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1. 生活中有各式各样的电子屏幕. 在相同分辨率下,屏幕尺寸不同,屏幕的像素密度也会不同. 下表记录了当分辨率为$1920 × 1080$时,某些电子屏幕的尺寸$x$(单位:英寸)与像素密度$y$(单位:PPI)的相关数据.
(1) 试确定屏幕像素密度$y$关于屏幕尺寸$x$的函数解析式.
(2) 某电子屏幕的分辨率为$1920 × 1080$,屏幕像素密度约为40 PPI,则该屏幕尺寸为多少(结果取整数)?
(1) 试确定屏幕像素密度$y$关于屏幕尺寸$x$的函数解析式.
(2) 某电子屏幕的分辨率为$1920 × 1080$,屏幕像素密度约为40 PPI,则该屏幕尺寸为多少(结果取整数)?
答案
(1) 观察数据可得每组x与y的乘积近似等于2200，因此y与x成反比例关系，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，计算各组对应k值的平均值约为2200，因此函数解析式为$y=\frac{2200}{x}(x＞0)$。
(2) 将y=40代入$y=\frac{2200}{x}$，得$40=\frac{2200}{x}$，解得x=55，因此该屏幕尺寸约为55英寸。
(2) 将y=40代入$y=\frac{2200}{x}$，得$40=\frac{2200}{x}$，解得x=55，因此该屏幕尺寸约为55英寸。
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式首先观察两组变量的变化规律：x增大时y减小，可先计算每组x与y的乘积，判断乘积是否为近似定值，若乘积近似为定值则符合反比例函数特征，即可设反比例函数一般形式$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，再通过各组数据计算k的近似值即可得到解析式。
(2) 第二问已知像素密度y求屏幕尺寸x，只需将y的值代入第一问求出的反比例函数解析式中，解关于x的方程即可得到结果，注意结果按要求取整数。
【解析】
(1) 分别计算每组x与y的乘积：
$5×440=2200$，$7×314=2198\approx2200$，$15×147=2205\approx2200$，$24×92=2208\approx2200$，$27×81=2187\approx2200$，
可见x与y的乘积近似等于定值2200，因此y与x成反比例关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，取k的近似值为2200，
故屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式为$y=\frac{2200}{x}(x＞0)$。
(2) 当$y=40$时，将其代入解析式$y=\frac{2200}{x}$，得：
$40=\frac{2200}{x}$，
解方程得：$x=\frac{2200}{40}=55$。
【答案】
(1) $y=\frac{2200}{x}(x＞0)$；
(2) 55英寸
【知识点】
反比例函数的判定，反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合电子屏幕的生活实际场景，考查反比例函数的相关知识，需要学生通过数据特征判断函数类型，再完成解析式求解和实际应用计算，能有效提升学生数据分析能力和用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数解析式首先观察两组变量的变化规律：x增大时y减小，可先计算每组x与y的乘积，判断乘积是否为近似定值，若乘积近似为定值则符合反比例函数特征，即可设反比例函数一般形式$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，再通过各组数据计算k的近似值即可得到解析式。
(2) 第二问已知像素密度y求屏幕尺寸x，只需将y的值代入第一问求出的反比例函数解析式中，解关于x的方程即可得到结果，注意结果按要求取整数。
【解析】
(1) 分别计算每组x与y的乘积：
$5×440=2200$，$7×314=2198\approx2200$，$15×147=2205\approx2200$，$24×92=2208\approx2200$，$27×81=2187\approx2200$，
可见x与y的乘积近似等于定值2200，因此y与x成反比例关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，取k的近似值为2200，
故屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式为$y=\frac{2200}{x}(x＞0)$。
(2) 当$y=40$时，将其代入解析式$y=\frac{2200}{x}$，得：
$40=\frac{2200}{x}$，
解方程得：$x=\frac{2200}{40}=55$。
【答案】
(1) $y=\frac{2200}{x}(x＞0)$；
(2) 55英寸
【知识点】
反比例函数的判定，反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合电子屏幕的生活实际场景，考查反比例函数的相关知识，需要学生通过数据特征判断函数类型，再完成解析式求解和实际应用计算，能有效提升学生数据分析能力和用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
1. 下列问题中,变量间的关系属于反比例函数的是(
A.圆的周长 C 与半径 r 的关系
B.路程一定时,速度 v 与时间 t 的关系
C.正方形的面积 S 与边长 a 的关系
D.单价一定时,总价 y 与数量 x 的关系
B
)A.圆的周长 C 与半径 r 的关系
B.路程一定时,速度 v 与时间 t 的关系
C.正方形的面积 S 与边长 a 的关系
D.单价一定时,总价 y 与数量 x 的关系
答案
1. B
解析
【分析】
解题的核心是先明确反比例函数的定义：若两个变量x、y满足关系式$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$），则y是x的反比例函数。解题时可按以下步骤思考：第一步，结合每个选项的情境或几何公式，写出两个变量的函数关系式；第二步，将得到的关系式和反比例函数、正比例函数等常见函数的定义对比，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆的周长公式为$C=2π r$，$2π$是不为0的常数，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不符合反比例函数要求；
B. 路程s一定时，由路程公式$s=vt$变形可得$v=\frac{s}{t}$，s是不为0的定值，符合反比例函数的定义，属于反比例函数；
C. 正方形的面积公式为$S=a^2$，属于二次函数，不符合反比例函数要求；
D. 单价k一定时，总价和数量的关系为$y=kx$，符合正比例函数的形式，属于正比例函数，不符合反比例函数要求。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 函数关系式的建立
3. 正比例函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握各类常见函数的形式，结合实际情境或几何公式写出变量间的关系式后，对照定义就能快速判断。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确反比例函数的定义：若两个变量x、y满足关系式$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$），则y是x的反比例函数。解题时可按以下步骤思考：第一步，结合每个选项的情境或几何公式，写出两个变量的函数关系式；第二步，将得到的关系式和反比例函数、正比例函数等常见函数的定义对比，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆的周长公式为$C=2π r$，$2π$是不为0的常数，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不符合反比例函数要求；
B. 路程s一定时，由路程公式$s=vt$变形可得$v=\frac{s}{t}$，s是不为0的定值，符合反比例函数的定义，属于反比例函数；
C. 正方形的面积公式为$S=a^2$，属于二次函数，不符合反比例函数要求；
D. 单价k一定时，总价和数量的关系为$y=kx$，符合正比例函数的形式，属于正比例函数，不符合反比例函数要求。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 函数关系式的建立
3. 正比例函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握各类常见函数的形式，结合实际情境或几何公式写出变量间的关系式后，对照定义就能快速判断。
【难度系数】
0.8
2. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
(1) 根据表中数据，猜想y与x之间的函数关系；
(2) 求y与x的函数解析式；
(3) 当单价为10元时，日销售量是多少？
(1) 根据表中数据，猜想y与x之间的函数关系；
(2) 求y与x的函数解析式；
(3) 当单价为10元时，日销售量是多少？
答案
(1) y与x是反比例函数关系
(2) y = 60/x
(3) 6
(2) y = 60/x
(3) 6
解析
【分析】
首先解决第(1)问：观察表中x与y的对应数据，计算每组x和y的乘积，发现乘积为定值，结合反比例函数的特征即可判断函数关系；
第(2)问：设出反比例函数的一般形式，代入一组x、y的值求出未知系数k，再验证其余组数据均满足该式，即可得到函数解析式；
第(3)问：将x=10代入已求出的函数解析式，计算得到对应的y值，即为所求日销售量。
【解析】
(1) 计算每组x与y的乘积：$3×20=60$，$4×15=60$，$5×12=60$，$6×10=60$，可知x与y的乘积为固定值60，因此y与x是反比例函数关系。
(2) 设y与x的函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$），将$x=3$，$y=20$代入解析式得：$20=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3×20=60$。
验证：将其余三组数据代入$y=\dfrac{60}{x}$，均满足等式，因此y与x的函数解析式为$y=\dfrac{60}{x}$。
(3) 当单价$x=10$元时，代入解析式得$y=\dfrac{60}{10}=6$，即日销售量为6个。
【答案】
(1) y与x是反比例函数关系
(2) $y=\dfrac{60}{x}$
(3) 6
【知识点】
反比例函数的判定；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的实际应用基础题，核心考察反比例函数的本质特征，以及待定系数法求解析式、代入求值的基本技能，解题时注意结合实际意义确定自变量的取值范围即可。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：观察表中x与y的对应数据，计算每组x和y的乘积，发现乘积为定值，结合反比例函数的特征即可判断函数关系；
第(2)问：设出反比例函数的一般形式，代入一组x、y的值求出未知系数k，再验证其余组数据均满足该式，即可得到函数解析式；
第(3)问：将x=10代入已求出的函数解析式，计算得到对应的y值，即为所求日销售量。
【解析】
(1) 计算每组x与y的乘积：$3×20=60$，$4×15=60$，$5×12=60$，$6×10=60$，可知x与y的乘积为固定值60，因此y与x是反比例函数关系。
(2) 设y与x的函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$），将$x=3$，$y=20$代入解析式得：$20=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3×20=60$。
验证：将其余三组数据代入$y=\dfrac{60}{x}$，均满足等式，因此y与x的函数解析式为$y=\dfrac{60}{x}$。
(3) 当单价$x=10$元时，代入解析式得$y=\dfrac{60}{10}=6$，即日销售量为6个。
【答案】
(1) y与x是反比例函数关系
(2) $y=\dfrac{60}{x}$
(3) 6
【知识点】
反比例函数的判定；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的实际应用基础题，核心考察反比例函数的本质特征，以及待定系数法求解析式、代入求值的基本技能，解题时注意结合实际意义确定自变量的取值范围即可。
【难度系数】
0.8
