登录
12. (2025·甘肃)已知点$A(2,y_1)$,$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$$(k≠0)$的图象上,如果$y_1＞y_2$,那么$k=$。(请写出一个符合条件的$k$的值)
答案
解：
∵点$A(2,y_1)$，$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴$y_1=\frac{k}{2}$，$y_2=\frac{k}{6}$。
又∵$y_1＞y_2$，
∴$\frac{k}{2}＞\frac{k}{6}$，
两边同乘6得：$3k＞k$，
解得$k＞0$。
取任意大于0的数值均符合条件，例如$k=1$（答案不唯一）。
∵点$A(2,y_1)$，$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴$y_1=\frac{k}{2}$，$y_2=\frac{k}{6}$。
又∵$y_1＞y_2$，
∴$\frac{k}{2}＞\frac{k}{6}$，
两边同乘6得：$3k＞k$，
解得$k＞0$。
取任意大于0的数值均符合条件，例如$k=1$（答案不唯一）。
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点A、B的横坐标代入函数表达式，得到y₁、y₂关于k的代数式；第二步，结合题干给出的y₁＞y₂的大小关系，列出关于k的一元一次不等式；第三步，解不等式得到k的取值范围，最后在取值范围内任取一个符合要求的正数即可。
【解析】
∵点$A(2,y_1)$，$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴将$x=2$代入解析式得：$y_1=\dfrac{k}{2}$，将$x=6$代入解析式得：$y_2=\dfrac{k}{6}$。
又
∵$y_1＞y_2$，
∴$\dfrac{k}{2}＞\dfrac{k}{6}$，
不等式两边同时乘6（6为正数，不等号方向不变）得：$3k＞k$，
移项合并同类项得：$2k＞0$，解得$k＞0$。
任取一个大于0的数均符合条件，例如取$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，任意正数均可）
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题为基础类开放题型，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，以及简单不等式的求解，只要得出k＞0的结论后任选正数即可得分，解题门槛较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点A、B的横坐标代入函数表达式，得到y₁、y₂关于k的代数式；第二步，结合题干给出的y₁＞y₂的大小关系，列出关于k的一元一次不等式；第三步，解不等式得到k的取值范围，最后在取值范围内任取一个符合要求的正数即可。
【解析】
∵点$A(2,y_1)$，$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴将$x=2$代入解析式得：$y_1=\dfrac{k}{2}$，将$x=6$代入解析式得：$y_2=\dfrac{k}{6}$。
又
∵$y_1＞y_2$，
∴$\dfrac{k}{2}＞\dfrac{k}{6}$，
不等式两边同时乘6（6为正数，不等号方向不变）得：$3k＞k$，
移项合并同类项得：$2k＞0$，解得$k＞0$。
任取一个大于0的数均符合条件，例如取$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，任意正数均可）
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题为基础类开放题型，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，以及简单不等式的求解，只要得出k＞0的结论后任选正数即可得分，解题门槛较低。
【难度系数】
0.8
13. (2025·内蒙古)如图8,因地形原因,湖泊两端A,B的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量,他们将无人机上升并飞行至距湖面 90 m的点 C 处,从 C 点测得 A 点的俯角为60°,测得 B 点的俯角为 30°(A,B,C 三点在同一竖直平面内),则湖泊两端 A,B 的距离为 m。(结果保留根号)
答案
$\boldsymbol{120\sqrt{3}}$
解析
【分析】
遇到仰角俯角类的实际测量问题，首先通过作垂直辅助线构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中：①过点C作CD垂直AB于D，CD即为无人机到湖面的高度90m；②根据俯角的定义和平行线的性质，可得Rt△ACD中∠A=60°，Rt△BCD中∠B=30°；③分别利用正切三角函数求出AD、BD的长度，二者相加即为AB的距离。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知CD = 90 m。
∵ 点C处的水平线与AB平行，根据俯角的定义可得：∠A = 60°，∠B = 30°。
在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，
∴ $AD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{90}{\sqrt{3}}=30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCD中，$\tan B=\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{90}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=90\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $AB=AD+BD=30\sqrt{3}+90\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$120\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用；俯角的定义；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是构造合适的直角三角形，将实际场景中的角度、长度条件转化为几何计算条件，需要熟练掌握特殊角的三角函数值及基本三角函数的运算。
【难度系数】
0.7
遇到仰角俯角类的实际测量问题，首先通过作垂直辅助线构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中：①过点C作CD垂直AB于D，CD即为无人机到湖面的高度90m；②根据俯角的定义和平行线的性质，可得Rt△ACD中∠A=60°，Rt△BCD中∠B=30°；③分别利用正切三角函数求出AD、BD的长度，二者相加即为AB的距离。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知CD = 90 m。
∵ 点C处的水平线与AB平行，根据俯角的定义可得：∠A = 60°，∠B = 30°。
在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，
∴ $AD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{90}{\sqrt{3}}=30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCD中，$\tan B=\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{90}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=90\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $AB=AD+BD=30\sqrt{3}+90\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$120\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用；俯角的定义；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是构造合适的直角三角形，将实际场景中的角度、长度条件转化为几何计算条件，需要熟练掌握特殊角的三角函数值及基本三角函数的运算。
【难度系数】
0.7
14. 如图9,直线AB经过点P(1,2),且与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。若$\sin∠ BAO=\frac{\sqrt{5}}{5}$,则点B的坐标为。
答案
解：过点P作PC⊥x轴于点C。
∵ P(1,2)，∴ PC=2，OC=1。
在Rt△PAC中，$\sin∠ BAO = \frac{PC}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴ $\frac{2}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，解得$PA=2\sqrt{5}$。
由勾股定理得：$AC = \sqrt{PA^2 - PC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = 4$，
∴ $OA = OC + AC = 1 + 4 = 5$，即点A坐标为$(5, 0)$。
设直线AB的解析式为$y = kx + b$，将$A(5,0)$、$P(1,2)$代入得：
$\begin{cases} 5k + b = 0 \\ k + b = 2 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k = -\frac{1}{2} \\ b = \frac{5}{2} \end{cases}$
∴ 直线AB与y轴交点B的坐标为$\boldsymbol{(0, \frac{5}{2})}$。
∵ P(1,2)，∴ PC=2，OC=1。
在Rt△PAC中，$\sin∠ BAO = \frac{PC}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴ $\frac{2}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，解得$PA=2\sqrt{5}$。
由勾股定理得：$AC = \sqrt{PA^2 - PC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = 4$，
∴ $OA = OC + AC = 1 + 4 = 5$，即点A坐标为$(5, 0)$。
设直线AB的解析式为$y = kx + b$，将$A(5,0)$、$P(1,2)$代入得：
$\begin{cases} 5k + b = 0 \\ k + b = 2 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k = -\frac{1}{2} \\ b = \frac{5}{2} \end{cases}$
∴ 直线AB与y轴交点B的坐标为$\boldsymbol{(0, \frac{5}{2})}$。
解析
【分析】
要求点B的坐标，B是直线AB与y轴的交点，求出直线AB的解析式即可得到其与y轴交点的坐标。已知∠BAO的正弦值，可过点P作x轴的垂线，构造含∠BAO的直角三角形，利用三角函数值先求出PA的长度，再通过勾股定理求出AC的长度，进而得到点A的坐标；最后用待定系数法，将A、P两点坐标代入一次函数解析式，求出解析式后即可得到B点坐标。
【解析】
过点P作PC⊥x轴于点C。
∵ P(1,2)，
∴ PC=2，OC=1。
在Rt△PAC中，$\sin∠ BAO = \frac{PC}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴ $\frac{2}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，解得$PA=2\sqrt{5}$。
由勾股定理得：$AC = \sqrt{PA^2 - PC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = 4$，
∴ $OA = OC + AC = 1 + 4 = 5$，即点A坐标为$(5, 0)$。
设直线AB的解析式为$y = kx + b$，将$A(5,0)$、$P(1,2)$代入得：
$\begin{cases} 5k + b = 0 \\ k + b = 2 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k = -\frac{1}{2} \\ b = \frac{5}{2} \end{cases}$
直线AB与y轴交点的横坐标为0，代入解析式得纵坐标为$\frac{5}{2}$，即点B的坐标为$(0,\frac{5}{2})$。
【答案】
$\boldsymbol{(0, \frac{5}{2})}$
【知识点】
解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是三角函数与一次函数的综合题，解题的核心是通过构造直角三角形求出点A的坐标，再结合待定系数法求解函数解析式，考查了对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求点B的坐标，B是直线AB与y轴的交点，求出直线AB的解析式即可得到其与y轴交点的坐标。已知∠BAO的正弦值，可过点P作x轴的垂线，构造含∠BAO的直角三角形，利用三角函数值先求出PA的长度，再通过勾股定理求出AC的长度，进而得到点A的坐标；最后用待定系数法，将A、P两点坐标代入一次函数解析式，求出解析式后即可得到B点坐标。
【解析】
过点P作PC⊥x轴于点C。
∵ P(1,2)，
∴ PC=2，OC=1。
在Rt△PAC中，$\sin∠ BAO = \frac{PC}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴ $\frac{2}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，解得$PA=2\sqrt{5}$。
由勾股定理得：$AC = \sqrt{PA^2 - PC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = 4$，
∴ $OA = OC + AC = 1 + 4 = 5$，即点A坐标为$(5, 0)$。
设直线AB的解析式为$y = kx + b$，将$A(5,0)$、$P(1,2)$代入得：
$\begin{cases} 5k + b = 0 \\ k + b = 2 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k = -\frac{1}{2} \\ b = \frac{5}{2} \end{cases}$
直线AB与y轴交点的横坐标为0，代入解析式得纵坐标为$\frac{5}{2}$，即点B的坐标为$(0,\frac{5}{2})$。
【答案】
$\boldsymbol{(0, \frac{5}{2})}$
【知识点】
解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是三角函数与一次函数的综合题，解题的核心是通过构造直角三角形求出点A的坐标，再结合待定系数法求解函数解析式，考查了对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15. 如图10,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,则△CDE面积的最大值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用等腰直角三角形的性质，求出直角边AC、BC的长度，连接斜边中点F和点C，得到等腰直角三角形斜边中线的相关边角性质；2. 通过角的互余关系推导角相等，证明△ADF和△CEF全等，得到AD=CE的等量关系；3. 设未知数表示CE、CD的长度，写出△CDE面积的二次函数表达式，利用二次函数性质求最大值。
【解析】
连接CF，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，
∴$AC=BC=AB·\sin45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$，
∵F是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∴$CF=AF$，$CF⊥ AB$，$∠ A=∠ FCE=45°$，
∴$∠ AFC=90°$，即$∠ AFD+∠ DFC=90°$，
又
∵$DF⊥ EF$，
∴$∠ DFE=90°$，即$∠ CFE+∠ DFC=90°$，
∴$∠ AFD=∠ CFE$。
在$△ ADF$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ FCE\\AF=CF\\∠ AFD=∠ CFE\end{cases}$
∴$△ ADF≌△ CEF(\mathrm{ASA})$，
∴$AD=CE$。
设$AD=CE=x$，则$CD=AC-AD=5\sqrt{2}-x$，
∵$∠ C=90°$，
∴△CDE的面积：
$S=\frac{1}{2}· CD· CE=\frac{1}{2}x(5\sqrt{2}-x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5\sqrt{2}}{2}x$，
该二次函数开口向下，当$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$时，S取最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{2}}{2}×(5\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2})=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题，解题核心是通过全等三角形转化线段的等量关系，将几何面积最值问题转化为二次函数求最值问题，兼顾了对几何推理和代数计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用等腰直角三角形的性质，求出直角边AC、BC的长度，连接斜边中点F和点C，得到等腰直角三角形斜边中线的相关边角性质；2. 通过角的互余关系推导角相等，证明△ADF和△CEF全等，得到AD=CE的等量关系；3. 设未知数表示CE、CD的长度，写出△CDE面积的二次函数表达式，利用二次函数性质求最大值。
【解析】
连接CF，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，
∴$AC=BC=AB·\sin45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$，
∵F是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∴$CF=AF$，$CF⊥ AB$，$∠ A=∠ FCE=45°$，
∴$∠ AFC=90°$，即$∠ AFD+∠ DFC=90°$，
又
∵$DF⊥ EF$，
∴$∠ DFE=90°$，即$∠ CFE+∠ DFC=90°$，
∴$∠ AFD=∠ CFE$。
在$△ ADF$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ FCE\\AF=CF\\∠ AFD=∠ CFE\end{cases}$
∴$△ ADF≌△ CEF(\mathrm{ASA})$，
∴$AD=CE$。
设$AD=CE=x$，则$CD=AC-AD=5\sqrt{2}-x$，
∵$∠ C=90°$，
∴△CDE的面积：
$S=\frac{1}{2}· CD· CE=\frac{1}{2}x(5\sqrt{2}-x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5\sqrt{2}}{2}x$，
该二次函数开口向下，当$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$时，S取最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{2}}{2}×(5\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2})=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题，解题核心是通过全等三角形转化线段的等量关系，将几何面积最值问题转化为二次函数求最值问题，兼顾了对几何推理和代数计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16. (8分)计算:
(1) $2\cos45° - \tan60° + \sin30° - \left| -\dfrac{1}{2} \right|$；
(2) $\sin^{-1}30° + \dfrac{\sin45° + \cos^245°}{\tan60° · \tan30°} - \tan45°$。
16. (8分)计算:
(1) $2\cos45° - \tan60° + \sin30° - \left| -\dfrac{1}{2} \right|$；
(2) $\sin^{-1}30° + \dfrac{\sin45° + \cos^245°}{\tan60° · \tan30°} - \tan45°$。
答案
解：
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\&=\sqrt{2} - \sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 初中阶段无反三角函数定义，此处$\sin^{-1}30°$表示$(\sin30°)^{-1}=\frac{1}{\sin30°}$，代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{\sin30°} + \frac{\sin45° + \cos^245°}{\tan60° · \tan30°} - \tan45°\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}} - 1\\&=2 + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}}{1} - 1\\&=1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2}\\&=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\&=\sqrt{2} - \sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 初中阶段无反三角函数定义，此处$\sin^{-1}30°$表示$(\sin30°)^{-1}=\frac{1}{\sin30°}$，代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{\sin30°} + \frac{\sin45° + \cos^245°}{\tan60° · \tan30°} - \tan45°\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}} - 1\\&=2 + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}}{1} - 1\\&=1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2}\\&=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
解析
【分析】
本题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题思路如下：
1. 第(1)题：先回忆30°、45°、60°角的三角函数值，再化简绝对值，最后代入原式按照实数运算规则计算即可。
2. 第(2)题：首先明确初中阶段该式中$\sin^{-1}30°$表示$(\sin30°)^{-1}$，即$\sin30°$的倒数；再依次代入各个特殊角的三角函数值，按照“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先写出对应特殊角的三角函数值并化简绝对值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\&=\sqrt{2} - \sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 式中$\sin^{-1}30°$表示$(\sin30°)^{-1}=\frac{1}{\sin30°}$，先写出对应特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{\sin30°} + \frac{\sin45° + \cos^245°}{\tan60° · \tan30°} - \tan45°\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}} - 1\\&=2 + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}}{1} - 1\\&=1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2}\\&=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；(2) $\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆和实数运算规则的掌握，解题时要注意准确识别特殊符号的含义，严格按照运算顺序计算，避免因记错三角函数值或运算顺序出错失分。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题思路如下：
1. 第(1)题：先回忆30°、45°、60°角的三角函数值，再化简绝对值，最后代入原式按照实数运算规则计算即可。
2. 第(2)题：首先明确初中阶段该式中$\sin^{-1}30°$表示$(\sin30°)^{-1}$，即$\sin30°$的倒数；再依次代入各个特殊角的三角函数值，按照“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先写出对应特殊角的三角函数值并化简绝对值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\&=\sqrt{2} - \sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 式中$\sin^{-1}30°$表示$(\sin30°)^{-1}=\frac{1}{\sin30°}$，先写出对应特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{\sin30°} + \frac{\sin45° + \cos^245°}{\tan60° · \tan30°} - \tan45°\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}} - 1\\&=2 + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}}{1} - 1\\&=1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2}\\&=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；(2) $\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆和实数运算规则的掌握，解题时要注意准确识别特殊符号的含义，严格按照运算顺序计算，避免因记错三角函数值或运算顺序出错失分。
【难度系数】
0.8
17.(9分)(2025·长沙)如图11,某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上。为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D。经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上,位于景点A的北偏东30°方向上,景点B位于景点D的南偏西45°方向上。已知AB=800 m。
(1)求∠ACB的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离。(结果保留根号)
(1)求∠ACB的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离。(结果保留根号)
答案
解：
(1) 由题意得 $BM ⊥ DM$，
点B处正北方向与道路$a$垂直，因此 $∠ CBM = 90° - 60° = 30°$，
点A处正北方向与道路$a$垂直，因此 $∠ CAM = 90° - 30° = 60°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCM$ 中，$∠ BCM = 90° - ∠ CBM = 60°$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，$∠ ACM = 90° - ∠ CAM = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ BCM - ∠ ACM = 60° - 30° = 30°$。
(2) 由(1)可知 $∠ ABC = ∠ ACB = 30°$，
$\therefore AC = AB = 800\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，$∠ CAM = 60°$：
$AM = AC · \cos60° = 800 × \frac{1}{2} = 400\ \mathrm{m}$，
$CM = AC · \sin60° = 800 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200\ \mathrm{m}$。
由题意得 $∠ BDM = 45°$，在 $\mathrm{Rt}△ BDM$ 中，$∠ M = 90°$，
$\therefore △ BDM$ 为等腰直角三角形，$DM = BM = 1200\ \mathrm{m}$。
$\therefore CD = DM - CM = (1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
答：景点C与景点D之间的距离为 $(1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(1) 由题意得 $BM ⊥ DM$，
点B处正北方向与道路$a$垂直，因此 $∠ CBM = 90° - 60° = 30°$，
点A处正北方向与道路$a$垂直，因此 $∠ CAM = 90° - 30° = 60°$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCM$ 中，$∠ BCM = 90° - ∠ CBM = 60°$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，$∠ ACM = 90° - ∠ CAM = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ BCM - ∠ ACM = 60° - 30° = 30°$。
(2) 由(1)可知 $∠ ABC = ∠ ACB = 30°$，
$\therefore AC = AB = 800\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，$∠ CAM = 60°$：
$AM = AC · \cos60° = 800 × \frac{1}{2} = 400\ \mathrm{m}$，
$CM = AC · \sin60° = 800 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200\ \mathrm{m}$。
由题意得 $∠ BDM = 45°$，在 $\mathrm{Rt}△ BDM$ 中，$∠ M = 90°$，
$\therefore △ BDM$ 为等腰直角三角形，$DM = BM = 1200\ \mathrm{m}$。
$\therefore CD = DM - CM = (1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
答：景点C与景点D之间的距离为 $(1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 要求∠ACB的度数，首先根据方向角的定义，将北偏东的方向角转化为直角三角形中的内角：正北方向与东西走向的道路a垂直，可先求出∠CBM、∠CAM的度数，再分别在Rt△BCM和Rt△ACM中利用直角三角形两锐角互余求出∠BCM和∠ACM，二者的差就是∠ACB的度数。
(2) 要求CD的长度，观察图形可知CD=DM-CM，因此需要分别求出DM和CM的长度：首先由(1)的角度可推出∠ABC=∠ACB，利用等角对等边得AC=AB；再在Rt△ACM中利用锐角三角函数求出AM、CM的长度，进而得到BM的长度；最后根据∠BDM=45°可知Rt△BDM是等腰直角三角形，得DM=BM，代入CD=DM-CM即可求出结果。
【解析】
(1) 由题意得$BM ⊥ DM$，点B处正北方向与道路a垂直，因此$∠ CBM = 90° - 60° = 30°$，
点A处正北方向与道路a垂直，因此$∠ CAM = 90° - 30° = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，$∠ BCM = 90° - ∠ CBM = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ ACM = 90° - ∠ CAM = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ BCM - ∠ ACM = 60° - 30° = 30°$。
(2) 由(1)可知$∠ ABC = ∠ ACB = 30°$，
$\therefore AC = AB = 800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ CAM = 60°$：
$AM = AC · \cos60° = 800 × \frac{1}{2} = 400\ \mathrm{m}$，
$CM = AC · \sin60° = 800 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200\ \mathrm{m}$。
由题意得$∠ BDM = 45°$，在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，$∠ M = 90°$，
$\therefore △ BDM$为等腰直角三角形，$DM = BM = 1200\ \mathrm{m}$。
$\therefore CD = DM - CM = (1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠ ACB = 30°$；
(2) 景点C与景点D之间的距离为$\boldsymbol{(1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
方向角的应用；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是将题干中的方向角准确转化为几何图形中的内角，结合直角三角形的性质、锐角三角函数、等腰（直角）三角形的性质逐步求解，考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，计算过程要注意特殊角三角函数值的准确应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠ACB的度数，首先根据方向角的定义，将北偏东的方向角转化为直角三角形中的内角：正北方向与东西走向的道路a垂直，可先求出∠CBM、∠CAM的度数，再分别在Rt△BCM和Rt△ACM中利用直角三角形两锐角互余求出∠BCM和∠ACM，二者的差就是∠ACB的度数。
(2) 要求CD的长度，观察图形可知CD=DM-CM，因此需要分别求出DM和CM的长度：首先由(1)的角度可推出∠ABC=∠ACB，利用等角对等边得AC=AB；再在Rt△ACM中利用锐角三角函数求出AM、CM的长度，进而得到BM的长度；最后根据∠BDM=45°可知Rt△BDM是等腰直角三角形，得DM=BM，代入CD=DM-CM即可求出结果。
【解析】
(1) 由题意得$BM ⊥ DM$，点B处正北方向与道路a垂直，因此$∠ CBM = 90° - 60° = 30°$，
点A处正北方向与道路a垂直，因此$∠ CAM = 90° - 30° = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，$∠ BCM = 90° - ∠ CBM = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ ACM = 90° - ∠ CAM = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ BCM - ∠ ACM = 60° - 30° = 30°$。
(2) 由(1)可知$∠ ABC = ∠ ACB = 30°$，
$\therefore AC = AB = 800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ CAM = 60°$：
$AM = AC · \cos60° = 800 × \frac{1}{2} = 400\ \mathrm{m}$，
$CM = AC · \sin60° = 800 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200\ \mathrm{m}$。
由题意得$∠ BDM = 45°$，在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，$∠ M = 90°$，
$\therefore △ BDM$为等腰直角三角形，$DM = BM = 1200\ \mathrm{m}$。
$\therefore CD = DM - CM = (1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠ ACB = 30°$；
(2) 景点C与景点D之间的距离为$\boldsymbol{(1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
方向角的应用；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是将题干中的方向角准确转化为几何图形中的内角，结合直角三角形的性质、锐角三角函数、等腰（直角）三角形的性质逐步求解，考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，计算过程要注意特殊角三角函数值的准确应用。
【难度系数】
0.7
