单个等腰三角形的面积，最后用单个三角形面积乘8得到正八边形总面积，换算为近似值即可得到结果。
【解析】
解：正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
将正八边形分割为8个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长等于外接圆半径6cm，顶角为中心角$45°$，
单个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2} × 6 × 6 × \sin45° = 9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$，
因此正八边形的总面积为：$8 × 9\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \approx 101.8\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
宝塔地基的面积约为$\boxed{101.8\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
正多边形与圆的性质、三角形面积计算、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形面积计算的典型题型，核心解题思想是转化，将陌生的正多边形面积转化为熟悉的等腰三角形面积之和计算，需要熟练掌握正多边形中心角的计算方法，灵活运用三角形面积公式求解。
【难度系数】
0.7
判断题.
(1) 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,它们是同心圆. (
(2) 各角相等的圆内接多边形是正多边形. (
(3) 各边相等的圆内接多边形是正多边形. (
(4) 正多边形的外角等于中心角. (
(1) 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,它们是同心圆. (
√
)(2) 各角相等的圆内接多边形是正多边形. (
×
)(3) 各边相等的圆内接多边形是正多边形. (
√
)(4) 正多边形的外角等于中心角. (
√
)答案
(1) √
(2) ×
(3) √
(4) √
(2) ×
(3) √
(4) √
解析
【分析】
这道题围绕正多边形与圆的相关概念设置判断，解题时可结合定义、性质及反例验证逐一分析：①判断(1)需回忆正多边形的外接圆、内切圆的定义，明确正多边形的中心是两圆共同的圆心；②判断(2)可举常见反例验证，只要找到各角相等但不是正多边形的圆内接多边形即可判断正误；③判断(3)结合圆中弦、弧的对应关系推导，边相等对应弧相等，进而推导出内角也相等，符合正多边形的定义；④判断(4)分别计算正多边形的外角和中心角的度数，对比即可判断。
【解析】
(1) 正多边形的中心是其外接圆和内切圆的公共圆心，外接圆半径是正多边形顶点到中心的距离，内切圆半径是中心到正多边形边的距离，因此任意正多边形都有外接圆和内切圆，且为同心圆，该说法正确。
(2) 举反例：圆内接矩形的四个内角都是90°（各角相等），但矩形的邻边不一定相等，不属于正多边形，因此该说法错误。
(3) 圆内接多边形的各边相等，则各边对应的劣弧相等，可推出各边对应的圆心角相等，进而推导得多边形的各个内角也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，该说法正确。
(4) 正$n$边形的外角和为$360°$，每个外角等于$\frac{360°}{n}$；正$n$边形的中心角是相邻两个顶点与中心连线的夹角，也等于$\frac{360°}{n}$，因此正多边形的外角等于中心角，该说法正确。
【答案】
(1)√；(2)×；(3)√；(4)√
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形的性质；圆内接多边形的性质
【点评】
本题侧重考查正多边形和圆的基础概念辨析，解题时要紧扣正多边形“各边相等、各角相等”的两个判定要素，对于错误说法可通过举反例快速判断，要注意区分圆内接多边形是正多边形的不同判定条件。
【难度系数】
0.75
这道题围绕正多边形与圆的相关概念设置判断，解题时可结合定义、性质及反例验证逐一分析：①判断(1)需回忆正多边形的外接圆、内切圆的定义，明确正多边形的中心是两圆共同的圆心；②判断(2)可举常见反例验证，只要找到各角相等但不是正多边形的圆内接多边形即可判断正误；③判断(3)结合圆中弦、弧的对应关系推导，边相等对应弧相等，进而推导出内角也相等，符合正多边形的定义；④判断(4)分别计算正多边形的外角和中心角的度数，对比即可判断。
【解析】
(1) 正多边形的中心是其外接圆和内切圆的公共圆心，外接圆半径是正多边形顶点到中心的距离，内切圆半径是中心到正多边形边的距离，因此任意正多边形都有外接圆和内切圆，且为同心圆，该说法正确。
(2) 举反例：圆内接矩形的四个内角都是90°（各角相等），但矩形的邻边不一定相等，不属于正多边形，因此该说法错误。
(3) 圆内接多边形的各边相等，则各边对应的劣弧相等，可推出各边对应的圆心角相等，进而推导得多边形的各个内角也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，该说法正确。
(4) 正$n$边形的外角和为$360°$，每个外角等于$\frac{360°}{n}$；正$n$边形的中心角是相邻两个顶点与中心连线的夹角，也等于$\frac{360°}{n}$，因此正多边形的外角等于中心角，该说法正确。
【答案】
(1)√；(2)×；(3)√；(4)√
【知识点】
正多边形与圆的关系；正多边形的性质；圆内接多边形的性质
【点评】
本题侧重考查正多边形和圆的基础概念辨析，解题时要紧扣正多边形“各边相等、各角相等”的两个判定要素，对于错误说法可通过举反例快速判断，要注意区分圆内接多边形是正多边形的不同判定条件。
【难度系数】
0.75
1. 正三角形的边心距、半径和高的比是（
A.$1:2:3$
B.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$1:\sqrt{2}:3$
D.$1:2:\sqrt{3}$
A
）A.$1:2:3$
B.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$1:\sqrt{2}:3$
D.$1:2:\sqrt{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确正三角形的特殊性质：它的内心、外心、重心、垂心重合，即正多边形的中心。其次要清楚三个量的定义：边心距是中心到边的距离（内切圆半径），半径是中心到顶点的距离（外接圆半径），高是顶点到对边的距离。我们可以利用三角形重心分中线为2:1的性质，或者通过设边长计算三个量的长度，进而求出比值。
【解析】
1. 明确概念：正三角形四心（内心、外心、重心、垂心）重合，其外接圆和内切圆的圆心为同一点。设正三角形的边心距（内切圆半径）为$r$，外接圆半径（题干中的“半径”）为$R$，高为$h$。
2. 利用重心性质推导关系：三角形重心分高（同时为中线、角平分线）的比例为$2:1$（顶点到重心的长度:重心到对边的长度=2:1），因此$R:r=2:1$，即$R=2r$。
3. 推导高的表达式：正三角形的高为顶点到对边的距离，等于外接圆半径加边心距，即$h=R+r=2r+r=3r$。
4. 计算比值：$r:R:h=r:2r:3r=1:2:3$，因此选A。
* 验证方法：设正三角形边长为2，由勾股定理得高$h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，边心距$r=\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，比值为$\frac{\sqrt{3}}{3}:\frac{2\sqrt{3}}{3}:\sqrt{3}=1:2:3$，结果一致。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；等边三角形性质；三角形重心性质
【点评】
本题重点考查等边三角形“四心合一”的特殊性，解题的关键是准确区分正多边形边心距、半径的定义，结合重心性质即可快速得到结果，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确正三角形的特殊性质：它的内心、外心、重心、垂心重合，即正多边形的中心。其次要清楚三个量的定义：边心距是中心到边的距离（内切圆半径），半径是中心到顶点的距离（外接圆半径），高是顶点到对边的距离。我们可以利用三角形重心分中线为2:1的性质，或者通过设边长计算三个量的长度，进而求出比值。
【解析】
1. 明确概念：正三角形四心（内心、外心、重心、垂心）重合，其外接圆和内切圆的圆心为同一点。设正三角形的边心距（内切圆半径）为$r$，外接圆半径（题干中的“半径”）为$R$，高为$h$。
2. 利用重心性质推导关系：三角形重心分高（同时为中线、角平分线）的比例为$2:1$（顶点到重心的长度:重心到对边的长度=2:1），因此$R:r=2:1$，即$R=2r$。
3. 推导高的表达式：正三角形的高为顶点到对边的距离，等于外接圆半径加边心距，即$h=R+r=2r+r=3r$。
4. 计算比值：$r:R:h=r:2r:3r=1:2:3$，因此选A。
* 验证方法：设正三角形边长为2，由勾股定理得高$h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，边心距$r=\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，比值为$\frac{\sqrt{3}}{3}:\frac{2\sqrt{3}}{3}:\sqrt{3}=1:2:3$，结果一致。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；等边三角形性质；三角形重心性质
【点评】
本题重点考查等边三角形“四心合一”的特殊性，解题的关键是准确区分正多边形边心距、半径的定义，结合重心性质即可快速得到结果，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$
答案
2. B
解析
【分析】
首先回忆多边形的基础性质：任意多边形的外角和恒为360°，结合题目给出的内角和是外角和2倍的条件，可先算出内角和的度数；再利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$求出正多边形的边数；最后结合正多边形的边长，计算对应半径即可。
【解析】
1. 计算正多边形的内角和：
任意多边形外角和固定为$360°$，由题意得该正多边形内角和$=2×360°=720°$。
2. 求正多边形的边数：
设该正多边形边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=720°$
解得$n=6$，即该图形是边长为2的正六边形。
3. 计算正六边形的边心距（即本题所求半径）：
把正六边形的中心和各顶点相连，可分割为6个全等的等边三角形，等边三角形的边长等于正六边形的边长2，所求半径为等边三角形的高，由勾股定理计算得：
$r=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和与外角和，正多边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础综合类题目，既考查了多边形核心公式的应用，也考查了正多边形几何特征的运用，解题的关键是先准确求出正多边形的边数，再结合图形特征计算对应量。
【难度系数】
0.6
首先回忆多边形的基础性质：任意多边形的外角和恒为360°，结合题目给出的内角和是外角和2倍的条件，可先算出内角和的度数；再利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$求出正多边形的边数；最后结合正多边形的边长，计算对应半径即可。
【解析】
1. 计算正多边形的内角和：
任意多边形外角和固定为$360°$，由题意得该正多边形内角和$=2×360°=720°$。
2. 求正多边形的边数：
设该正多边形边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=720°$
解得$n=6$，即该图形是边长为2的正六边形。
3. 计算正六边形的边心距（即本题所求半径）：
把正六边形的中心和各顶点相连，可分割为6个全等的等边三角形，等边三角形的边长等于正六边形的边长2，所求半径为等边三角形的高，由勾股定理计算得：
$r=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和与外角和，正多边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础综合类题目，既考查了多边形核心公式的应用，也考查了正多边形几何特征的运用，解题的关键是先准确求出正多边形的边数，再结合图形特征计算对应量。
【难度系数】
0.6
3.若一个正多边的一个外角为$60°$,则它的内切圆半径与外接圆半径之比是
$\sqrt{3}:2$
.答案
3. $\sqrt{3}:2$
解析
【分析】
首先，正多边形的外角和恒为360°，已知单个外角的度数，可先计算出正多边形的边数，确定该多边形为正六边形；其次，正六边形的外接圆半径等于其边长，内切圆半径是正六边形的边心距，我们可以构造由正六边形中心、边的中点、顶点组成的直角三角形，利用勾股定理即可求出内切圆半径与外接圆半径的比值。
【解析】
1. 求正多边形的边数：
正多边形的外角和为$360°$，已知一个外角为$60°$，因此边数$n=\frac{360°}{60°}=6$，即该多边形为正六边形。
2. 设正六边形的外接圆半径为$R$：
正六边形的每个中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的中心与任意两个相邻顶点组成的三角形是等边三角形，可得正六边形的边长等于外接圆半径$R$。
3. 求内切圆半径$r$：
内切圆半径$r$是正六边形的边心距，过正六边形中心作任意一条边的垂线，垂足为该边的中点，形成的直角三角形中，斜边为外接圆半径$R$，一条直角边为边长的一半$\frac{R}{2}$，另一条直角边为内切圆半径$r$。
根据勾股定理：$r^2 + (\frac{R}{2})^2 = R^2$
整理得：$r^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$，因此$r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$（半径为正数，取正根）。
4. 求比值：
内切圆半径与外接圆半径之比为$r:R=\frac{\sqrt{3}}{2}R:R=\sqrt{3}:2$。
【答案】
$\sqrt{3}:2$
【知识点】
正多边形外角和；正多边形与圆；勾股定理
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关性质，解题的核心是先通过外角和确定正多边形的边数，再利用正六边形的边长等于外接圆半径的特点构造直角三角形求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
首先，正多边形的外角和恒为360°，已知单个外角的度数，可先计算出正多边形的边数，确定该多边形为正六边形；其次，正六边形的外接圆半径等于其边长，内切圆半径是正六边形的边心距，我们可以构造由正六边形中心、边的中点、顶点组成的直角三角形，利用勾股定理即可求出内切圆半径与外接圆半径的比值。
【解析】
1. 求正多边形的边数：
正多边形的外角和为$360°$，已知一个外角为$60°$，因此边数$n=\frac{360°}{60°}=6$，即该多边形为正六边形。
2. 设正六边形的外接圆半径为$R$：
正六边形的每个中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的中心与任意两个相邻顶点组成的三角形是等边三角形，可得正六边形的边长等于外接圆半径$R$。
3. 求内切圆半径$r$：
内切圆半径$r$是正六边形的边心距，过正六边形中心作任意一条边的垂线，垂足为该边的中点，形成的直角三角形中，斜边为外接圆半径$R$，一条直角边为边长的一半$\frac{R}{2}$，另一条直角边为内切圆半径$r$。
根据勾股定理：$r^2 + (\frac{R}{2})^2 = R^2$
整理得：$r^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$，因此$r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$（半径为正数，取正根）。
4. 求比值：
内切圆半径与外接圆半径之比为$r:R=\frac{\sqrt{3}}{2}R:R=\sqrt{3}:2$。
【答案】
$\sqrt{3}:2$
【知识点】
正多边形外角和；正多边形与圆；勾股定理
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关性质，解题的核心是先通过外角和确定正多边形的边数，再利用正六边形的边长等于外接圆半径的特点构造直角三角形求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,正方形ABCD的外接圆为$\odot O$,点P在劣弧CD上(不与C点重合).
(1) 求$∠ BPC$的度数;
(2) 若$\odot O$的半径为8,求正方形ABCD的边长.
(1) 求$∠ BPC$的度数;
(2) 若$\odot O$的半径为8,求正方形ABCD的边长.
答案
(1) $45°$;(2) $8\sqrt{2}$
解析
【分析】
（1）求∠BPC的度数时，先连接OB、OC，利用正方形内接于圆的性质，可先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠BPC的度数。（2）求正方形边长时，已知⊙O半径，△BOC为等腰直角三角形，OB、OC均为半径，直接用勾股定理计算斜边BC的长度，即为正方形的边长。
【解析】
(1) 连接OB、OC。
∵ 正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴ 圆心角$∠ BOC = \frac{360°}{4}=90°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ BPC$和$∠ BOC$均对应弧BC，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2) 已知$\odot O$半径为8，即$OB=OC=8$，且$∠ BOC=90°$，
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC^2=OB^2+OC^2=8^2+8^2=128$，
∴ $BC=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$，即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $45°$；(2) $8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，圆内接正多边形性质
【点评】
本题属于圆和正方形结合的基础题型，解题的核心是掌握圆内接正方形的中心角特征，熟练运用圆周角定理和勾股定理计算，理清圆心角和圆周角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）求∠BPC的度数时，先连接OB、OC，利用正方形内接于圆的性质，可先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠BPC的度数。（2）求正方形边长时，已知⊙O半径，△BOC为等腰直角三角形，OB、OC均为半径，直接用勾股定理计算斜边BC的长度，即为正方形的边长。
【解析】
(1) 连接OB、OC。
∵ 正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴ 圆心角$∠ BOC = \frac{360°}{4}=90°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ BPC$和$∠ BOC$均对应弧BC，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2) 已知$\odot O$半径为8，即$OB=OC=8$，且$∠ BOC=90°$，
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC^2=OB^2+OC^2=8^2+8^2=128$，
∴ $BC=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$，即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $45°$；(2) $8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，圆内接正多边形性质
【点评】
本题属于圆和正方形结合的基础题型，解题的核心是掌握圆内接正方形的中心角特征，熟练运用圆周角定理和勾股定理计算，理清圆心角和圆周角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
