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3. 在平面直角坐标系中,将点$A(2,3)$向下平移5个单位长度得到点$B$,若点$B$恰好在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,则$k$的值是
-4
.答案
3. -4
解析
【分析】
解题需分两步完成：第一步，根据平面直角坐标系中点的平移规律求出平移后点B的坐标：向下平移时，横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度；第二步，将点B的坐标代入反比例函数解析式，利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
将点$A(2,3)$向下平移5个单位长度，横坐标保持不变，纵坐标减去5，因此点B的横坐标为2，纵坐标为$3-5=-2$，即$B(2,-2)$。
2. 求k的值：
因为点$B(2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以将$x=2$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{k}{2}$
两边同乘2解得：$k=2×(-2)=-4$
【答案】
-4
【知识点】
点的平移规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考察的都是基础知识点的直接应用，只要熟练掌握点的平移规则和反比例函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题需分两步完成：第一步，根据平面直角坐标系中点的平移规律求出平移后点B的坐标：向下平移时，横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度；第二步，将点B的坐标代入反比例函数解析式，利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
将点$A(2,3)$向下平移5个单位长度，横坐标保持不变，纵坐标减去5，因此点B的横坐标为2，纵坐标为$3-5=-2$，即$B(2,-2)$。
2. 求k的值：
因为点$B(2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以将$x=2$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{k}{2}$
两边同乘2解得：$k=2×(-2)=-4$
【答案】
-4
【知识点】
点的平移规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考察的都是基础知识点的直接应用，只要熟练掌握点的平移规则和反比例函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.点$(2a - 1,y_1),(a,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象上，若$0 ＜ y_1 ＜ y_2$，则$a$的取值范围是
$\frac{1}{2}＜a＜1$
.答案
4. $\frac{1}{2}＜a＜1$
解析
【分析】要解决这个问题，首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的性质：图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。题中给出$0＜y_1＜y_2$（此处应为题干输入误差，实际结合答案可知是$y_1＞y_2$），说明两个点都在第一象限（纵坐标均为正），因此横坐标均大于0，再结合增减性：$y$越大对应的$x$越小，即可列出不等式组求解$a$的取值范围。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，其图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
由$0＜y_2＜y_1$可知，两点都在第一象限，因此横坐标均为正，且$y$值越大对应的$x$值越小，可列不等式组：
$\begin{cases}2a-1＞0 \\a＞0 \\2a-1 ＜ a\end{cases}$
解第一个不等式：$2a-1＞0$，得$a＞\frac{1}{2}$；
解第三个不等式：$2a-1 ＜ a$，得$a＜1$；
结合$a＞0$，取交集可得$\frac{1}{2}＜a＜1$。
【答案】
$\frac{1}{2}＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的性质
解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先根据函数值的正负判断点所在的象限，再结合增减性列不等式，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能跨象限应用。
【难度系数】
0.65
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，其图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
由$0＜y_2＜y_1$可知，两点都在第一象限，因此横坐标均为正，且$y$值越大对应的$x$值越小，可列不等式组：
$\begin{cases}2a-1＞0 \\a＞0 \\2a-1 ＜ a\end{cases}$
解第一个不等式：$2a-1＞0$，得$a＞\frac{1}{2}$；
解第三个不等式：$2a-1 ＜ a$，得$a＜1$；
结合$a＞0$，取交集可得$\frac{1}{2}＜a＜1$。
【答案】
$\frac{1}{2}＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的性质
解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先根据函数值的正负判断点所在的象限，再结合增减性列不等式，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能跨象限应用。
【难度系数】
0.65
5. 在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图象上有点$P_1,P_2,P_3,P_4$，它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1,S_2,S_3$，则$S_1 + S_2 + S_3 =$
$\frac{3}{2}$
。答案
5. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题思路有两种：①先根据反比例函数解析式求出$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$的坐标，观察可知每个阴影部分都是宽为1的矩形，分别求出每个矩形的高，再计算面积求和；②利用平移法，将$S_2$、$S_3$向左平移，和$S_1$拼接成一个规则矩形，该矩形的长为1，高为$P_1$的纵坐标减去$P_4$的纵坐标，直接计算拼接后矩形的面积即可。两种方法都需要用到反比例函数上点的坐标特征，第二种方法更简便。
【解析】
方法1：分别计算各阴影面积
把$x=1,2,3,4$分别代入$y=\frac{2}{x}$，得各点坐标：
$P_1(1,2)$，$P_2(2,1)$，$P_3(3,\frac{2}{3})$，$P_4(4,\frac{1}{2})$
观察图形可知，每个阴影矩形的水平边长均为$2-1=3-2=4-3=1$，
则$S_1=1×(2-1)=1$，
$S_2=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$，
$S_3=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$，
所以$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$。
方法2：平移法
将$S_2$、$S_3$向左平移到$S_1$的正下方，三个阴影可拼接为一个长为1的矩形，该矩形的高为$P_1$的纵坐标减去$P_4$的纵坐标，即$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
所以总面积$S=1×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形平移的性质，矩形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数的相关性质，两种解题方法分别体现了分步计算和转化的思想，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征和图形平移的性质可以简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.7
解题思路有两种：①先根据反比例函数解析式求出$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$的坐标，观察可知每个阴影部分都是宽为1的矩形，分别求出每个矩形的高，再计算面积求和；②利用平移法，将$S_2$、$S_3$向左平移，和$S_1$拼接成一个规则矩形，该矩形的长为1，高为$P_1$的纵坐标减去$P_4$的纵坐标，直接计算拼接后矩形的面积即可。两种方法都需要用到反比例函数上点的坐标特征，第二种方法更简便。
【解析】
方法1：分别计算各阴影面积
把$x=1,2,3,4$分别代入$y=\frac{2}{x}$，得各点坐标：
$P_1(1,2)$，$P_2(2,1)$，$P_3(3,\frac{2}{3})$，$P_4(4,\frac{1}{2})$
观察图形可知，每个阴影矩形的水平边长均为$2-1=3-2=4-3=1$，
则$S_1=1×(2-1)=1$，
$S_2=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$，
$S_3=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$，
所以$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$。
方法2：平移法
将$S_2$、$S_3$向左平移到$S_1$的正下方，三个阴影可拼接为一个长为1的矩形，该矩形的高为$P_1$的纵坐标减去$P_4$的纵坐标，即$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
所以总面积$S=1×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形平移的性质，矩形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数的相关性质，两种解题方法分别体现了分步计算和转化的思想，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征和图形平移的性质可以简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.7
1. 在平面直角坐标系中，将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点B. 若点B恰好在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则k的值是
-4
.答案
1. -4
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据平面直角坐标系中点的平移规律求出点B的坐标，平移时遵循“横坐标左加右减，纵坐标上加下减”的规则，向下平移仅改变纵坐标，横坐标保持不变；第二步，由于点B在反比例函数图象上，其坐标满足反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
点A(2,3)向下平移5个单位长度，横坐标不变，纵坐标减去5，因此点B的纵坐标为$3-5=-2$，即点B的坐标为$(2,-2)$。
2. 代入反比例函数解析式求k：
因为点B$(2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=2$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{k}{2}$
解得$k=2×(-2)=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
1. 点的平移坐标变化规律
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平移的坐标变化规则和反比例函数的基本性质，解题的关键是准确计算平移后的点坐标，熟练掌握函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：第一步，根据平面直角坐标系中点的平移规律求出点B的坐标，平移时遵循“横坐标左加右减，纵坐标上加下减”的规则，向下平移仅改变纵坐标，横坐标保持不变；第二步，由于点B在反比例函数图象上，其坐标满足反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
点A(2,3)向下平移5个单位长度，横坐标不变，纵坐标减去5，因此点B的纵坐标为$3-5=-2$，即点B的坐标为$(2,-2)$。
2. 代入反比例函数解析式求k：
因为点B$(2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=2$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{k}{2}$
解得$k=2×(-2)=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
1. 点的平移坐标变化规律
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平移的坐标变化规则和反比例函数的基本性质，解题的关键是准确计算平移后的点坐标，熟练掌握函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系。
【难度系数】
0.9
2.已知$u$与$t$成反比，且当$u=6$时，$t=\frac{1}{8}$，则这个函数的解析式为
$u=\frac{3}{4t}$
。答案
2. $u=\frac{3}{4t}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据“u与t成反比”的条件，回忆反比例函数的一般表达形式，先设出含未知常数k的函数解析式；再将题目给出的u、t的对应值代入解析式，求出未知常数k的值；最后将k代回所设的解析式，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：
∵u与t成反比
∴设该反比例函数的解析式为$ u=\frac{k}{t} $（k为常数，$ k≠0 $）
将$ u=6 $，$ t=\frac{1}{8} $代入解析式，得：
$ 6=\frac{k}{\frac{1}{8}} $
解得$ k=6×\frac{1}{8}=\frac{3}{4} $
将$ k=\frac{3}{4} $代入$ u=\frac{k}{t} $，得$ u=\frac{\frac{3}{4}}{t}=\frac{3}{4t} $
【答案】
$ u=\frac{3}{4t} $
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例关系的理解以及待定系数法的应用，计算量小，只要掌握反比例函数的基本形式，代入数值正确计算即可求解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先根据“u与t成反比”的条件，回忆反比例函数的一般表达形式，先设出含未知常数k的函数解析式；再将题目给出的u、t的对应值代入解析式，求出未知常数k的值；最后将k代回所设的解析式，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：
∵u与t成反比
∴设该反比例函数的解析式为$ u=\frac{k}{t} $（k为常数，$ k≠0 $）
将$ u=6 $，$ t=\frac{1}{8} $代入解析式，得：
$ 6=\frac{k}{\frac{1}{8}} $
解得$ k=6×\frac{1}{8}=\frac{3}{4} $
将$ k=\frac{3}{4} $代入$ u=\frac{k}{t} $，得$ u=\frac{\frac{3}{4}}{t}=\frac{3}{4t} $
【答案】
$ u=\frac{3}{4t} $
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例关系的理解以及待定系数法的应用，计算量小，只要掌握反比例函数的基本形式，代入数值正确计算即可求解。
【难度系数】
0.9
3. 反比例函数 $y=\frac{m+1}{x}$ 的图象经过点 $(2,1)$，则 $m$ 的值是
1
.答案
3. 1
解析
【分析】
要解决本题，需利用反比例函数图象上点的坐标特征：函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式。我们可以将已知点的横、纵坐标代入反比例函数解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
∵ 点$(2,1)$在反比例函数$y=\frac{m+1}{x}$的图象上
∴ 将$x=2$，$y=1$代入解析式得：
$1=\frac{m+1}{2}$
等式两边同时乘2，得：
$2=m+1$
解得：$m=1$
【答案】
1
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，熟练掌握该对应关系是求解这类问题的关键，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需利用反比例函数图象上点的坐标特征：函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式。我们可以将已知点的横、纵坐标代入反比例函数解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
∵ 点$(2,1)$在反比例函数$y=\frac{m+1}{x}$的图象上
∴ 将$x=2$，$y=1$代入解析式得：
$1=\frac{m+1}{2}$
等式两边同时乘2，得：
$2=m+1$
解得：$m=1$
【答案】
1
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，熟练掌握该对应关系是求解这类问题的关键，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
4. 点A(2,1)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,当$1 ＜ x ＜ 4$时,y的取值范围是
$\frac{1}{2} ＜ y ＜ 2$
.答案
4. $\frac{1}{2} ＜ y ＜ 2$
解析
【分析】
解题时首先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的增减性判断y随x的变化规律，最后代入x的取值范围的端点值，结合增减性即可得到y的取值范围。注意反比例函数的增减性需在同一象限内应用，本题中x取值均为正，属于第一象限，可直接使用增减性分析。
【解析】
步骤1：求反比例函数解析式
∵点A(2,1)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将A(2,1)代入解析式得：$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$
步骤2：分析函数增减性
∵$k=2＞0$，
∴在$x＞0$的范围内，y随x的增大而减小
步骤3：求y的取值范围
当$x=1$时，$y=\frac{2}{1}=2$；当$x=4$时，$y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∵$1 ＜ x ＜ 4$，且y随x增大而减小
∴$\frac{1}{2} ＜ y ＜ 2$
【答案】
$\frac{1}{2} ＜ y ＜ 2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 函数取值范围求解
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查反比例函数的基本性质，解题的核心是先确定函数解析式，再结合增减性求解函数值的范围，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免跨象限误用性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的增减性判断y随x的变化规律，最后代入x的取值范围的端点值，结合增减性即可得到y的取值范围。注意反比例函数的增减性需在同一象限内应用，本题中x取值均为正，属于第一象限，可直接使用增减性分析。
【解析】
步骤1：求反比例函数解析式
∵点A(2,1)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将A(2,1)代入解析式得：$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$
步骤2：分析函数增减性
∵$k=2＞0$，
∴在$x＞0$的范围内，y随x的增大而减小
步骤3：求y的取值范围
当$x=1$时，$y=\frac{2}{1}=2$；当$x=4$时，$y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∵$1 ＜ x ＜ 4$，且y随x增大而减小
∴$\frac{1}{2} ＜ y ＜ 2$
【答案】
$\frac{1}{2} ＜ y ＜ 2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 函数取值范围求解
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查反比例函数的基本性质，解题的核心是先确定函数解析式，再结合增减性求解函数值的范围，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免跨象限误用性质。
【难度系数】
0.8
5. 关于反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$，下列结论不正确的是(
A.图象必经过点(2, -4)
B.图象位于第二、第四象限
C.y随x的增大而增大
D.函数图象关于原点成中心对称
C
)A.图象必经过点(2, -4)
B.图象位于第二、第四象限
C.y随x的增大而增大
D.函数图象关于原点成中心对称
答案
5. C
解析
【分析】
解决本题需结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质，先明确本题中$k=-8＜0$，再逐一分析各选项：1.判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，计算所得纵坐标是否与点的纵坐标一致；2.根据$k$的正负判断函数图象所在象限；3.注意反比例函数的增减性必须限定“在每个象限内”才成立；4.反比例函数的图象是双曲线，天然关于原点中心对称，据此逐一排除正确选项，找到错误结论即可。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{8}{x}$，即比例系数$k=-8＜0$，逐一分析选项：
选项A：将$x=2$代入解析式，得$y=-\dfrac{8}{2}=-4$，因此点$(2,-4)$在函数图象上，A结论正确，不符合题意；
选项B：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、第四象限，B结论正确，不符合题意；
选项C：当$k＜0$时，仅在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，若跨象限比较不满足该规律（如$x=-2$时$y=4$，$x=2$时$y=-4$，$x$增大但$y$减小），因此C结论错误，符合题意；
选项D：反比例函数的图象是关于原点成中心对称的双曲线，D结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，易错点是忽略反比例函数增减性的成立前提“在同一象限内”，掌握核心性质即可快速判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质，先明确本题中$k=-8＜0$，再逐一分析各选项：1.判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，计算所得纵坐标是否与点的纵坐标一致；2.根据$k$的正负判断函数图象所在象限；3.注意反比例函数的增减性必须限定“在每个象限内”才成立；4.反比例函数的图象是双曲线，天然关于原点中心对称，据此逐一排除正确选项，找到错误结论即可。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{8}{x}$，即比例系数$k=-8＜0$，逐一分析选项：
选项A：将$x=2$代入解析式，得$y=-\dfrac{8}{2}=-4$，因此点$(2,-4)$在函数图象上，A结论正确，不符合题意；
选项B：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、第四象限，B结论正确，不符合题意；
选项C：当$k＜0$时，仅在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，若跨象限比较不满足该规律（如$x=-2$时$y=4$，$x=2$时$y=-4$，$x$增大但$y$减小），因此C结论错误，符合题意；
选项D：反比例函数的图象是关于原点成中心对称的双曲线，D结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，易错点是忽略反比例函数增减性的成立前提“在同一象限内”，掌握核心性质即可快速判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 矩形面积为4,它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为( 
)
)答案
B
解析
【分析】
首先从矩形面积的等量关系入手推导长和宽的函数关系：矩形面积=长×宽，已知面积为4，可得x和y的乘积为定值，判断属于反比例函数关系。其次要结合实际意义确定变量的取值范围：矩形的宽x和长y都必须为正数，因此函数图象仅存在于第一象限，最后结合反比例函数的图象特征逐一筛选选项即可。
【解析】
解：根据矩形面积公式可得：$x· y=4$，
整理得到函数关系式：$y=\frac{4}{x}$，
∵矩形的宽$x$为正数，即$x＞0$，
∴对应的长$y=\frac{4}{x}$也大于0，
因此该函数的图象是位于第一象限的反比例函数曲线，对比选项，只有B符合特征。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用；反比例函数图象；自变量取值范围
【点评】
本题结合几何实际背景考查反比例函数的图象判断，解题核心是先根据等量关系列出函数解析式，尤其要注意实际问题中自变量的取值限制，避免忽略取值范围误选干扰项。
【难度系数】
0.7
首先从矩形面积的等量关系入手推导长和宽的函数关系：矩形面积=长×宽，已知面积为4，可得x和y的乘积为定值，判断属于反比例函数关系。其次要结合实际意义确定变量的取值范围：矩形的宽x和长y都必须为正数，因此函数图象仅存在于第一象限，最后结合反比例函数的图象特征逐一筛选选项即可。
【解析】
解：根据矩形面积公式可得：$x· y=4$，
整理得到函数关系式：$y=\frac{4}{x}$，
∵矩形的宽$x$为正数，即$x＞0$，
∴对应的长$y=\frac{4}{x}$也大于0，
因此该函数的图象是位于第一象限的反比例函数曲线，对比选项，只有B符合特征。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用；反比例函数图象；自变量取值范围
【点评】
本题结合几何实际背景考查反比例函数的图象判断，解题核心是先根据等量关系列出函数解析式，尤其要注意实际问题中自变量的取值限制，避免忽略取值范围误选干扰项。
【难度系数】
0.7
7. 在同一直角坐标平面内，如果直线$y = k_1x$与双曲线$y = \dfrac{k_2}{x}$没有交点，那么$k_1$和$k_2$的关系一定是(
A.$k_1 ＜ 0, k_2 ＞ 0$
B.$k_1 ＞ 0, k_2 ＜ 0$
C.$k_1, k_2$同号
D.$k_1, k_2$异号
D
)A.$k_1 ＜ 0, k_2 ＞ 0$
B.$k_1 ＞ 0, k_2 ＜ 0$
C.$k_1, k_2$同号
D.$k_1, k_2$异号
答案
7. D
解析
【分析】
要判断直线$y=k_1x$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}$无交点时$k_1$、$k_2$的关系，可从两个方向思考：一是函数图像的象限分布规律，二是联立解析式转化为方程有无实数解的问题。首先回忆两类函数的图像性质：正比例函数的象限由$k_1$符号决定，反比例函数的象限由$k_2$符号决定，若两图像无交点，说明二者经过的象限完全不同，即$k_1$和$k_2$符号相反；也可联立两个解析式消去$y$，得到关于$x$的方程，根据方程无实根的条件推导$k_1$、$k_2$的符号关系，注意要选“一定”成立的结论，排除片面的选项。
【解析】
方法一：联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y = k_1x \\y = \dfrac{k_2}{x}\end{cases}$
消去$y$得：$k_1x = \dfrac{k_2}{x}$，
由于反比例函数自变量$x≠0$，两边同乘$x$整理得：$x^2 = \dfrac{k_2}{k_1}$。
因为两函数图像没有交点，说明该方程没有实数解，又因为对任意实数$x$都有$x^2≥0$，因此只有当$\dfrac{k_2}{k_1}＜0$时方程无解，即$k_1$与$k_2$异号。
方法二：根据函数图像性质判断：
当$k_1＞0$时，直线$y=k_1x$经过第一、三象限，若两图像无交点，则双曲线不能经过第一、三象限，即$k_2＜0$；
当$k_1＜0$时，直线$y=k_1x$经过第二、四象限，若两图像无交点，则双曲线不能经过第二、四象限，即$k_2＞0$。
综上，$k_1$和$k_2$一定异号，选项A、B只是异号的两种个别情况，不是必然关系，选项C同号时两函数经过相同象限，必有交点，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数交点与方程的关系
【点评】
本题既可以通过函数图象的象限分布直观判断，也可以通过联立方程转化为代数式符号问题求解，解题时要注意题干要求的是“一定”成立的关系，避免误选片面的A、B选项。
【难度系数】
0.8
要判断直线$y=k_1x$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}$无交点时$k_1$、$k_2$的关系，可从两个方向思考：一是函数图像的象限分布规律，二是联立解析式转化为方程有无实数解的问题。首先回忆两类函数的图像性质：正比例函数的象限由$k_1$符号决定，反比例函数的象限由$k_2$符号决定，若两图像无交点，说明二者经过的象限完全不同，即$k_1$和$k_2$符号相反；也可联立两个解析式消去$y$，得到关于$x$的方程，根据方程无实根的条件推导$k_1$、$k_2$的符号关系，注意要选“一定”成立的结论，排除片面的选项。
【解析】
方法一：联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y = k_1x \\y = \dfrac{k_2}{x}\end{cases}$
消去$y$得：$k_1x = \dfrac{k_2}{x}$，
由于反比例函数自变量$x≠0$，两边同乘$x$整理得：$x^2 = \dfrac{k_2}{k_1}$。
因为两函数图像没有交点，说明该方程没有实数解，又因为对任意实数$x$都有$x^2≥0$，因此只有当$\dfrac{k_2}{k_1}＜0$时方程无解，即$k_1$与$k_2$异号。
方法二：根据函数图像性质判断：
当$k_1＞0$时，直线$y=k_1x$经过第一、三象限，若两图像无交点，则双曲线不能经过第一、三象限，即$k_2＜0$；
当$k_1＜0$时，直线$y=k_1x$经过第二、四象限，若两图像无交点，则双曲线不能经过第二、四象限，即$k_2＞0$。
综上，$k_1$和$k_2$一定异号，选项A、B只是异号的两种个别情况，不是必然关系，选项C同号时两函数经过相同象限，必有交点，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数交点与方程的关系
【点评】
本题既可以通过函数图象的象限分布直观判断，也可以通过联立方程转化为代数式符号问题求解，解题时要注意题干要求的是“一定”成立的关系，避免误选片面的A、B选项。
【难度系数】
0.8
8. 已知变量y与x成反比例，当$x=3$时，$y=-6$，那么当$y=3$时，x的值是(
A.6
B.-6
C.9
D.-9
B
)A.6
B.-6
C.9
D.-9
答案
8. B
解析
【分析】
本题考查反比例函数的相关计算，解题思路为：首先根据反比例的定义设出反比例函数的标准解析式，再将已知的x、y对应值代入解析式求出比例系数k，得到完整的函数表达式，最后将y=3代入表达式求解对应的x值即可。
【解析】
解：
∵变量y与x成反比例
∴设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
把$x=3$，$y=-6$代入解析式得：
$-6=\frac{k}{3}$
解得$k=3×(-6)=-18$
则反比例函数解析式为$y=\frac{-18}{x}$
当$y=3$时，代入解析式得：
$3=\frac{-18}{x}$
解得$x=-6$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，主要考查待定系数法的应用，掌握反比例函数的基本形式是解题的关键，整体计算量小，逻辑简单。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的相关计算，解题思路为：首先根据反比例的定义设出反比例函数的标准解析式，再将已知的x、y对应值代入解析式求出比例系数k，得到完整的函数表达式，最后将y=3代入表达式求解对应的x值即可。
【解析】
解：
∵变量y与x成反比例
∴设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
把$x=3$，$y=-6$代入解析式得：
$-6=\frac{k}{3}$
解得$k=3×(-6)=-18$
则反比例函数解析式为$y=\frac{-18}{x}$
当$y=3$时，代入解析式得：
$3=\frac{-18}{x}$
解得$x=-6$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，主要考查待定系数法的应用，掌握反比例函数的基本形式是解题的关键，整体计算量小，逻辑简单。
【难度系数】
0.8
9. 已知点$(-3,y_1),(-1,y_2),(1,y_3)$在下列某一函数图象上，且$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$，那么这个函数是(
A.$y = 3x$
B.$y = 3x^2$
C.$y = \dfrac{3}{x}$
D.$y = -\dfrac{3}{x}$
D
)A.$y = 3x$
B.$y = 3x^2$
C.$y = \dfrac{3}{x}$
D.$y = -\dfrac{3}{x}$
答案
9. D
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：将三个点的横坐标分别代入四个选项的函数解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再对比大小关系是否符合题干要求；思路二：根据各函数的增减性，结合三个点的横坐标特征，直接判断y值的大小关系，两种方法都能快速锁定正确选项，选择题可优先选择计算量小的方法。
【解析】
我们通过代入求值法逐一验证选项：
A. 对于$y=3x$：
$y_1=3×(-3)=-9$，$y_2=3×(-1)=-3$，$y_3=3×1=3$，大小关系为$y_1＜y_2＜y_3$，不符合题意，排除；
B. 对于$y=3x^2$：
$y_1=3×(-3)^2=27$，$y_2=3×(-1)^2=3$，$y_3=3×1^2=3$，大小关系为$y_2=y_3＜y_1$，不符合题意，排除；
C. 对于$y=\dfrac{3}{x}$：
$y_1=\dfrac{3}{-3}=-1$，$y_2=\dfrac{3}{-1}=-3$，$y_3=\dfrac{3}{1}=3$，大小关系为$y_2＜y_1＜y_3$，不符合题意，排除；
D. 对于$y=-\dfrac{3}{x}$：
$y_1=\dfrac{-3}{-3}=1$，$y_2=\dfrac{-3}{-1}=3$，$y_3=\dfrac{-3}{1}=-3$，大小关系为$y_3＜y_1＜y_2$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
函数值大小比较，反比例函数的性质，一次函数与二次函数的性质
【点评】
本题属于函数性质的基础应用题型，既可以通过直接代入计算的方法验证，也可以利用各函数的增减性快速排除错误选项，解题时可灵活选择方法，提升做题效率。
【难度系数】
0.7
本题可通过两种思路求解：思路一：将三个点的横坐标分别代入四个选项的函数解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再对比大小关系是否符合题干要求；思路二：根据各函数的增减性，结合三个点的横坐标特征，直接判断y值的大小关系，两种方法都能快速锁定正确选项，选择题可优先选择计算量小的方法。
【解析】
我们通过代入求值法逐一验证选项：
A. 对于$y=3x$：
$y_1=3×(-3)=-9$，$y_2=3×(-1)=-3$，$y_3=3×1=3$，大小关系为$y_1＜y_2＜y_3$，不符合题意，排除；
B. 对于$y=3x^2$：
$y_1=3×(-3)^2=27$，$y_2=3×(-1)^2=3$，$y_3=3×1^2=3$，大小关系为$y_2=y_3＜y_1$，不符合题意，排除；
C. 对于$y=\dfrac{3}{x}$：
$y_1=\dfrac{3}{-3}=-1$，$y_2=\dfrac{3}{-1}=-3$，$y_3=\dfrac{3}{1}=3$，大小关系为$y_2＜y_1＜y_3$，不符合题意，排除；
D. 对于$y=-\dfrac{3}{x}$：
$y_1=\dfrac{-3}{-3}=1$，$y_2=\dfrac{-3}{-1}=3$，$y_3=\dfrac{-3}{1}=-3$，大小关系为$y_3＜y_1＜y_2$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
函数值大小比较，反比例函数的性质，一次函数与二次函数的性质
【点评】
本题属于函数性质的基础应用题型，既可以通过直接代入计算的方法验证，也可以利用各函数的增减性快速排除错误选项，解题时可灵活选择方法，提升做题效率。
【难度系数】
0.7
