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7. 如图4, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $CD⊥ AB$, $\cos∠ BCD=\dfrac{2}{3}$, $BD=1$, 则边 $AB$ 的长度是 ()
A.$\dfrac{9}{10}$
B.$\dfrac{10}{9}$
C.$2$
D.$\dfrac{9}{5}$
A.$\dfrac{9}{10}$
B.$\dfrac{10}{9}$
C.$2$
D.$\dfrac{9}{5}$
答案
D
解析
【分析】
首先观察图形，Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，第一步可利用“同角的余角相等”推导得出∠A=∠BCD，将已知的$\cos∠BCD=\dfrac{2}{3}$转化为∠A的余弦值；接下来先在Rt△BCD中，结合余弦的定义和勾股定理求出BC的平方值，最后利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明$△ BCD ∽ △ BAC$，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ BCD + ∠ B = 90°$，
∴$∠ A = ∠ BCD$，
∴$\cos A = \cos∠ BCD = \dfrac{2}{3}$。
在$Rt△ BCD$中，$\cos∠ BCD = \dfrac{CD}{BC} = \dfrac{2}{3}$，
设$CD=2k$，$BC=3k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$BD^2 + CD^2 = BC^2$，
已知$BD=1$，代入得：$1^2 + (2k)^2 = (3k)^2$，
即$1 + 4k^2 = 9k^2$，解得$k^2 = \dfrac{1}{5}$，
∴$BC^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 9×\dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{5}$。
又
∵∠B是$△ BCD$和$△ BAC$的公共角，$∠ BDC=∠ BCA=90°$，
∴$△ BCD ∽ △ BAC$，
∴$\dfrac{BC}{BA} = \dfrac{BD}{BC}$，即$BC^2 = BD · AB$，
代入$BC^2=\dfrac{9}{5}$，$BD=1$，得：
$AB = \dfrac{BC^2}{BD} = \dfrac{\dfrac{9}{5}}{1} = \dfrac{9}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
同角的余角相等；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题是直角三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过角度相等转化已知三角函数值，结合勾股定理和相似三角形的性质求解线段长度，解题思路灵活，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，第一步可利用“同角的余角相等”推导得出∠A=∠BCD，将已知的$\cos∠BCD=\dfrac{2}{3}$转化为∠A的余弦值；接下来先在Rt△BCD中，结合余弦的定义和勾股定理求出BC的平方值，最后利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明$△ BCD ∽ △ BAC$，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ BCD + ∠ B = 90°$，
∴$∠ A = ∠ BCD$，
∴$\cos A = \cos∠ BCD = \dfrac{2}{3}$。
在$Rt△ BCD$中，$\cos∠ BCD = \dfrac{CD}{BC} = \dfrac{2}{3}$，
设$CD=2k$，$BC=3k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$BD^2 + CD^2 = BC^2$，
已知$BD=1$，代入得：$1^2 + (2k)^2 = (3k)^2$，
即$1 + 4k^2 = 9k^2$，解得$k^2 = \dfrac{1}{5}$，
∴$BC^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 9×\dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{5}$。
又
∵∠B是$△ BCD$和$△ BAC$的公共角，$∠ BDC=∠ BCA=90°$，
∴$△ BCD ∽ △ BAC$，
∴$\dfrac{BC}{BA} = \dfrac{BD}{BC}$，即$BC^2 = BD · AB$，
代入$BC^2=\dfrac{9}{5}$，$BD=1$，得：
$AB = \dfrac{BC^2}{BD} = \dfrac{\dfrac{9}{5}}{1} = \dfrac{9}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
同角的余角相等；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题是直角三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过角度相等转化已知三角函数值，结合勾股定理和相似三角形的性质求解线段长度，解题思路灵活，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.7
8. (2024·自贡改编)一次函数$y=x-2n+4$，二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$，反比例函数$y=\frac{n+1}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象如图5所示，则$n$的取值范围是（）
A.$n＞-1$
B.$n＞2$
C.$-1＜n＜1$
D.$1＜n＜2$
A.$n＞-1$
B.$n＞2$
C.$-1＜n＜1$
D.$1＜n＜2$
答案
C
解析
【分析】
要确定n的取值范围，需结合三个函数的图象特征，分别推导对应参数满足的不等式，再取所有不等式的公共解集即可。首先根据反比例函数所在象限判断比例系数的符号，再根据二次函数对称轴的位置推导参数范围，最后验证一次函数的图象特征是否符合即可。
【解析】
1. 分析反比例函数：
反比例函数$y=\frac{n+1}{x}$的图象位于第一、三象限，因此其比例系数大于0，即：
$n+1＞0$，解得$n＞-1$。
2. 分析二次函数：
二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$的对称轴在y轴右侧，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1＞0$，$b=n-1$，因此：
$-\frac{n-1}{2×1}＞0$，化简得$1-n＞0$，解得$n＜1$。
3. 验证一次函数：
一次函数$y=x-2n+4$的斜率为1＞0，图象从左到右上升，当$-1＜n＜1$时，其与y轴的截距为$-2n+4$，代入范围可得$-2n+4＞2＞0$，符合一次函数与y轴交于正半轴的图象特征，无额外限制。
综上，n的取值范围是$-1＜n＜1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质，二次函数图象性质，一次函数图象性质
【点评】
本题是三类初等函数的综合题，解题核心是建立图象特征与函数参数的对应关系，通过列不等式求解参数范围，要求学生熟练掌握各类函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
要确定n的取值范围，需结合三个函数的图象特征，分别推导对应参数满足的不等式，再取所有不等式的公共解集即可。首先根据反比例函数所在象限判断比例系数的符号，再根据二次函数对称轴的位置推导参数范围，最后验证一次函数的图象特征是否符合即可。
【解析】
1. 分析反比例函数：
反比例函数$y=\frac{n+1}{x}$的图象位于第一、三象限，因此其比例系数大于0，即：
$n+1＞0$，解得$n＞-1$。
2. 分析二次函数：
二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$的对称轴在y轴右侧，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1＞0$，$b=n-1$，因此：
$-\frac{n-1}{2×1}＞0$，化简得$1-n＞0$，解得$n＜1$。
3. 验证一次函数：
一次函数$y=x-2n+4$的斜率为1＞0，图象从左到右上升，当$-1＜n＜1$时，其与y轴的截距为$-2n+4$，代入范围可得$-2n+4＞2＞0$，符合一次函数与y轴交于正半轴的图象特征，无额外限制。
综上，n的取值范围是$-1＜n＜1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质，二次函数图象性质，一次函数图象性质
【点评】
本题是三类初等函数的综合题，解题核心是建立图象特征与函数参数的对应关系，通过列不等式求解参数范围，要求学生熟练掌握各类函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
9. 如图6,某建筑物的顶部有一块标识牌CD,小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为$45°$,沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为$60°$。已知斜坡AB的坡角为$30°$,$AB=AE=10$ m,则标识牌CD的高度是 ()
A.$(15-5\sqrt{3})$ m
B.$(20-10\sqrt{3})$ m
C.$(10-5\sqrt{3})$ m
D.$(5\sqrt{3}-5)$ m
A.$(15-5\sqrt{3})$ m
B.$(20-10\sqrt{3})$ m
C.$(10-5\sqrt{3})$ m
D.$(5\sqrt{3}-5)$ m
答案
A
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，涉及仰角、坡角的相关计算。解题思路如下：首先通过作辅助线将不规则图形拆分为直角三角形和矩形，把未知线段转化到直角三角形中求解；第一步先利用斜坡AB的坡角和长度，求出B点到地面的高度与水平距离；第二步结合矩形性质得到对应边的等量关系；第三步分别利用两个仰角的三角函数值求出CE、DE的长度；最后通过CE减DE即可得到标识牌CD的高度。
【解析】
过点B作$BM⊥ EA$的延长线于点M，过点B作$BN⊥ CE$于点N。
∵四边形BMEN是矩形，
∴$BM=NE$，$BN=ME$。
在$Rt△ ABM$中，$∠ BAM=30°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
∴$BM=AB·\sin30°=10×\frac{1}{2}=5\ \mathrm{m}$，
$AM=AB·\cos30°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$BN=ME=AM+AE=5\sqrt{3}+10\ \mathrm{m}$，$NE=BM=5\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ BNC$中，$∠ CBN=45°$，$△ BNC$为等腰直角三角形，
∴$CN=BN=10+5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$CE=CN+NE=10+5\sqrt{3}+5=15+5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ DAE=60°$，$AE=10\ \mathrm{m}$，
∴$DE=AE·\tan60°=10×\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴$CD=CE-DE=(15+5\sqrt{3})-10\sqrt{3}=15-5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数，矩形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形在实际场景中的应用，解题核心是通过合理作辅助线将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，能准确找到对应直角三角形中的边角关系。
【难度系数】
0.65
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，涉及仰角、坡角的相关计算。解题思路如下：首先通过作辅助线将不规则图形拆分为直角三角形和矩形，把未知线段转化到直角三角形中求解；第一步先利用斜坡AB的坡角和长度，求出B点到地面的高度与水平距离；第二步结合矩形性质得到对应边的等量关系；第三步分别利用两个仰角的三角函数值求出CE、DE的长度；最后通过CE减DE即可得到标识牌CD的高度。
【解析】
过点B作$BM⊥ EA$的延长线于点M，过点B作$BN⊥ CE$于点N。
∵四边形BMEN是矩形，
∴$BM=NE$，$BN=ME$。
在$Rt△ ABM$中，$∠ BAM=30°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
∴$BM=AB·\sin30°=10×\frac{1}{2}=5\ \mathrm{m}$，
$AM=AB·\cos30°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$BN=ME=AM+AE=5\sqrt{3}+10\ \mathrm{m}$，$NE=BM=5\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ BNC$中，$∠ CBN=45°$，$△ BNC$为等腰直角三角形，
∴$CN=BN=10+5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$CE=CN+NE=10+5\sqrt{3}+5=15+5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ DAE=60°$，$AE=10\ \mathrm{m}$，
∴$DE=AE·\tan60°=10×\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴$CD=CE-DE=(15+5\sqrt{3})-10\sqrt{3}=15-5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数，矩形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形在实际场景中的应用，解题核心是通过合理作辅助线将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，能准确找到对应直角三角形中的边角关系。
【难度系数】
0.65
10. (2025·宜宾)如图7，O是坐标原点，反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＞0)$与直线$y=-2x$交于点A，点B在$y=-\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，直线AB与y轴交于点C，连接OB，若$AB=3AC$，则OB的长为（）
A.$\sqrt{10}$
B.$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\dfrac{\sqrt{130}}{2}$
A.$\sqrt{10}$
B.$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\dfrac{\sqrt{130}}{2}$
答案
D
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步，联立反比例函数与直线的解析式，求出交点A的坐标；第二步，过A、B分别作y轴的垂线，利用平行线构造相似三角形，结合AB=3AC的线段比例关系，推导得到点B的横坐标；第三步，将B的横坐标代入反比例函数求出纵坐标，再用勾股定理计算OB的长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标
联立$\begin{cases}y=-\dfrac{4}{x}(x＞0) \\ y=-2x\end{cases}$，将$y=-2x$代入反比例函数得：
$-2x=-\dfrac{4}{x}$，两边同乘$x$（$x＞0$，不为0）得$2x^2=4$，解得$x=\sqrt{2}$（负根舍去），代入$y=-2x$得$y=-2\sqrt{2}$，即$A(\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$。
2. 求点B的横坐标
过A作$AE⊥ y$轴于E，过B作$BF⊥ y$轴于F，可得$AE// BF$，结合A、B、C三点共线，可证$△ CAE ∽ △ CBF$。
已知$AB=3AC$，则$CB=AC+AB=4AC$，即相似比$\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AE}{BF}=\dfrac{1}{4}$。
其中$AE$为点A到y轴的距离，即$AE=x_A=\sqrt{2}$，代入得$\dfrac{\sqrt{2}}{BF}=\dfrac{1}{4}$，解得$BF=4\sqrt{2}$，即点B的横坐标为$4\sqrt{2}$。
3. 计算OB的长度
将$x=4\sqrt{2}$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{4\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即$B(4\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2})$。
由勾股定理得：
$OB=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{32 + \dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{65}{2}}=\dfrac{\sqrt{130}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数与一次函数交点；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是函数与几何的综合题，核心是将线段长度的比例关系转化为坐标的比例关系，从而快速求出未知点坐标，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题可分三步进行：第一步，联立反比例函数与直线的解析式，求出交点A的坐标；第二步，过A、B分别作y轴的垂线，利用平行线构造相似三角形，结合AB=3AC的线段比例关系，推导得到点B的横坐标；第三步，将B的横坐标代入反比例函数求出纵坐标，再用勾股定理计算OB的长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标
联立$\begin{cases}y=-\dfrac{4}{x}(x＞0) \\ y=-2x\end{cases}$，将$y=-2x$代入反比例函数得：
$-2x=-\dfrac{4}{x}$，两边同乘$x$（$x＞0$，不为0）得$2x^2=4$，解得$x=\sqrt{2}$（负根舍去），代入$y=-2x$得$y=-2\sqrt{2}$，即$A(\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$。
2. 求点B的横坐标
过A作$AE⊥ y$轴于E，过B作$BF⊥ y$轴于F，可得$AE// BF$，结合A、B、C三点共线，可证$△ CAE ∽ △ CBF$。
已知$AB=3AC$，则$CB=AC+AB=4AC$，即相似比$\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AE}{BF}=\dfrac{1}{4}$。
其中$AE$为点A到y轴的距离，即$AE=x_A=\sqrt{2}$，代入得$\dfrac{\sqrt{2}}{BF}=\dfrac{1}{4}$，解得$BF=4\sqrt{2}$，即点B的横坐标为$4\sqrt{2}$。
3. 计算OB的长度
将$x=4\sqrt{2}$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{4\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即$B(4\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2})$。
由勾股定理得：
$OB=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{32 + \dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{65}{2}}=\dfrac{\sqrt{130}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数与一次函数交点；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是函数与几何的综合题，核心是将线段长度的比例关系转化为坐标的比例关系，从而快速求出未知点坐标，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.已知α为锐角,sinα=cos50°,则α=。
11.已知α为锐角,sinα=cos50°,则α=。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角三角函数中互余角的转化规律：对于任意锐角A，都满足sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A)。题目给出sinα=cos50°，我们可先将cos50°转化为对应的正弦形式，再结合α是锐角的限定条件，就能直接得出α的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos50°=\sin(90°-50°)=\sin40°$
已知$\sinα=\cos50°$，因此$\sinα=\sin40°$
又因为α为锐角，锐角的正弦值与角度一一对应，所以$α=40°$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
互余角的三角函数关系、锐角三角函数的性质
【点评】
本题是三角函数基础题型，核心考查互余两角的三角函数转换规则，熟记对应公式即可快速解题，属于送分类基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆锐角三角函数中互余角的转化规律：对于任意锐角A，都满足sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A)。题目给出sinα=cos50°，我们可先将cos50°转化为对应的正弦形式，再结合α是锐角的限定条件，就能直接得出α的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos50°=\sin(90°-50°)=\sin40°$
已知$\sinα=\cos50°$，因此$\sinα=\sin40°$
又因为α为锐角，锐角的正弦值与角度一一对应，所以$α=40°$
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
互余角的三角函数关系、锐角三角函数的性质
【点评】
本题是三角函数基础题型，核心考查互余两角的三角函数转换规则，熟记对应公式即可快速解题，属于送分类基础题。
【难度系数】
0.8
