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18. (9分)(2025·江西改编)如图12,直线$l:y=\frac{2}{3}x+m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(6,2)$。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线$l$向上平移,在$x$轴上方与反比例函数图象交于点$C$,连接$OA,OC$,当$∠1=∠2$时,求点$C$的坐标及直线$l$平移的距离。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线$l$向上平移,在$x$轴上方与反比例函数图象交于点$C$,连接$OA,OC$,当$∠1=∠2$时,求点$C$的坐标及直线$l$平移的距离。
答案
解：(1) 将点$A(6,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
将点$A(6,2)$代入一次函数$y=\frac{2}{3}x+m$，得
$2=\frac{2}{3}×6 + m$，即$2=4+m$，解得$m=-2$，
∴一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x - 2$。
(2) 过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$C$作$CF⊥ y$轴于点$F$。
$\because A(6,2)$，$\therefore OE=6$，$AE=2$，
$\therefore \tan∠1=\frac{AE}{OE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
$\because ∠1=∠2$，$\therefore \tan∠2=\frac{CF}{OF}=\frac{1}{3}$，即$OF=3CF$。
设点$C$的坐标为$(a,b)$，则$CF=a$，$OF=b$，故$b=3a$。
又$\because$点$C$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
$\therefore ab=12$，将$b=3a$代入得$3a^2=12$，
结合点$C$在第一象限，解得$a=2$（舍去负根），
$\therefore b=3×2=6$，即点$C$的坐标为$(2,6)$。
设直线$l$向上平移后的表达式为$y=\frac{2}{3}x + n$，将$C(2,6)$代入得：
$6=\frac{2}{3}×2 + n$，解得$n=\frac{14}{3}$，
$\therefore$平移后直线的一般式为$2x - 3y +14=0$，原直线$l$的一般式为$2x - 3y -6=0$。
两条平行线之间的距离为：
$d=\frac{|14 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}}=\frac{20}{\sqrt{13}}=\frac{20\sqrt{13}}{13}$。
综上，点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$，直线$l$平移的距离为$\boldsymbol{\frac{20\sqrt{13}}{13}}$。
$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
将点$A(6,2)$代入一次函数$y=\frac{2}{3}x+m$，得
$2=\frac{2}{3}×6 + m$，即$2=4+m$，解得$m=-2$，
∴一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x - 2$。
(2) 过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$C$作$CF⊥ y$轴于点$F$。
$\because A(6,2)$，$\therefore OE=6$，$AE=2$，
$\therefore \tan∠1=\frac{AE}{OE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
$\because ∠1=∠2$，$\therefore \tan∠2=\frac{CF}{OF}=\frac{1}{3}$，即$OF=3CF$。
设点$C$的坐标为$(a,b)$，则$CF=a$，$OF=b$，故$b=3a$。
又$\because$点$C$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
$\therefore ab=12$，将$b=3a$代入得$3a^2=12$，
结合点$C$在第一象限，解得$a=2$（舍去负根），
$\therefore b=3×2=6$，即点$C$的坐标为$(2,6)$。
设直线$l$向上平移后的表达式为$y=\frac{2}{3}x + n$，将$C(2,6)$代入得：
$6=\frac{2}{3}×2 + n$，解得$n=\frac{14}{3}$，
$\therefore$平移后直线的一般式为$2x - 3y +14=0$，原直线$l$的一般式为$2x - 3y -6=0$。
两条平行线之间的距离为：
$d=\frac{|14 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}}=\frac{20}{\sqrt{13}}=\frac{20\sqrt{13}}{13}$。
综上，点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$，直线$l$平移的距离为$\boldsymbol{\frac{20\sqrt{13}}{13}}$。
解析
【分析】
(1) 第一问用待定系数法求解即可：已知交点A的坐标，将其分别代入反比例函数和一次函数的表达式，解关于参数的方程就能得到k和m的值，进而得到两个函数的解析式。
(2) 第二问先处理角度相等的条件：∠1是OA和x轴的夹角，∠2是OC和y轴的夹角，两角相等则正切值相等，先通过A点坐标求出∠1的正切值，得到C点横、纵坐标的关系，再结合C在反比例函数图象上，联立求出C点坐标；直线平移时斜率不变，设出平移后的直线解析式，代入C点坐标求出新的截距，最后用平行线间的距离公式计算平移的距离即可。
【解析】
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式：
将点$A(6,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
将点$A(6,2)$代入一次函数$y=\frac{2}{3}x+m$，得：
$2=\frac{2}{3}×6 + m$，即$2=4+m$，解得$m=-2$，
∴一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x - 2$。
(2) 求点C的坐标和平移距离：
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$C$作$CF⊥ y$轴于点$F$。
∵$A(6,2)$，
∴$OE=6$，$AE=2$，
在$Rt△ OAE$中，$\tan∠1=\frac{AE}{OE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
∵$∠1=∠2$，
∴$\tan∠2=\tan∠1=\frac{1}{3}$，
在$Rt△ OCF$中，$\tan∠2=\frac{CF}{OF}=\frac{1}{3}$，即$OF=3CF$。
设点$C$的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$，C在第一象限），则$CF=a$，$OF=b$，故$b=3a$。
又
∵点$C$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴$ab=12$，
将$b=3a$代入得$3a^2=12$，解得$a=2$（舍去负根），
∴$b=3×2=6$，即点$C$的坐标为$(2,6)$。
直线向上平移斜率不变，设平移后的表达式为$y=\frac{2}{3}x + n$，
将$C(2,6)$代入得：$6=\frac{2}{3}×2 + n$，解得$n=\frac{14}{3}$。
将两条直线化为一般式：原直线$l$：$2x-3y-6=0$，平移后直线：$2x-3y+14=0$，
根据平行线间的距离公式，平移距离$d=\frac{|14 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}}=\frac{20}{\sqrt{13}}=\frac{20\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x - 2}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$，直线$l$平移的距离为$\boldsymbol{\frac{20\sqrt{13}}{13}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，锐角三角函数的应用，一次函数的平移
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，第一问难度较低，考查待定系数法的基础应用；第二问将角度关系转化为三角函数关系求点坐标，再结合平移性质计算平移距离，考查了数形结合思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问用待定系数法求解即可：已知交点A的坐标，将其分别代入反比例函数和一次函数的表达式，解关于参数的方程就能得到k和m的值，进而得到两个函数的解析式。
(2) 第二问先处理角度相等的条件：∠1是OA和x轴的夹角，∠2是OC和y轴的夹角，两角相等则正切值相等，先通过A点坐标求出∠1的正切值，得到C点横、纵坐标的关系，再结合C在反比例函数图象上，联立求出C点坐标；直线平移时斜率不变，设出平移后的直线解析式，代入C点坐标求出新的截距，最后用平行线间的距离公式计算平移的距离即可。
【解析】
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式：
将点$A(6,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
将点$A(6,2)$代入一次函数$y=\frac{2}{3}x+m$，得：
$2=\frac{2}{3}×6 + m$，即$2=4+m$，解得$m=-2$，
∴一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x - 2$。
(2) 求点C的坐标和平移距离：
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$C$作$CF⊥ y$轴于点$F$。
∵$A(6,2)$，
∴$OE=6$，$AE=2$，
在$Rt△ OAE$中，$\tan∠1=\frac{AE}{OE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
∵$∠1=∠2$，
∴$\tan∠2=\tan∠1=\frac{1}{3}$，
在$Rt△ OCF$中，$\tan∠2=\frac{CF}{OF}=\frac{1}{3}$，即$OF=3CF$。
设点$C$的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$，C在第一象限），则$CF=a$，$OF=b$，故$b=3a$。
又
∵点$C$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴$ab=12$，
将$b=3a$代入得$3a^2=12$，解得$a=2$（舍去负根），
∴$b=3×2=6$，即点$C$的坐标为$(2,6)$。
直线向上平移斜率不变，设平移后的表达式为$y=\frac{2}{3}x + n$，
将$C(2,6)$代入得：$6=\frac{2}{3}×2 + n$，解得$n=\frac{14}{3}$。
将两条直线化为一般式：原直线$l$：$2x-3y-6=0$，平移后直线：$2x-3y+14=0$，
根据平行线间的距离公式，平移距离$d=\frac{|14 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}}=\frac{20}{\sqrt{13}}=\frac{20\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x - 2}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$，直线$l$平移的距离为$\boldsymbol{\frac{20\sqrt{13}}{13}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，锐角三角函数的应用，一次函数的平移
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，第一问难度较低，考查待定系数法的基础应用；第二问将角度关系转化为三角函数关系求点坐标，再结合平移性质计算平移距离，考查了数形结合思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.6
19. (9分)如图13,将$△ ABC$沿着射线$BC$方向平移至$△ A'B'C'$,使点$A'$落在$△ ACB$的外角平分线$CD$上,连接$AA'$。
(1)判断四边形$ACC'A'$的形状,并说明理由;
(2)在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=24$,$\cos∠ BAC=\frac{12}{13}$,求$BC$的长。
(1)判断四边形$ACC'A'$的形状,并说明理由;
(2)在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=24$,$\cos∠ BAC=\frac{12}{13}$,求$BC$的长。
答案
(1)
四边形$ACC'A'$是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：$AA'// CC'$，$AC// A'C'$，
$\therefore$ 四边形$ACC'A'$是平行四边形。
$\because CD$是$△ ACB$的外角平分线，
$\therefore ∠ ACA' = ∠ A'CC'$。
又$\because AA'// CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ A'CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ ACA'$，
$\therefore AA' = AC$，
$\therefore$ 平行四边形$ACC'A'$是菱形。
(2)
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\cos∠ BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{13}$，
将$AB=24$代入得：$\frac{24}{AC}=\frac{12}{13}$，
解得$AC=26$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{100}=10$。
答：$BC$的长为$10$。
四边形$ACC'A'$是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：$AA'// CC'$，$AC// A'C'$，
$\therefore$ 四边形$ACC'A'$是平行四边形。
$\because CD$是$△ ACB$的外角平分线，
$\therefore ∠ ACA' = ∠ A'CC'$。
又$\because AA'// CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ A'CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ ACA'$，
$\therefore AA' = AC$，
$\therefore$ 平行四边形$ACC'A'$是菱形。
(2)
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\cos∠ BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{13}$，
将$AB=24$代入得：$\frac{24}{AC}=\frac{12}{13}$，
解得$AC=26$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{100}=10$。
答：$BC$的长为$10$。
解析
【分析】
(1) 判定四边形形状时，先利用平移的性质得到两组对边分别平行，可先证四边形是平行四边形；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形为菱形。
(2) 在直角三角形中，已知锐角的余弦值和邻边长度，先根据余弦的定义求出斜边AC的长度，再利用勾股定理计算直角边BC的长度即可。
【解析】
(1) 四边形$ACC'A'$是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：$AA'// CC'$，$AC// A'C'$，
$\therefore$ 四边形$ACC'A'$是平行四边形。
$\because CD$是$△ ACB$的外角平分线，
$\therefore ∠ ACA' = ∠ A'CC'$。
又$\because AA'// CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ A'CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ ACA'$，
$\therefore AA' = AC$，
$\therefore$ 平行四边形$ACC'A'$是菱形。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\cos∠ BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{13}$，
将$AB=24$代入得：$\frac{24}{AC}=\frac{12}{13}$，
解得$AC=26$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 四边形$ACC'A'$是菱形；
(2) $BC$的长为$10$。
【知识点】
平移的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，结合图形变换、特殊四边形判定、直角三角形计算三类考点，考查学生的逻辑推导能力和基础计算能力，解题时顺着性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
(1) 判定四边形形状时，先利用平移的性质得到两组对边分别平行，可先证四边形是平行四边形；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形为菱形。
(2) 在直角三角形中，已知锐角的余弦值和邻边长度，先根据余弦的定义求出斜边AC的长度，再利用勾股定理计算直角边BC的长度即可。
【解析】
(1) 四边形$ACC'A'$是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：$AA'// CC'$，$AC// A'C'$，
$\therefore$ 四边形$ACC'A'$是平行四边形。
$\because CD$是$△ ACB$的外角平分线，
$\therefore ∠ ACA' = ∠ A'CC'$。
又$\because AA'// CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ A'CC'$，
$\therefore ∠ AA'C = ∠ ACA'$，
$\therefore AA' = AC$，
$\therefore$ 平行四边形$ACC'A'$是菱形。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\cos∠ BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{13}$，
将$AB=24$代入得：$\frac{24}{AC}=\frac{12}{13}$，
解得$AC=26$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 四边形$ACC'A'$是菱形；
(2) $BC$的长为$10$。
【知识点】
平移的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，结合图形变换、特殊四边形判定、直角三角形计算三类考点，考查学生的逻辑推导能力和基础计算能力，解题时顺着性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
20.(9分)(2024·淮安)拉杆箱是外出旅行常用工具。某种拉杆箱示意图如图14所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为60 cm,两节可调节的拉杆长度相等,且与BC在同一条直线上。如图14①,当拉杆伸出一节(AB)时,AC与地面的夹角∠ACG=53°;如图14②,当拉杆伸出两节(AM,MB)时,AC与地面的夹角∠ACG=37°。两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同。求每节拉杆的长度。
(参考数据:$\sin53°\approx\frac{4}{5}$,$\sin37°\approx\frac{3}{5}$,$\tan53°\approx\frac{4}{3}$,$\tan37°\approx\frac{3}{4}$)
(参考数据:$\sin53°\approx\frac{4}{5}$,$\sin37°\approx\frac{3}{5}$,$\tan53°\approx\frac{4}{3}$,$\tan37°\approx\frac{3}{4}$)
答案
解：设每节拉杆的长度为$x$ cm。
过点$A$作$AH ⊥$地面$CG$，垂足为$H$，由题意两种情况下$A$点到地面的高度均为$AH$。
在图①的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=53°$，$AC=AB+BC=(x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin53° \approx \frac{4}{5}(x+60)$。
在图②的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=37°$，$AC=AM+MB+BC=(2x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin37° \approx \frac{3}{5}(2x+60)$。
由$AH$长度相等列方程：
$\frac{4}{5}(x+60) = \frac{3}{5}(2x+60)$
两边同乘$5$得：
$4(x+60) = 3(2x+60)$
展开整理：
$4x + 240 = 6x + 180$
解得：$x=30$。
答：每节拉杆的长度为$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$。
过点$A$作$AH ⊥$地面$CG$，垂足为$H$，由题意两种情况下$A$点到地面的高度均为$AH$。
在图①的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=53°$，$AC=AB+BC=(x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin53° \approx \frac{4}{5}(x+60)$。
在图②的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=37°$，$AC=AM+MB+BC=(2x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin37° \approx \frac{3}{5}(2x+60)$。
由$AH$长度相等列方程：
$\frac{4}{5}(x+60) = \frac{3}{5}(2x+60)$
两边同乘$5$得：
$4(x+60) = 3(2x+60)$
展开整理：
$4x + 240 = 6x + 180$
解得：$x=30$。
答：每节拉杆的长度为$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$。
解析
【分析】
解题时首先抓住“两种情况下A点距离地面高度相同”这一核心等量关系：第一步设每节拉杆长度为x cm，分别表示出两种拉杆伸出状态下AC的总长度；第二步过点A作地面的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数中的正弦函数分别表示出A点到地面的高度AH；第三步根据两个AH长度相等列出一元一次方程，求解方程即可得到每节拉杆的长度。
【解析】
设每节拉杆的长度为$x$ cm。
过点$A$作$AH ⊥$地面$CG$，垂足为$H$，由题意可知两种情况下$A$点到地面的高度均为$AH$。
在图①的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=53°$，$AC=AB+BC=(x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin53° \approx \frac{4}{5}(x+60)$。
在图②的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=37°$，$AC=AM+MB+BC=(2x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin37° \approx \frac{3}{5}(2x+60)$。
由$AH$长度相等列方程：
$\frac{4}{5}(x+60) = \frac{3}{5}(2x+60)$
两边同乘$5$得：
$4(x+60) = 3(2x+60)$
展开整理：
$4x + 240 = 6x + 180$
解得：$x=30$。
【答案】
每节拉杆的长度为$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的拉杆箱场景命题，将实际问题转化为解直角三角形问题，解题关键是找准高度相等的等量关系，正确列出方程，考查了数学知识结合实际应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“两种情况下A点距离地面高度相同”这一核心等量关系：第一步设每节拉杆长度为x cm，分别表示出两种拉杆伸出状态下AC的总长度；第二步过点A作地面的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数中的正弦函数分别表示出A点到地面的高度AH；第三步根据两个AH长度相等列出一元一次方程，求解方程即可得到每节拉杆的长度。
【解析】
设每节拉杆的长度为$x$ cm。
过点$A$作$AH ⊥$地面$CG$，垂足为$H$，由题意可知两种情况下$A$点到地面的高度均为$AH$。
在图①的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=53°$，$AC=AB+BC=(x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin53° \approx \frac{4}{5}(x+60)$。
在图②的$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ ACG=37°$，$AC=AM+MB+BC=(2x+60)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AH = AC· \sin37° \approx \frac{3}{5}(2x+60)$。
由$AH$长度相等列方程：
$\frac{4}{5}(x+60) = \frac{3}{5}(2x+60)$
两边同乘$5$得：
$4(x+60) = 3(2x+60)$
展开整理：
$4x + 240 = 6x + 180$
解得：$x=30$。
【答案】
每节拉杆的长度为$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的拉杆箱场景命题，将实际问题转化为解直角三角形问题，解题关键是找准高度相等的等量关系，正确列出方程，考查了数学知识结合实际应用的能力。
【难度系数】
0.7
