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10. 函数$y=x+m$与$y=\frac{m}{x}(m≠0)$在同一坐标系内的图象可以是(
B
)答案
10. B
解析
【分析】
解题时先从一次函数的斜率特征入手排除明显错误选项，再根据参数m的正负分类，结合一次函数的截距特征、反比例函数的象限分布特征，判断两种函数的参数符号是否一致，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=x+m$的性质：其一次项系数为$1＞0$，因此直线必然呈从左下到右上的上升趋势，观察选项C、D中直线为下降趋势，不符合性质，直接排除C、D。
2. 分情况讨论$m$的符号：
若$m＞0$：一次函数$y=x+m$与$y$轴交于正半轴；反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象位于第一、三象限，对应选项B符合该特征。
若$m＜0$：一次函数$y=x+m$与$y$轴交于负半轴；反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象位于第二、四象限，选项A中反比例图象在第一、三象限，说明$m＞0$，和一次函数的截距特征矛盾，排除A。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象的综合判断题，解题关键是掌握分类讨论的思想，结合两类函数的图象性质逐一排查错误选项，能很好地考查学生对函数性质的掌握程度和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从一次函数的斜率特征入手排除明显错误选项，再根据参数m的正负分类，结合一次函数的截距特征、反比例函数的象限分布特征，判断两种函数的参数符号是否一致，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=x+m$的性质：其一次项系数为$1＞0$，因此直线必然呈从左下到右上的上升趋势，观察选项C、D中直线为下降趋势，不符合性质，直接排除C、D。
2. 分情况讨论$m$的符号：
若$m＞0$：一次函数$y=x+m$与$y$轴交于正半轴；反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象位于第一、三象限，对应选项B符合该特征。
若$m＜0$：一次函数$y=x+m$与$y$轴交于负半轴；反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象位于第二、四象限，选项A中反比例图象在第一、三象限，说明$m＞0$，和一次函数的截距特征矛盾，排除A。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象的综合判断题，解题关键是掌握分类讨论的思想，结合两类函数的图象性质逐一排查错误选项，能很好地考查学生对函数性质的掌握程度和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图，点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中$∠ OAB=90°$，$AO=AB$，则线段OB长的最小值是(
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.4
C
)A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.4
答案
11. C
解析
【分析】
我们可以先设出反比例函数上点A的坐标，利用反比例函数解析式表示A的坐标特征；再根据等腰直角三角形的性质，找到OB和OA的数量关系，把求OB最小值的问题转化为求OA最小值的问题；接着用两点间距离公式表示OA的平方，结合完全平方的非负性求出OA的最小值，最终就能算出OB的最小值。
【解析】
设点A的坐标为$\boldsymbol{(a, \frac{2}{a})}$（$a＞0$），满足反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的解析式。
在等腰直角$△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$AO=AB$，由勾股定理可得：
$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 2OA^2$，因此$OB=\sqrt{2}OA$，要使OB最小，只需OA取得最小值即可。
根据两点间距离公式，$OA^2 = a^2 + (\frac{2}{a})^2$。
由完全平方的非负性可知$(a - \frac{2}{a})^2 ≥ 0$，展开得：
$a^2 - 2· a· \frac{2}{a} + (\frac{2}{a})^2 ≥ 0$，整理得$a^2 + (\frac{2}{a})^2 ≥ 4$。
当且仅当$a - \frac{2}{a}=0$，即$a=\sqrt{2}$（$a＞0$，舍去负根）时，等号成立，此时$OA^2$的最小值为4，$OA$的最小值为2。
因此$OB$的最小值为$\sqrt{2} × 2 = 2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，最值计算
【点评】
本题属于综合类题型，解题的核心是将求OB的最小值转化为求OA的最小值，结合代数公式求解，考查了数形结合思想和转化思想，需要学生熟练掌握反比例函数、几何图形性质和代数最值的相关知识。
【难度系数】
0.6
我们可以先设出反比例函数上点A的坐标，利用反比例函数解析式表示A的坐标特征；再根据等腰直角三角形的性质，找到OB和OA的数量关系，把求OB最小值的问题转化为求OA最小值的问题；接着用两点间距离公式表示OA的平方，结合完全平方的非负性求出OA的最小值，最终就能算出OB的最小值。
【解析】
设点A的坐标为$\boldsymbol{(a, \frac{2}{a})}$（$a＞0$），满足反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的解析式。
在等腰直角$△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$AO=AB$，由勾股定理可得：
$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 2OA^2$，因此$OB=\sqrt{2}OA$，要使OB最小，只需OA取得最小值即可。
根据两点间距离公式，$OA^2 = a^2 + (\frac{2}{a})^2$。
由完全平方的非负性可知$(a - \frac{2}{a})^2 ≥ 0$，展开得：
$a^2 - 2· a· \frac{2}{a} + (\frac{2}{a})^2 ≥ 0$，整理得$a^2 + (\frac{2}{a})^2 ≥ 4$。
当且仅当$a - \frac{2}{a}=0$，即$a=\sqrt{2}$（$a＞0$，舍去负根）时，等号成立，此时$OA^2$的最小值为4，$OA$的最小值为2。
因此$OB$的最小值为$\sqrt{2} × 2 = 2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，最值计算
【点评】
本题属于综合类题型，解题的核心是将求OB的最小值转化为求OA的最小值，结合代数公式求解，考查了数形结合思想和转化思想，需要学生熟练掌握反比例函数、几何图形性质和代数最值的相关知识。
【难度系数】
0.6
12. 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(m,6) $，$ B(3,n) $ 两点.
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 根据图象直接写出使 $ kx + b ＜ \frac{6}{x} $ 成立的 $ x $ 的取值范围.
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 根据图象直接写出使 $ kx + b ＜ \frac{6}{x} $ 成立的 $ x $ 的取值范围.
答案
12. (1) $y=- 2x + 8$;(2)$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 3$.
解析
【分析】
要解决本题，分两步思考：
1. 求一次函数解析式：已知一次函数过A、B两点，而A、B都在反比例函数图象上，先利用反比例函数解析式求出A、B的坐标，再用待定系数法代入一次函数求解k、b即可。
2. 求不等式$kx+b ＜ \frac{6}{x}$的x范围：该不等式的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值，结合已知的交点坐标和$x＞0$的限制，直接观察图象即可得到范围。
【解析】
(1) 先求点A、B的坐标：
∵ 点$A(m,6)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上
∴ 代入得$6=\frac{6}{m}$，解得$m=1$，即$A(1,6)$
∵ 点$B(3,n)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上
∴ 代入得$n=\frac{6}{3}=2$，即$B(3,2)$
将$A(1,6)$、$B(3,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=6 \\3k+b=2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k=-4$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入$k+b=6$，得$-2+b=6$，解得$b=8$
∴ 一次函数的解析式为$y=-2x+8$
(2) 观察图象，$x＞0$时，一次函数图象在反比例函数图象下方的部分对应的x取值为：
$0＜x＜1$或$x＞3$
即$kx+b ＜ \frac{6}{x}$成立的$x$的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞3$
【答案】
(1) $y=-2x+8$；(2) $0＜x＜1$或$x＞3$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数与一次函数交点；图象法解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查点在函数图象上的坐标特征、待定系数法求函数解析式，以及数形结合解不等式的能力，解题时要注意题目中$x＞0$的限制条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，分两步思考：
1. 求一次函数解析式：已知一次函数过A、B两点，而A、B都在反比例函数图象上，先利用反比例函数解析式求出A、B的坐标，再用待定系数法代入一次函数求解k、b即可。
2. 求不等式$kx+b ＜ \frac{6}{x}$的x范围：该不等式的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值，结合已知的交点坐标和$x＞0$的限制，直接观察图象即可得到范围。
【解析】
(1) 先求点A、B的坐标：
∵ 点$A(m,6)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上
∴ 代入得$6=\frac{6}{m}$，解得$m=1$，即$A(1,6)$
∵ 点$B(3,n)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上
∴ 代入得$n=\frac{6}{3}=2$，即$B(3,2)$
将$A(1,6)$、$B(3,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=6 \\3k+b=2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k=-4$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入$k+b=6$，得$-2+b=6$，解得$b=8$
∴ 一次函数的解析式为$y=-2x+8$
(2) 观察图象，$x＞0$时，一次函数图象在反比例函数图象下方的部分对应的x取值为：
$0＜x＜1$或$x＞3$
即$kx+b ＜ \frac{6}{x}$成立的$x$的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞3$
【答案】
(1) $y=-2x+8$；(2) $0＜x＜1$或$x＞3$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数与一次函数交点；图象法解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查点在函数图象上的坐标特征、待定系数法求函数解析式，以及数形结合解不等式的能力，解题时要注意题目中$x＞0$的限制条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
13. 一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间x(单位:分钟)的变化规律如图所示(其中AB,BC为线段,CD为双曲线的一部分).
(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数解析式.
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟.
(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数解析式.
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟.
答案
13. (1)$y_1 = 2x + 30(0 ≤ x ≤ 10)$,$y_2 = \frac{2200}{x}(x ≥ 44)$;(2)50分钟.
解析
【分析】
(1) 求线段AB的解析式：AB为一次函数图象，已知过点A(0,30)和B(10,50)，采用待定系数法设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标即可求出k、b，同时确定自变量x的取值范围；求双曲线CD的解析式：CD为反比例函数图象，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，已知过点C(44,50)，代入求出k值，再确定x的取值范围即可。
(2) 高效时间对应注意力指数$y≥40$，分三段讨论：AB段令$y≥40$求出对应的x范围，BC段y恒为50，全部满足$y≥40$可直接计算时长，CD段令$y≥40$求出对应的x范围，最后将三段符合条件的时长相加就是总高效时间。
【解析】
(1) 求线段AB的函数解析式：
设线段AB的解析式为$y_1=kx+b$（$k≠0$），
由图象可知AB过点$A(0,30)$和$B(10,50)$，
将$x=0,y=30$代入得$b=30$，
将$x=10,y=50,b=30$代入得$10k+30=50$，解得$k=2$，
因此线段AB的解析式为$y_1=2x+30$，自变量取值范围为$0≤x≤10$。
求双曲线CD的函数解析式：
设双曲线CD的解析式为$y_2=\frac{k}{x}$（$k≠0$），
由图象可知CD过点$C(44,50)$，
将$x=44,y=50$代入得$50=\frac{k}{44}$，解得$k=44×50=2200$，
因此双曲线CD的解析式为$y_2=\frac{2200}{x}$，自变量取值范围为$x≥44$。
(2) 计算高效时间：
高效时间要求注意力指数$y≥40$：
① 线段AB段（$0≤x≤10$）：令$2x+30≥40$，解得$x≥5$，符合条件的x范围为$5≤x≤10$，时长为$10-5=5$分钟；
② 线段BC段（$10＜x＜44$）：y恒为50，均满足$y≥40$，时长为$44-10=34$分钟；
③ 双曲线CD段（$x≥44$）：令$\frac{2200}{x}≥40$，结合x＞0解得$x≤55$，符合条件的x范围为$44≤x≤55$，时长为$55-44=11$分钟。
总高效时间为$5+34+11=50$分钟。
【答案】
(1) 线段AB：$y_1 = 2x + 30(0 ≤ x ≤ 10)$，双曲线CD：$y_2 = \frac{2200}{x}(x ≥ 44)$；(2) 50分钟
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查分段函数的应用，需要熟练掌握一次函数和反比例函数解析式的求解方法，解题时要注意各段函数对应的自变量取值范围，根据函数值的限制准确求出对应的自变量区间，再计算时长即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求线段AB的解析式：AB为一次函数图象，已知过点A(0,30)和B(10,50)，采用待定系数法设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标即可求出k、b，同时确定自变量x的取值范围；求双曲线CD的解析式：CD为反比例函数图象，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，已知过点C(44,50)，代入求出k值，再确定x的取值范围即可。
(2) 高效时间对应注意力指数$y≥40$，分三段讨论：AB段令$y≥40$求出对应的x范围，BC段y恒为50，全部满足$y≥40$可直接计算时长，CD段令$y≥40$求出对应的x范围，最后将三段符合条件的时长相加就是总高效时间。
【解析】
(1) 求线段AB的函数解析式：
设线段AB的解析式为$y_1=kx+b$（$k≠0$），
由图象可知AB过点$A(0,30)$和$B(10,50)$，
将$x=0,y=30$代入得$b=30$，
将$x=10,y=50,b=30$代入得$10k+30=50$，解得$k=2$，
因此线段AB的解析式为$y_1=2x+30$，自变量取值范围为$0≤x≤10$。
求双曲线CD的函数解析式：
设双曲线CD的解析式为$y_2=\frac{k}{x}$（$k≠0$），
由图象可知CD过点$C(44,50)$，
将$x=44,y=50$代入得$50=\frac{k}{44}$，解得$k=44×50=2200$，
因此双曲线CD的解析式为$y_2=\frac{2200}{x}$，自变量取值范围为$x≥44$。
(2) 计算高效时间：
高效时间要求注意力指数$y≥40$：
① 线段AB段（$0≤x≤10$）：令$2x+30≥40$，解得$x≥5$，符合条件的x范围为$5≤x≤10$，时长为$10-5=5$分钟；
② 线段BC段（$10＜x＜44$）：y恒为50，均满足$y≥40$，时长为$44-10=34$分钟；
③ 双曲线CD段（$x≥44$）：令$\frac{2200}{x}≥40$，结合x＞0解得$x≤55$，符合条件的x范围为$44≤x≤55$，时长为$55-44=11$分钟。
总高效时间为$5+34+11=50$分钟。
【答案】
(1) 线段AB：$y_1 = 2x + 30(0 ≤ x ≤ 10)$，双曲线CD：$y_2 = \frac{2200}{x}(x ≥ 44)$；(2) 50分钟
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查分段函数的应用，需要熟练掌握一次函数和反比例函数解析式的求解方法，解题时要注意各段函数对应的自变量取值范围，根据函数值的限制准确求出对应的自变量区间，再计算时长即可。
【难度系数】
0.7
