例5 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(2,4),B在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,过点A作$AD ⊥ x$轴于点D,过点B作$BC ⊥ x$轴于点C,连接OA,AB.
(1)求k的值;
(2)若点D为OC的中点,求四边形OABC的面积.

例5. (1) k=8；(2) 四边形OABC的面积为10

【分析】
(1) 求反比例函数的k值，可利用反比例函数图象上的点的横、纵坐标乘积等于k的性质，将已知点A的坐标代入函数解析式直接计算即可。
(2) 计算四边形OABC的面积时，首先根据AD⊥x轴和A点坐标确定D点坐标，结合“D为OC中点”的条件求出C点横坐标，即可得到B点的横坐标，代入反比例函数解析式求出B点纵坐标；再将不规则的四边形OABC分割为△AOD和梯形ABCD两个规则图形，分别计算两个图形的面积后求和，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 把点A(2,4)代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{2}$
解得$k=2×4=8$。
(2)
∵$AD⊥ x$轴，点A坐标为(2,4)，
∴点D的坐标为(2,0)，$OD=2$，$AD=4$。
∵D为OC的中点，
∴$OC=2OD=2×2=4$，即点C的横坐标为4。
∵$BC⊥ x$轴，
∴点B的横坐标为4，
把$x=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{4}=2$，即$BC=2$，$DC=OC-OD=4-2=2$。
四边形OABC的面积 = $S_{△ AOD} + S_{梯形ABCD}$
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OD× AD=\frac{1}{2}×2×4=4$
$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(AD+BC)× DC=\frac{1}{2}×(4+2)×2=6$
∴$S_{四边形OABC}=4+6=10$
【答案】
(1) $k=8$；(2) 四边形OABC的面积为10
【知识点】
1. 反比例函数解析式确定
2. 坐标与图形性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，重点考查代入法求反比例函数系数，以及通过割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积的思路，解题时要注意结合坐标系中线段和坐标的对应关系计算长度。
【难度系数】
0.7

例6 如图,一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(1,4),B(n,-1)$.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 利用图象,直接写出不等式$ax+b ＜ \frac{k}{x}$的解集；
(3) 已知点D在x轴上,点C在反比例函数图象上.若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点C的坐标.

例6. (1) 反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，一次函数解析式为$y=x+3$；(2) 解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$；(3) 点C的坐标为$(4,1)$或$(-2,-2)$

【分析】
(1) 求解析式时，先将已知点A代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数解析式；再将B点纵坐标代入反比例函数求出n，得到B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数解析式。
(2) 不等式$ax+b ＜ \frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点横坐标，注意反比例函数x≠0的限制，分区间取值即可。
(3) 平行四边形存在性问题需分类讨论，结合平行四边形对边平行且相等的性质，同时满足C在反比例函数图象上、D在x轴上的条件，即可求出C点坐标。
【解析】
(1) 把$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
把$B(n,-1)$代入$y=\frac{4}{x}$，得：
$-1=\frac{4}{n}$，解得$n=-4$，
∴点B的坐标为$(-4,-1)$。
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入一次函数$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} a+b=4 \\ -4a+b=-1 \end{cases}$
两式相减得$5a=5$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=4$，得$b=3$，
∴一次函数的解析式为$y=x+3$。
(2) 观察图象可得：
当$x＜-4$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；
当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$。
(3) 设点C坐标为$(m,\frac{4}{m})$，分情况讨论：
① 当AB为平行四边形的边时，根据平行四边形对边平行且相等的性质，平移线段AB，当点D落在x轴上时，可得对应C点坐标为$(4,1)$，代入$y=\frac{4}{x}$验证，$\frac{4}{4}=1$，符合反比例函数解析式要求；
② 当AB为平行四边形的对角线时，结合坐标平移规律，可得此时C点坐标为$(-2,-2)$，代入$y=\frac{4}{x}$验证，$\frac{4}{-2}=-2$，符合反比例函数解析式要求。
综上，点C的坐标为$(4,1)$或$(-2,-2)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，一次函数解析式为$y=x+3$；
(2) 解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$；
(3) 点C的坐标为$(4,1)$或$(-2,-2)$
【知识点】
反比例函数与一次函数综合；平行四边形的性质；函数图象解不等式
【点评】
本题是函数部分的经典综合题，考查了函数解析式求解、函数与不等式的对应关系，以及平行四边形存在性的分类讨论，侧重对数形结合思想和分类讨论思想的考查，是中考高频考查题型。
【难度系数】
0.6

1. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，且在各自象限内，$y$随$x$的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为()

A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$

1. B

【分析】
解题时首先从已知条件入手：第一步，根据反比例函数的增减性判断k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，若在各自象限内y随x的增大而增大，则$k＜0$；第二步，明确反比例函数图象上点的坐标特征：若点$(x,y)$在反比例函数图象上，则满足$xy=k$，且x、y均不为0（因为$k≠0$）；第三步，逐一验证选项，先排除y为0的选项，再计算剩余选项的xy值，找到$xy＜0$的即为正确选项。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在各自象限内，$y$随$x$的增大而增大，
∴根据反比例函数的性质可得：$k＜0$。
又
∵反比例函数的自变量$x≠0$，函数值$y≠0$，
∴选项C、D中$y=0$，不符合要求，直接排除。
对于反比例函数图象上的点$(x,y)$，满足$k=xy$：
A选项：$x=2,y=3$，$xy=2×3=6＞0$，不符合$k＜0$，排除；
B选项：$x=-2,y=3$，$xy=-2×3=-6＜0$，符合$k＜0$，满足要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的增减性与k的对应关系，以及图象上点的坐标满足解析式的特征，只要熟记反比例函数的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上有 $ P(t,y_1), Q(t + 4,y_2) $ 两点. 下列正确的选项是()

A.当 $ t ＜ -4 $ 时, $ y_2 ＜ y_1 ＜ 0 $
B.当 $ -4 ＜ t ＜ 0 $ 时, $ y_1 ＜ y_2 ＜ 0 $
C.当 $ -4 ＜ t ＜ 0 $ 时, $ 0 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D.当 $ t ＞ 0 $ 时, $ 0 ＜ y_1 ＜ y_2 $

2. A

【分析】
首先明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$的基本性质：$k=4＞0$，因此图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。解题时先根据每个选项给出的$t$的取值范围，判断$P$、$Q$两点横坐标的正负，确定两点所在的象限，再结合反比例函数的增减性比较$y_1$、$y_2$的大小以及和$0$的关系，逐一验证选项即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，
∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
对选项A：当$t＜-4$时，$t＜t+4＜0$，因此$P$、$Q$都在第三象限，第三象限内点的纵坐标均小于0，结合增减性可得$y_2＜y_1＜0$，A正确。
对选项B、C：当$-4＜t＜0$时，$t＜0$，$t+4＞0$，因此$P$在第三象限，$y_1＜0$；$Q$在第一象限，$y_2＞0$，可得$y_1＜0＜y_2$，B、C均错误。
对选项D：当$t＞0$时，$0＜t＜t+4$，因此$P$、$Q$都在第一象限，结合增减性可得$y_1＞y_2＞0$，D错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，比较函数值大小时要先判断点所在的象限，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.7