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21. (10分)(2025·内江)如图15,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象与一次函数$y=k_2x+b$的图象相交于$A(a,6),B(-6,1)$两点。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式。
(2)当$x＜0$时,请根据函数图象,直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集。
(3)过直线AB上的点C作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点D。若点C的横坐标为-4,求$△ BOD$的面积。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式。
(2)当$x＜0$时,请根据函数图象,直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集。
(3)过直线AB上的点C作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点D。若点C的横坐标为-4,求$△ BOD$的面积。
答案
解：
(1) 将点$B(-6,1)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得：
$1=\frac{k_1}{-6}$，解得$k_1=-6$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$6=-\frac{6}{a}$，解得$a=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,6)$。
将$A(-1,6)$，$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases} -k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=1 \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x+7$。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}\ge0$即$k_2x+b\ge\frac{k_1}{x}$，当$x＜0$时，结合图象可得解集为$-6\le x\le -1$。
(3) ∵点C在直线AB上，横坐标为$-4$，
∴将$x=-4$代入$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，即$C(-4,3)$。
∵$CD// x$轴，∴点D的纵坐标为3，
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$，
∴点D的坐标为$(-2,3)$。
设直线BD的解析式为$y=mx+n$，将$B(-6,1)$，$D(-2,3)$代入得：
$\begin{cases} -6m +n=1 \\ -2m +n=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{1}{2} \\ n=4 \end{cases}$
令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+4$，解得$x=-8$，即直线BD与x轴交点$E(-8,0)$，$OE=8$。
∴$S_{△ BOD}=S_{△ DOE}-S_{△ BOE}=\frac{1}{2}×8×3 - \frac{1}{2}×8×1=8$。
答：$△ BOD$的面积为8。
(1) 将点$B(-6,1)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得：
$1=\frac{k_1}{-6}$，解得$k_1=-6$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$6=-\frac{6}{a}$，解得$a=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,6)$。
将$A(-1,6)$，$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases} -k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=1 \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x+7$。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}\ge0$即$k_2x+b\ge\frac{k_1}{x}$，当$x＜0$时，结合图象可得解集为$-6\le x\le -1$。
(3) ∵点C在直线AB上，横坐标为$-4$，
∴将$x=-4$代入$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，即$C(-4,3)$。
∵$CD// x$轴，∴点D的纵坐标为3，
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$，
∴点D的坐标为$(-2,3)$。
设直线BD的解析式为$y=mx+n$，将$B(-6,1)$，$D(-2,3)$代入得：
$\begin{cases} -6m +n=1 \\ -2m +n=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{1}{2} \\ n=4 \end{cases}$
令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+4$，解得$x=-8$，即直线BD与x轴交点$E(-8,0)$，$OE=8$。
∴$S_{△ BOD}=S_{△ DOE}-S_{△ BOE}=\frac{1}{2}×8×3 - \frac{1}{2}×8×1=8$。
答：$△ BOD$的面积为8。
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式采用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出系数，先将B点坐标代入反比例函数求出$k_1$，得到反比例函数表达式后，代入A点纵坐标求出A点横坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数，联立二元一次方程组求出$k_2$和$b$，即可得到一次函数表达式。
(2) 先将不等式变形为$k_2x+b\ge\frac{k_1}{x}$，其几何意义是$x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）对应的$x$的取值范围，结合两函数交点A、B的横坐标即可直接写出解集。
(3) 先根据C点在一次函数上且横坐标为-4，求出C点纵坐标；由$CD// x$轴可知D点纵坐标与C点相同，代入反比例函数求出D点坐标；再用割补法求$△ BOD$的面积：求出直线BD与x轴的交点，将$△ BOD$的面积转化为两个同底三角形的面积差计算即可。
【解析】
(1) 将点$B(-6,1)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得：
$1=\frac{k_1}{-6}$，解得$k_1=-6$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$6=-\frac{6}{a}$，解得$a=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,6)$。
将$A(-1,6)$，$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases} -k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=1 \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x+7$。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}\ge0$即$k_2x+b\ge\frac{k_1}{x}$，当$x＜0$时，结合图象可得解集为$-6\le x\le -1$。
(3)
∵点C在直线AB上，横坐标为$-4$，
∴将$x=-4$代入$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，即$C(-4,3)$。
∵$CD// x$轴，
∴点D的纵坐标为3，
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$，
∴点D的坐标为$(-2,3)$。
设直线BD的解析式为$y=mx+n$，将$B(-6,1)$，$D(-2,3)$代入得：
$\begin{cases} -6m +n=1 \\ -2m +n=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{1}{2} \\ n=4 \end{cases}$
令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+4$，解得$x=-8$，即直线BD与x轴交点$E(-8,0)$，$OE=8$。
∴$S_{△ BOD}=S_{△ DOE}-S_{△ BOE}=\frac{1}{2}×8×3 - \frac{1}{2}×8×1=8$。
【答案】
(1) 反比例函数：$y=-\frac{6}{x}$，一次函数：$y=x+7$
(2) $-6\le x\le -1$
(3) $8$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是函数综合的典型基础题，侧重对核心方法的考察，解题关键是掌握函数图象上点的坐标满足对应解析式，能结合图象位置关系解不等式，灵活运用割补法计算平面直角坐标系中图形的面积，对巩固函数综合类题型的解题思路有很好的训练价值。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数表达式采用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出系数，先将B点坐标代入反比例函数求出$k_1$，得到反比例函数表达式后，代入A点纵坐标求出A点横坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数，联立二元一次方程组求出$k_2$和$b$，即可得到一次函数表达式。
(2) 先将不等式变形为$k_2x+b\ge\frac{k_1}{x}$，其几何意义是$x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）对应的$x$的取值范围，结合两函数交点A、B的横坐标即可直接写出解集。
(3) 先根据C点在一次函数上且横坐标为-4，求出C点纵坐标；由$CD// x$轴可知D点纵坐标与C点相同，代入反比例函数求出D点坐标；再用割补法求$△ BOD$的面积：求出直线BD与x轴的交点，将$△ BOD$的面积转化为两个同底三角形的面积差计算即可。
【解析】
(1) 将点$B(-6,1)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得：
$1=\frac{k_1}{-6}$，解得$k_1=-6$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$6=-\frac{6}{a}$，解得$a=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,6)$。
将$A(-1,6)$，$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases} -k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=1 \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x+7$。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}\ge0$即$k_2x+b\ge\frac{k_1}{x}$，当$x＜0$时，结合图象可得解集为$-6\le x\le -1$。
(3)
∵点C在直线AB上，横坐标为$-4$，
∴将$x=-4$代入$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，即$C(-4,3)$。
∵$CD// x$轴，
∴点D的纵坐标为3，
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$，
∴点D的坐标为$(-2,3)$。
设直线BD的解析式为$y=mx+n$，将$B(-6,1)$，$D(-2,3)$代入得：
$\begin{cases} -6m +n=1 \\ -2m +n=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{1}{2} \\ n=4 \end{cases}$
令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+4$，解得$x=-8$，即直线BD与x轴交点$E(-8,0)$，$OE=8$。
∴$S_{△ BOD}=S_{△ DOE}-S_{△ BOE}=\frac{1}{2}×8×3 - \frac{1}{2}×8×1=8$。
【答案】
(1) 反比例函数：$y=-\frac{6}{x}$，一次函数：$y=x+7$
(2) $-6\le x\le -1$
(3) $8$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是函数综合的典型基础题，侧重对核心方法的考察，解题关键是掌握函数图象上点的坐标满足对应解析式，能结合图象位置关系解不等式，灵活运用割补法计算平面直角坐标系中图形的面积，对巩固函数综合类题型的解题思路有很好的训练价值。
【难度系数】
0.7
22. (10分)阅读材料:
题目:如图16①,在$△ ABC$中,已知$∠ A(∠ A＜45°),∠ C=90°,AB=1$,请用$\sin A,\cos A$表示$\sin2A$。
解:如图16①,作AB边上的中线CE,作$CD⊥ AB$于点D。$\because AB=1$,
$\therefore CE=AE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}$。$\therefore ∠ CED=2∠ A,CD=AC·\sin A,AC=AB·\cos A=\cos A$。在$\mathrm{Rt}△ CED$中,$\sin2A=\sin∠ CED=\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{AC·\sin A}{\dfrac{1}{2}}=2AC·\sin A=2\cos A\sin A$。
根据以上材料,请解决下列问题:
(1)如图16②,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,BC=1,AB=3$,求$\sin A,\sin2A$的值;
(2)上面阅读材料中,题目条件不变,请用$\sin A$或$\cos A$表示$\cos2A$。
题目:如图16①,在$△ ABC$中,已知$∠ A(∠ A＜45°),∠ C=90°,AB=1$,请用$\sin A,\cos A$表示$\sin2A$。
解:如图16①,作AB边上的中线CE,作$CD⊥ AB$于点D。$\because AB=1$,
$\therefore CE=AE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}$。$\therefore ∠ CED=2∠ A,CD=AC·\sin A,AC=AB·\cos A=\cos A$。在$\mathrm{Rt}△ CED$中,$\sin2A=\sin∠ CED=\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{AC·\sin A}{\dfrac{1}{2}}=2AC·\sin A=2\cos A\sin A$。
根据以上材料,请解决下列问题:
(1)如图16②,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,BC=1,AB=3$,求$\sin A,\sin2A$的值;
(2)上面阅读材料中,题目条件不变,请用$\sin A$或$\cos A$表示$\cos2A$。
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
由阅读材料结论$\sin2A=2\sin A\cos A$，代入得：
$\sin2A=2×\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。
(2) 如图①，作$AB$边上的中线$CE$，作$CD⊥ AB$于点$D$。
$\because AB=1$，
$\therefore CE=AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，$∠ CED=2∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=AC·\cos A$，
又$AC=AB·\cos A=\cos A$，
$\therefore AD=\cos^2 A$，
$\therefore ED=AD-AE=\cos^2 A-\frac{1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ CED$中：
$\cos2A=\cos∠ CED=\frac{ED}{CE}=\frac{\cos^2 A-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=2\cos^2 A-1$。
由$\sin^2A+\cos^2A=1$代入上式，可得$\cos2A=1-2\sin^2A$。
综上，$\cos2A=2\cos^2A-1$（或$\cos2A=1-2\sin^2A$）。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
由阅读材料结论$\sin2A=2\sin A\cos A$，代入得：
$\sin2A=2×\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。
(2) 如图①，作$AB$边上的中线$CE$，作$CD⊥ AB$于点$D$。
$\because AB=1$，
$\therefore CE=AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，$∠ CED=2∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=AC·\cos A$，
又$AC=AB·\cos A=\cos A$，
$\therefore AD=\cos^2 A$，
$\therefore ED=AD-AE=\cos^2 A-\frac{1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ CED$中：
$\cos2A=\cos∠ CED=\frac{ED}{CE}=\frac{\cos^2 A-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=2\cos^2 A-1$。
由$\sin^2A+\cos^2A=1$代入上式，可得$\cos2A=1-2\sin^2A$。
综上，$\cos2A=2\cos^2A-1$（或$\cos2A=1-2\sin^2A$）。
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用勾股定理计算出$AC$的长度，再根据锐角三角函数的定义分别求出$\sin A$和$\cos A$，最后直接套用材料给出的$\sin2A=2\sin A\cos A$的结论代入数值计算即可。
（2）求解第二问时类比材料推导$\sin2A$的思路，仍然构造辅助线：作$AB$边上的中线$CE$和高$CD$，利用直角三角形斜边中线的性质得到$CE=\frac{1}{2}$、$∠ CED=2∠ A$，再结合余弦的定义，$\cos2A$等于$\mathrm{Rt}△CED$中$ED$与$CE$的比值，逐步推导$ED$的表达式后化简，即可得到$\cos2A$的表达式，也可结合同角三角函数的平方关系转化为含$\sin A$的形式。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
根据锐角三角函数定义：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
结合阅读材料推导的结论$\sin2A=2\sin A\cos A$，代入数值计算得：
$\sin2A=2×\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。
(2) 如题图①，作$AB$边上的中线$CE$，作$CD⊥ AB$于点$D$。
$\because AB=1$，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore CE=AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，根据三角形外角性质可得$∠ CED=2∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=AC·\cos A$，
又在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=AB·\cos A=\cos A$，
$\therefore AD=\cos^2 A$，
$\therefore ED=AD-AE=\cos^2 A-\frac{1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ CED$中，根据余弦定义：
$\cos2A=\cos∠ CED=\frac{ED}{CE}=\frac{\cos^2 A-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=2\cos^2 A-1$。
结合同角三角函数的平方关系$\sin^2A+\cos^2A=1$，代入上式可得$\cos2A=1-2\sin^2A$。
【答案】
(1) $\sin A=\frac{1}{3}$，$\sin2A=\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
(2) $\cos2A=2\cos^2A-1$（或$\cos2A=1-2\sin^2A$）
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于阅读探究类题型，既考查了直角三角形相关基础知识点的应用，也考查了知识迁移和类比推理能力，需要学生先理解材料中二倍角正弦的推导方法，再应用结论、类比方法解决新问题，侧重对解题方法的理解和运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
（1）求解第一问时，先在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用勾股定理计算出$AC$的长度，再根据锐角三角函数的定义分别求出$\sin A$和$\cos A$，最后直接套用材料给出的$\sin2A=2\sin A\cos A$的结论代入数值计算即可。
（2）求解第二问时类比材料推导$\sin2A$的思路，仍然构造辅助线：作$AB$边上的中线$CE$和高$CD$，利用直角三角形斜边中线的性质得到$CE=\frac{1}{2}$、$∠ CED=2∠ A$，再结合余弦的定义，$\cos2A$等于$\mathrm{Rt}△CED$中$ED$与$CE$的比值，逐步推导$ED$的表达式后化简，即可得到$\cos2A$的表达式，也可结合同角三角函数的平方关系转化为含$\sin A$的形式。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
根据锐角三角函数定义：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
结合阅读材料推导的结论$\sin2A=2\sin A\cos A$，代入数值计算得：
$\sin2A=2×\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。
(2) 如题图①，作$AB$边上的中线$CE$，作$CD⊥ AB$于点$D$。
$\because AB=1$，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore CE=AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，根据三角形外角性质可得$∠ CED=2∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=AC·\cos A$，
又在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=AB·\cos A=\cos A$，
$\therefore AD=\cos^2 A$，
$\therefore ED=AD-AE=\cos^2 A-\frac{1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ CED$中，根据余弦定义：
$\cos2A=\cos∠ CED=\frac{ED}{CE}=\frac{\cos^2 A-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=2\cos^2 A-1$。
结合同角三角函数的平方关系$\sin^2A+\cos^2A=1$，代入上式可得$\cos2A=1-2\sin^2A$。
【答案】
(1) $\sin A=\frac{1}{3}$，$\sin2A=\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
(2) $\cos2A=2\cos^2A-1$（或$\cos2A=1-2\sin^2A$）
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于阅读探究类题型，既考查了直角三角形相关基础知识点的应用，也考查了知识迁移和类比推理能力，需要学生先理解材料中二倍角正弦的推导方法，再应用结论、类比方法解决新问题，侧重对解题方法的理解和运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
