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23. (11分)心理学研究发现,一般情况下,在一节45分钟的课中,学生的注意力随学习时间的变化而变化。开始学习时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知,学生的注意力指标数$y$随时间$x$(分)的变化规律如图17所示(其中$AB$,$BC$分别为线段,$CD$为双曲线的一部分)。
(1)分别求出线段$AB$和曲线$CD$的函数表达式。
(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?为什么?
(3)为贯彻“品质课堂”的教育理念,以立德树人为根本任务,以“减负增效提质”为目标,立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂,某节数学课的学习主要分为三个环节,即“整体感知,明确目标—探究思考,归纳新知—辨别应用,巩固新知”,其中重点环节“探究思考,归纳新知”这一过程至少需要30分钟才能完成,为了确保效果,要求学习时的注意力指标数不低于40。请问这样的要求能否实现?如果能,请给出此环节时间安排的具体方案;如果不能,请说明理由。
(1)分别求出线段$AB$和曲线$CD$的函数表达式。
(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?为什么?
(3)为贯彻“品质课堂”的教育理念,以立德树人为根本任务,以“减负增效提质”为目标,立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂,某节数学课的学习主要分为三个环节,即“整体感知,明确目标—探究思考,归纳新知—辨别应用,巩固新知”,其中重点环节“探究思考,归纳新知”这一过程至少需要30分钟才能完成,为了确保效果,要求学习时的注意力指标数不低于40。请问这样的要求能否实现?如果能,请给出此环节时间安排的具体方案;如果不能,请说明理由。
答案
解：
(1) 设线段AB的函数表达式为$y = k_1x + b\ (k_1≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,50)$代入得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k_1 + b = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=3 \\ b=20 \end{cases}$，
因此线段AB的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x+20\ (0≤ x≤ 10)}$。
设曲线CD的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}\ (k_2≠0)$，
将$C(30,50)$代入得：$50=\frac{k_2}{30}$，解得$k_2=1500$，
因此曲线CD的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1500}{x}\ (30≤ x≤ 45)}$。
(2) 第35分钟时学生的注意力更集中，理由如下：
当$x=5$时，代入$y=3x+20$，得$y=3×5+20=35$；
当$x=35$时，代入$y=\frac{1500}{x}$，得$y=\frac{1500}{35}=\frac{300}{7}\approx42.86$。
因为$\frac{300}{7}＞35$，所以第35分钟时学生的注意力更集中。
(3) 该要求能实现，理由如下：
令AB段中$y≥40$，即$3x+20≥40$，解得$x≥\frac{20}{3}$；
BC段中$y$恒为50，始终满足$y≥40$；
令CD段中$y≥40$，即$\frac{1500}{x}≥40$，解得$x≤37.5$。
注意力指标数不低于40的总时长为$37.5 - \frac{20}{3} = \frac{185}{6}\approx30.83$分钟，大于要求的30分钟。
具体安排方案：该重点环节从第$\frac{20}{3}$分钟（约第6分40秒）开始，到第37.5分钟结束，可满足注意力全程不低于40，且时长超过30分钟的要求。
(1) 设线段AB的函数表达式为$y = k_1x + b\ (k_1≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,50)$代入得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k_1 + b = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=3 \\ b=20 \end{cases}$，
因此线段AB的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x+20\ (0≤ x≤ 10)}$。
设曲线CD的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}\ (k_2≠0)$，
将$C(30,50)$代入得：$50=\frac{k_2}{30}$，解得$k_2=1500$，
因此曲线CD的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1500}{x}\ (30≤ x≤ 45)}$。
(2) 第35分钟时学生的注意力更集中，理由如下：
当$x=5$时，代入$y=3x+20$，得$y=3×5+20=35$；
当$x=35$时，代入$y=\frac{1500}{x}$，得$y=\frac{1500}{35}=\frac{300}{7}\approx42.86$。
因为$\frac{300}{7}＞35$，所以第35分钟时学生的注意力更集中。
(3) 该要求能实现，理由如下：
令AB段中$y≥40$，即$3x+20≥40$，解得$x≥\frac{20}{3}$；
BC段中$y$恒为50，始终满足$y≥40$；
令CD段中$y≥40$，即$\frac{1500}{x}≥40$，解得$x≤37.5$。
注意力指标数不低于40的总时长为$37.5 - \frac{20}{3} = \frac{185}{6}\approx30.83$分钟，大于要求的30分钟。
具体安排方案：该重点环节从第$\frac{20}{3}$分钟（约第6分40秒）开始，到第37.5分钟结束，可满足注意力全程不低于40，且时长超过30分钟的要求。
解析
【分析】
本题是函数实际应用类问题，解题思路如下：
(1) 求函数解析式采用待定系数法：线段AB为一次函数，已知端点A(0,20)、B(10,50)，代入一次函数一般式即可求解系数；CD为反比例函数的一部分，已知点C(30,50)，代入反比例函数表达式即可求出系数，注意两个函数都要标注自变量的取值范围。
(2) 比较两个时间的注意力集中程度，只需将x=5代入AB段的一次函数、x=35代入CD段的反比例函数，分别计算对应的y值，y值越大说明注意力越集中，比较两个值的大小即可得出结论。
(3) 判断要求能否实现，需分段求出注意力指标数y≥40时x的取值范围：分别在AB段、BC段、CD段解不等式y≥40，得到符合要求的x的区间，计算区间的总长度，若长度≥30分钟则要求可实现，再根据区间给出具体的时间安排方案。
【解析】
(1) 设线段AB的函数表达式为$y = k_1x + b\ (k_1≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,50)$代入得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k_1 + b = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=3 \\ b=20 \end{cases}$，
因此线段AB的函数表达式为$y=3x+20\ (0≤ x≤ 10)$。
设曲线CD的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}\ (k_2≠0)$，
将$C(30,50)$代入得：$50=\frac{k_2}{30}$，解得$k_2=1500$，
因此曲线CD的函数表达式为$y=\frac{1500}{x}\ (30≤ x≤ 45)$。
(2) 第35分钟时学生的注意力更集中，理由如下：
当$x=5$时，代入$y=3x+20$，得$y=3×5+20=35$；
当$x=35$时，代入$y=\frac{1500}{x}$，得$y=\frac{1500}{35}=\frac{300}{7}\approx42.86$。
因为$\frac{300}{7}＞35$，所以第35分钟时学生的注意力更集中。
(3) 该要求能实现，理由如下：
令AB段中$y≥40$，即$3x+20≥40$，解得$x≥\frac{20}{3}$；
BC段中$y$恒为50，始终满足$y≥40$；
令CD段中$y≥40$，即$\frac{1500}{x}≥40$，解得$x≤37.5$。
注意力指标数不低于40的总时长为$37.5 - \frac{20}{3} = \frac{185}{6}\approx30.83$分钟，大于要求的30分钟。
具体安排方案：该重点环节从第$\frac{20}{3}$分钟（约第6分40秒）开始，到第37.5分钟结束，可满足注意力全程不低于40，且时长超过30分钟的要求。
【答案】
(1) 线段AB的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x+20\ (0≤ x≤ 10)}$；曲线CD的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1500}{x}\ (30≤ x≤ 45)}$
(2) 第35分钟时学生的注意力更集中
(3) 能实现，可安排重点环节从第$\frac{20}{3}$分钟（约6分40秒）开始，到第37.5分钟结束（合理即可）
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；反比例函数的应用
【点评】
本题结合学生课堂注意力的实际情境，综合考查一次函数与反比例函数的相关知识，既需要学生掌握函数解析式的基本求解方法，也要求学生能结合不等式求解实际问题的取值范围，贴近生活实际，能很好地考查学生运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题是函数实际应用类问题，解题思路如下：
(1) 求函数解析式采用待定系数法：线段AB为一次函数，已知端点A(0,20)、B(10,50)，代入一次函数一般式即可求解系数；CD为反比例函数的一部分，已知点C(30,50)，代入反比例函数表达式即可求出系数，注意两个函数都要标注自变量的取值范围。
(2) 比较两个时间的注意力集中程度，只需将x=5代入AB段的一次函数、x=35代入CD段的反比例函数，分别计算对应的y值，y值越大说明注意力越集中，比较两个值的大小即可得出结论。
(3) 判断要求能否实现，需分段求出注意力指标数y≥40时x的取值范围：分别在AB段、BC段、CD段解不等式y≥40，得到符合要求的x的区间，计算区间的总长度，若长度≥30分钟则要求可实现，再根据区间给出具体的时间安排方案。
【解析】
(1) 设线段AB的函数表达式为$y = k_1x + b\ (k_1≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,50)$代入得：
$\begin{cases} b=20 \\ 10k_1 + b = 50 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=3 \\ b=20 \end{cases}$，
因此线段AB的函数表达式为$y=3x+20\ (0≤ x≤ 10)$。
设曲线CD的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}\ (k_2≠0)$，
将$C(30,50)$代入得：$50=\frac{k_2}{30}$，解得$k_2=1500$，
因此曲线CD的函数表达式为$y=\frac{1500}{x}\ (30≤ x≤ 45)$。
(2) 第35分钟时学生的注意力更集中，理由如下：
当$x=5$时，代入$y=3x+20$，得$y=3×5+20=35$；
当$x=35$时，代入$y=\frac{1500}{x}$，得$y=\frac{1500}{35}=\frac{300}{7}\approx42.86$。
因为$\frac{300}{7}＞35$，所以第35分钟时学生的注意力更集中。
(3) 该要求能实现，理由如下：
令AB段中$y≥40$，即$3x+20≥40$，解得$x≥\frac{20}{3}$；
BC段中$y$恒为50，始终满足$y≥40$；
令CD段中$y≥40$，即$\frac{1500}{x}≥40$，解得$x≤37.5$。
注意力指标数不低于40的总时长为$37.5 - \frac{20}{3} = \frac{185}{6}\approx30.83$分钟，大于要求的30分钟。
具体安排方案：该重点环节从第$\frac{20}{3}$分钟（约第6分40秒）开始，到第37.5分钟结束，可满足注意力全程不低于40，且时长超过30分钟的要求。
【答案】
(1) 线段AB的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x+20\ (0≤ x≤ 10)}$；曲线CD的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1500}{x}\ (30≤ x≤ 45)}$
(2) 第35分钟时学生的注意力更集中
(3) 能实现，可安排重点环节从第$\frac{20}{3}$分钟（约6分40秒）开始，到第37.5分钟结束（合理即可）
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；反比例函数的应用
【点评】
本题结合学生课堂注意力的实际情境，综合考查一次函数与反比例函数的相关知识，既需要学生掌握函数解析式的基本求解方法，也要求学生能结合不等式求解实际问题的取值范围，贴近生活实际，能很好地考查学生运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
