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1. 一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成
$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）
的形式,那么称y是x的反比例函数. 反比例函数的自变量x的取值范围是x≠0
.答案
1. $y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0），自变量x的取值范围是x≠0
解析
【分析】
这道题考查反比例函数的基础概念，解题思路如下：首先回忆反比例函数的官方定义，明确其标准表达形式的核心要求（要注意常数k的限制条件）；再结合分式有意义的规则，推导自变量x的取值范围，只要对基础概念记忆准确就能顺利解题。
【解析】
根据反比例函数的定义可知：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k\ne0$）的形式，那么称y是x的反比例函数。
再分析自变量的取值范围：由于表达式里x处于分母位置，根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此自变量x的取值范围是$x\ne0$。
【答案】
$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$）；$x\ne0$
【知识点】
反比例函数的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对反比例函数核心定义的记忆和理解，属于送分类题型，熟练掌握课本基础概念即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查反比例函数的基础概念，解题思路如下：首先回忆反比例函数的官方定义，明确其标准表达形式的核心要求（要注意常数k的限制条件）；再结合分式有意义的规则，推导自变量x的取值范围，只要对基础概念记忆准确就能顺利解题。
【解析】
根据反比例函数的定义可知：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k\ne0$）的形式，那么称y是x的反比例函数。
再分析自变量的取值范围：由于表达式里x处于分母位置，根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此自变量x的取值范围是$x\ne0$。
【答案】
$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$）；$x\ne0$
【知识点】
反比例函数的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对反比例函数核心定义的记忆和理解，属于送分类题型，熟练掌握课本基础概念即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9
2. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线通常称为
双曲线
.当$k＞0$时，两支曲线分别位于第一、三
象限内，在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小
；当$k＜0$时，两支曲线分别位于第二、四
象限内，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大
.答案
2. 双曲线；一、三；减小；二、四；增大
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基本概念与性质，解题时可直接回忆反比例函数相关基础知识点作答：首先明确反比例函数的图象名称，再根据k的正负性分别判断图象所在象限以及增减性即可。
【解析】
根据反比例函数的定义与性质：
1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是两支曲线，名称为双曲线；
2. 当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x$、$y$同号，因此两支曲线分别位于第一、三象限；在同一象限内取两个数值对比函数值可得，$y$随$x$的增大而减小；
3. 当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x$、$y$异号，因此两支曲线分别位于第二、四象限；在同一象限内取两个数值对比函数值可得，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
双曲线；一、三；减小；二、四；增大
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，是反比例函数章节的核心基础内容，熟练掌握本知识点是解决反比例函数相关题型的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的基本概念与性质，解题时可直接回忆反比例函数相关基础知识点作答：首先明确反比例函数的图象名称，再根据k的正负性分别判断图象所在象限以及增减性即可。
【解析】
根据反比例函数的定义与性质：
1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是两支曲线，名称为双曲线；
2. 当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x$、$y$同号，因此两支曲线分别位于第一、三象限；在同一象限内取两个数值对比函数值可得，$y$随$x$的增大而减小；
3. 当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x$、$y$异号，因此两支曲线分别位于第二、四象限；在同一象限内取两个数值对比函数值可得，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
双曲线；一、三；减小；二、四；增大
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，是反比例函数章节的核心基础内容，熟练掌握本知识点是解决反比例函数相关题型的前提。
【难度系数】
0.9
3. 数学与实际生活是紧密结合在一起的，现实生活中的一些问题都可以用反比例函数来解决. 在应用反比例函数时,应特别注意
自变量
的取值范围.答案
3. 自变量
解析
【分析】
我们可以结合反比例函数的特点和实际应用的要求来思考：首先反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），从解析式本身来看自变量$x$不能为0；其次在解决实际生活问题时，自变量往往对应有实际意义的量，比如物品数量、时长、价格等，这些量还有额外的现实限制（比如不能为负数、数量需为正整数等），如果忽略自变量的取值范围，得到的结果会不符合实际情况，因此应用时要重点关注自变量的取值范围。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其中自变量$x$首先要满足分母不为0的要求，即$x≠0$；在结合实际场景应用时，自变量的取值还需要符合对应的实际意义，例如代表人数时取值需为正整数、代表长度时取值需为正数等，因此应用反比例函数时，应特别注意自变量的取值范围。
【答案】
自变量
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.反比例函数的实际应用
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查学生对函数实际应用注意事项的掌握，提醒学生解决函数类实际问题时要结合现实意义判断结果的合理性。
【难度系数】
0.9
我们可以结合反比例函数的特点和实际应用的要求来思考：首先反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），从解析式本身来看自变量$x$不能为0；其次在解决实际生活问题时，自变量往往对应有实际意义的量，比如物品数量、时长、价格等，这些量还有额外的现实限制（比如不能为负数、数量需为正整数等），如果忽略自变量的取值范围，得到的结果会不符合实际情况，因此应用时要重点关注自变量的取值范围。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其中自变量$x$首先要满足分母不为0的要求，即$x≠0$；在结合实际场景应用时，自变量的取值还需要符合对应的实际意义，例如代表人数时取值需为正整数、代表长度时取值需为正数等，因此应用反比例函数时，应特别注意自变量的取值范围。
【答案】
自变量
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.反比例函数的实际应用
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查学生对函数实际应用注意事项的掌握，提醒学生解决函数类实际问题时要结合现实意义判断结果的合理性。
【难度系数】
0.9
例1 反比例函数的解析式 $y=(m - 1)x^{m^2 - 2}$，则 $m=$
-1
。答案
例1. -1
解析
【分析】
要解决本题，需结合反比例函数的定义分析：反比例函数需满足两个核心条件：①自变量x的指数为-1；②x的系数不为0，两个条件缺一不可。解题时先根据指数要求列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合的取值，即可得到结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，形如$y=kx^{-1}$（$k≠0$，k为常数）的函数为反比例函数，因此可得：
1. 由自变量x的指数要求列方程：$m^2 - 2 = -1$
解方程得：$m^2 = 1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 由系数不为0的限制列不等式：$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
综上，排除不符合要求的$m=1$，最终得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
反比例函数的定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】
本题是考查反比例函数定义的基础题型，解题的易错点是容易忽略系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结论，解答这类定义类题型时要注意梳理全所有限制条件，逐一验证后再确定最终结果。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合反比例函数的定义分析：反比例函数需满足两个核心条件：①自变量x的指数为-1；②x的系数不为0，两个条件缺一不可。解题时先根据指数要求列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合的取值，即可得到结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，形如$y=kx^{-1}$（$k≠0$，k为常数）的函数为反比例函数，因此可得：
1. 由自变量x的指数要求列方程：$m^2 - 2 = -1$
解方程得：$m^2 = 1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 由系数不为0的限制列不等式：$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
综上，排除不符合要求的$m=1$，最终得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
反比例函数的定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】
本题是考查反比例函数定义的基础题型，解题的易错点是容易忽略系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结论，解答这类定义类题型时要注意梳理全所有限制条件，逐一验证后再确定最终结果。
【难度系数】
0.7
例2 如果$y = y_1 + y_2$，$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x - 2$成反比例，且$x = 1$时，$y = 5$，$x = 3$时，$y = 7$，则该函数的解析式是（
A.$y = 3x - \dfrac{2}{x}$
B.$y = 3x - \dfrac{2}{x - 2}$
C.$y = 2x + \dfrac{3}{x}$
D.$y = 2x + \dfrac{3}{x - 2}$
D
）A.$y = 3x - \dfrac{2}{x}$
B.$y = 3x - \dfrac{2}{x - 2}$
C.$y = 2x + \dfrac{3}{x}$
D.$y = 2x + \dfrac{3}{x - 2}$
答案
例2. D
解析
【分析】
首先，根据正比例函数和反比例函数的定义，分别设出$y_1$和$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含未知系数的解析式。再将题目给出的两组$x、y$的对应值代入解析式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后，即可确定最终的函数解析式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 设函数表达式：
因为$y_1$与$x$成正比例，设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$，$k_1$为常数）；
因为$y_2$与$x-2$成反比例，设$y_2 = \frac{k_2}{x-2}$（$k_2≠0$，$k_2$为常数）；
所以$y = y_1 + y_2 = k_1x + \frac{k_2}{x-2}$。
2. 代入已知条件列方程组：
把$x=1,y=5$代入得：$5 = k_1×1 + \frac{k_2}{1-2}$，化简得：$k_1 - k_2 = 5$ ①；
把$x=3,y=7$代入得：$7 = k_1×3 + \frac{k_2}{3-2}$，化简得：$3k_1 + k_2 =7$ ②。
3. 解方程组：
①+②得：$4k_1 =12$，解得$k_1=3$；
把$k_1=3$代入①得：$3 - k_2 =5$，解得$k_2=-2$。
4. 确定解析式：
把$k_1=3,k_2=-2$代入$y = k_1x + \frac{k_2}{x-2}$，得$y=3x - \frac{2}{x-2}$，对应选项B，与参考答案D不一致，故返回：
1
首先，根据正比例函数和反比例函数的定义，分别设出$y_1$和$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含未知系数的解析式。再将题目给出的两组$x、y$的对应值代入解析式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后，即可确定最终的函数解析式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 设函数表达式：
因为$y_1$与$x$成正比例，设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$，$k_1$为常数）；
因为$y_2$与$x-2$成反比例，设$y_2 = \frac{k_2}{x-2}$（$k_2≠0$，$k_2$为常数）；
所以$y = y_1 + y_2 = k_1x + \frac{k_2}{x-2}$。
2. 代入已知条件列方程组：
把$x=1,y=5$代入得：$5 = k_1×1 + \frac{k_2}{1-2}$，化简得：$k_1 - k_2 = 5$ ①；
把$x=3,y=7$代入得：$7 = k_1×3 + \frac{k_2}{3-2}$，化简得：$3k_1 + k_2 =7$ ②。
3. 解方程组：
①+②得：$4k_1 =12$，解得$k_1=3$；
把$k_1=3$代入①得：$3 - k_2 =5$，解得$k_2=-2$。
4. 确定解析式：
把$k_1=3,k_2=-2$代入$y = k_1x + \frac{k_2}{x-2}$，得$y=3x - \frac{2}{x-2}$，对应选项B，与参考答案D不一致，故返回：
1
例3 如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴,y轴作垂线.若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的解析式是
例3图
例4图
$y=-\frac{3}{x}$
.例3图
例4图
答案
例3. $y=-\frac{3}{x}$
解析
【分析】
要求反比例函数的解析式，核心是求出比例系数k的值。首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。我们可以先通过已知的阴影部分（即该矩形）的面积求出k的绝对值，再结合函数图象所在的象限判断k的正负，即可确定k的值，进而得到函数解析式。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $）。
根据反比例函数k的几何意义，可得阴影部分矩形的面积为$ |k| $。
已知阴影部分面积为3，因此$ |k| = 3 $，解得$ k = 3 $或$ k = -3 $。
结合图象可知该反比例函数图象位于第二、四象限，因此$ k ＜ 0 $，故$ k = -3 $。
所以这个反比例函数的解析式为$ y = -\frac{3}{x} $。
【答案】
$ y=-\frac{3}{x} $
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，同时要注意结合图象判断k的符号，避免因忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.7
要求反比例函数的解析式，核心是求出比例系数k的值。首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。我们可以先通过已知的阴影部分（即该矩形）的面积求出k的绝对值，再结合函数图象所在的象限判断k的正负，即可确定k的值，进而得到函数解析式。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $）。
根据反比例函数k的几何意义，可得阴影部分矩形的面积为$ |k| $。
已知阴影部分面积为3，因此$ |k| = 3 $，解得$ k = 3 $或$ k = -3 $。
结合图象可知该反比例函数图象位于第二、四象限，因此$ k ＜ 0 $，故$ k = -3 $。
所以这个反比例函数的解析式为$ y = -\frac{3}{x} $。
【答案】
$ y=-\frac{3}{x} $
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，同时要注意结合图象判断k的符号，避免因忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.7
例4 如图是三个反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，$y=\frac{k_2}{x}$，$y=\frac{k_3}{x}$在$x$轴上方的图象，由此观察得到$k_1,k_2,k_3$的大小关系为(
A.$k_1 ＞ k_2 ＞ k_3$
B.$k_3 ＞ k_2 ＞ k_1$
C.$k_2 ＞ k_3 ＞ k_1$
D.$k_3 ＞ k_1 ＞ k_2$
B
)A.$k_1 ＞ k_2 ＞ k_3$
B.$k_3 ＞ k_2 ＞ k_1$
C.$k_2 ＞ k_3 ＞ k_1$
D.$k_3 ＞ k_1 ＞ k_2$
答案
例4. B
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：①$k＞0$时，图象位于第一、三象限；$k＜0$时，图象位于第二、四象限。②在同一象限内，反比例函数图象离原点越远，$k$的绝对值越大。首先根据三个函数图象所在的象限判断$k_1、k_2、k_3$的正负，确定最小的$k$值，再比较第一象限内两个函数对应的$k$值大小即可得出结论。
【解析】
1. 判断$k$的正负：
观察图象可知，$y=\frac{k_1}{x}$的图象在第二象限，根据反比例函数性质可得$k_1＜0$；
$y=\frac{k_2}{x}$和$y=\frac{k_3}{x}$的图象都在第一象限，因此$k_2＞0$，$k_3＞0$，因此$k_1$是三个数中最小的。
2. 比较$k_2$和$k_3$的大小：
取任意正数值$x=a$（$a＞0$），代入两个第一象限的反比例函数可得：$y_2=\frac{k_2}{a}$，$y_3=\frac{k_3}{a}$。
从图象可看出，当$x=a$时，$y_3＞y_2$，即$\frac{k_3}{a}＞\frac{k_2}{a}$，不等式两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，可得$k_3＞k_2$。
综上，$k_3＞k_2＞k_1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数图象与系数的关系
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题核心是熟练掌握反比例函数图象位置和$k$的符号的对应关系，以及同象限内$k$值大小的比较方法，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：①$k＞0$时，图象位于第一、三象限；$k＜0$时，图象位于第二、四象限。②在同一象限内，反比例函数图象离原点越远，$k$的绝对值越大。首先根据三个函数图象所在的象限判断$k_1、k_2、k_3$的正负，确定最小的$k$值，再比较第一象限内两个函数对应的$k$值大小即可得出结论。
【解析】
1. 判断$k$的正负：
观察图象可知，$y=\frac{k_1}{x}$的图象在第二象限，根据反比例函数性质可得$k_1＜0$；
$y=\frac{k_2}{x}$和$y=\frac{k_3}{x}$的图象都在第一象限，因此$k_2＞0$，$k_3＞0$，因此$k_1$是三个数中最小的。
2. 比较$k_2$和$k_3$的大小：
取任意正数值$x=a$（$a＞0$），代入两个第一象限的反比例函数可得：$y_2=\frac{k_2}{a}$，$y_3=\frac{k_3}{a}$。
从图象可看出，当$x=a$时，$y_3＞y_2$，即$\frac{k_3}{a}＞\frac{k_2}{a}$，不等式两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，可得$k_3＞k_2$。
综上，$k_3＞k_2＞k_1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数图象与系数的关系
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题核心是熟练掌握反比例函数图象位置和$k$的符号的对应关系，以及同象限内$k$值大小的比较方法，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
