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1. 在$△ ABC$中，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，则$\tan B$的值是（）
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定直角的位置；再依据锐角正切的定义，找到∠B对应的对边和邻边，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10
∴$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2 = 10^2 = 100$
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$
根据锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值
对于$∠ B$，对边为AC，邻边为BC
∴$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；正切的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查直角三角形的判定和锐角三角函数的基本概念，解题的核心是先准确判断三角形的形状，再找准对应角的对边和邻边，避免混淆边的对应关系即可正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定直角的位置；再依据锐角正切的定义，找到∠B对应的对边和邻边，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10
∴$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2 = 10^2 = 100$
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$
根据锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值
对于$∠ B$，对边为AC，邻边为BC
∴$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；正切的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查直角三角形的判定和锐角三角函数的基本概念，解题的核心是先准确判断三角形的形状，再找准对应角的对边和邻边，避免混淆边的对应关系即可正确作答。
【难度系数】
0.8
2. (2025·山东)如图1，在平面直角坐标系中，A,C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形。若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B，则满足$y≥2$的x的取值范围为()
A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知的正方形面积入手，先计算正方形的边长，得到点B的坐标；再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k值确定函数解析式；最后将y≥2代入解析式，结合x＞0的取值范围，解不等式得到x的取值范围。
【解析】
1. 求正方形边长：
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴正方形边长为$\sqrt{4}=2$。
2. 确定点B坐标：
∵A在x轴正半轴，C在y轴正半轴，
∴点B的横坐标等于OA的长2，纵坐标等于AB的长2，即$B(2,2)$。
3. 求反比例函数解析式：将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，即反比例函数为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
4. 解不等式求x范围：要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$，
∵$x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，结合$x＞0$，最终得$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，解题核心是先利用正方形性质求出反比例函数解析式，再结合定义域解不等式，熟练掌握基础知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的正方形面积入手，先计算正方形的边长，得到点B的坐标；再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k值确定函数解析式；最后将y≥2代入解析式，结合x＞0的取值范围，解不等式得到x的取值范围。
【解析】
1. 求正方形边长：
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴正方形边长为$\sqrt{4}=2$。
2. 确定点B坐标：
∵A在x轴正半轴，C在y轴正半轴，
∴点B的横坐标等于OA的长2，纵坐标等于AB的长2，即$B(2,2)$。
3. 求反比例函数解析式：将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，即反比例函数为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
4. 解不等式求x范围：要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$，
∵$x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，结合$x＞0$，最终得$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，解题核心是先利用正方形性质求出反比例函数解析式，再结合定义域解不等式，熟练掌握基础知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图2,A是反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上任意一点,过点A且平行于x轴的直线交反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$的图象于点B,以AB为边作平行四边形ABCD,其中C,D在x轴上,则四边形ABCD的面积为()
A.6
B.5
C.3
D.2.5
A.6
B.5
C.3
D.2.5
答案
B
解析
【分析】
首先观察到AB平行于x轴，因此A、B两点纵坐标相等，平行四边形ABCD的面积等于底AB的长度乘以AB到x轴的距离（即点的纵坐标的绝对值）。我们可以设A点的纵坐标为h，分别用反比例函数解析式表示出A、B两点的横坐标，求出AB的长度，再结合平行四边形面积公式计算即可，计算过程中参数h会被消去，得到固定面积。
【解析】
设点A的纵坐标为$h(h＞0)$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=h$代入解析式，得$x=\frac{2}{h}$，即点A坐标为$(\frac{2}{h},h)$。
∵ AB平行于x轴，
∴ 点B的纵坐标也为$h$。
∵ 点B在反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$的图象上，将$y=h$代入解析式，得$x=-\frac{3}{h}$，即点B坐标为$(-\frac{3}{h},h)$。
∴ AB的长度为：$\frac{2}{h}-(-\frac{3}{h})=\frac{5}{h}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB边上的高等于AB到x轴的距离，即$h$，
∴ 平行四边形ABCD的面积$=AB×高=\frac{5}{h}× h=5$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；平行四边形的面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的性质和平行四边形面积的计算，解题关键是利用平行于x轴的点纵坐标相等的性质，通过设参数的方法消去未知量得到固定值，考查了数形结合思想和灵活设元简化计算的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察到AB平行于x轴，因此A、B两点纵坐标相等，平行四边形ABCD的面积等于底AB的长度乘以AB到x轴的距离（即点的纵坐标的绝对值）。我们可以设A点的纵坐标为h，分别用反比例函数解析式表示出A、B两点的横坐标，求出AB的长度，再结合平行四边形面积公式计算即可，计算过程中参数h会被消去，得到固定面积。
【解析】
设点A的纵坐标为$h(h＞0)$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=h$代入解析式，得$x=\frac{2}{h}$，即点A坐标为$(\frac{2}{h},h)$。
∵ AB平行于x轴，
∴ 点B的纵坐标也为$h$。
∵ 点B在反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$的图象上，将$y=h$代入解析式，得$x=-\frac{3}{h}$，即点B坐标为$(-\frac{3}{h},h)$。
∴ AB的长度为：$\frac{2}{h}-(-\frac{3}{h})=\frac{5}{h}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB边上的高等于AB到x轴的距离，即$h$，
∴ 平行四边形ABCD的面积$=AB×高=\frac{5}{h}× h=5$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；平行四边形的面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的性质和平行四边形面积的计算，解题关键是利用平行于x轴的点纵坐标相等的性质，通过设参数的方法消去未知量得到固定值，考查了数形结合思想和灵活设元简化计算的能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知α是锐角，且$\sinα=0.75$，则（）
A.$0°＜α＜30°$
B.$0°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
A.$0°＜α＜30°$
B.$0°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合锐角正弦函数的增减性和特殊角的三角函数值判断角度范围。首先明确：在0°~90°的锐角范围内，角度越大，正弦值越大。接下来只需将已知的sinα=0.75与30°、45°、60°这几个特殊角的正弦值比较大小，就能对应推出α的取值范围。
【解析】
首先写出常见特殊锐角的正弦值：
$\sin30°=\frac{1}{2}=0.5$，
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，
已知锐角α满足$\sinα=0.75$，结合锐角正弦值随角度增大而增大的性质，可得：
$\sin45°＜\sinα＜\sin60°$，
因此对应的角度范围为$45°＜α＜60°$。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角正弦的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及锐角三角函数增减性的应用，解题关键是牢记特殊角的三角函数值，明确锐角范围内正弦值随角度增大而增大的规律。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，我们可以结合锐角正弦函数的增减性和特殊角的三角函数值判断角度范围。首先明确：在0°~90°的锐角范围内，角度越大，正弦值越大。接下来只需将已知的sinα=0.75与30°、45°、60°这几个特殊角的正弦值比较大小，就能对应推出α的取值范围。
【解析】
首先写出常见特殊锐角的正弦值：
$\sin30°=\frac{1}{2}=0.5$，
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，
已知锐角α满足$\sinα=0.75$，结合锐角正弦值随角度增大而增大的性质，可得：
$\sin45°＜\sinα＜\sin60°$，
因此对应的角度范围为$45°＜α＜60°$。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角正弦的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及锐角三角函数增减性的应用，解题关键是牢记特殊角的三角函数值，明确锐角范围内正弦值随角度增大而增大的规律。
【难度系数】
0.75
5.(2025·内蒙古)已知点$A(m,y_1)$,$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上,则下列结论一定正确的是 ()
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时,$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时,$y_1＜y_2$
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时,$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时,$y_1＜y_2$
答案
D
解析
【分析】
要判断$y_1$和$y_2$的大小关系，首先先明确反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意增减性的适用前提是“同一象限内”。接下来结合点A、B的横坐标的关系（$m$和$m+1$相差1），分情况讨论$m$的取值范围，判断两个点所在的象限，再结合增减性比较函数值大小，最后逐一验证选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此：
1. 函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
2. 分情况讨论点A、B的位置：
① 当$m＜-1$时，$m＜m+1＜0$，两点均位于第二象限，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$，故D选项结论正确；
② 当$-1＜m＜0$时，$m＜0＜m+1$，点A在第二象限，$y_1＞0$，点B在第四象限，$y_2＜0$，此时$y_1＞y_2$，因此C选项“当$m＜0$时，$y_1＜y_2$”不成立；
③ 当$m＞0$时，$0＜m＜m+1$，两点均位于第四象限，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$。
综上，A、B选项的结论不恒成立，C选项结论错误，只有D选项结论一定正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数值大小比较
【点评】
本题解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时需结合自变量的取值范围分情况讨论点所在的象限，避免忽略跨象限的情况直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
要判断$y_1$和$y_2$的大小关系，首先先明确反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意增减性的适用前提是“同一象限内”。接下来结合点A、B的横坐标的关系（$m$和$m+1$相差1），分情况讨论$m$的取值范围，判断两个点所在的象限，再结合增减性比较函数值大小，最后逐一验证选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此：
1. 函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
2. 分情况讨论点A、B的位置：
① 当$m＜-1$时，$m＜m+1＜0$，两点均位于第二象限，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$，故D选项结论正确；
② 当$-1＜m＜0$时，$m＜0＜m+1$，点A在第二象限，$y_1＞0$，点B在第四象限，$y_2＜0$，此时$y_1＞y_2$，因此C选项“当$m＜0$时，$y_1＜y_2$”不成立；
③ 当$m＞0$时，$0＜m＜m+1$，两点均位于第四象限，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$。
综上，A、B选项的结论不恒成立，C选项结论错误，只有D选项结论一定正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数值大小比较
【点评】
本题解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时需结合自变量的取值范围分情况讨论点所在的象限，避免忽略跨象限的情况直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
6. (2024·日照)潮汐塔(如图3①)是万平口区域内的标志性建筑,在其塔顶可俯视景区全貌。某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度,测量方案如图3②所示:无人机在距水平地面119 m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°,再将无人机沿水平方向飞行74 m到达点N处,测得潮汐塔底端B的俯角为45°(点M,N,A,B在同一平面内),则潮汐塔AB的高度为(结果精确到1 m。参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40) ()
A.41 m
B.42 m
C.48 m
D.51 m
A.41 m
B.42 m
C.48 m
D.51 m
答案
B
解析
【分析】
遇到俯角类的解直角三角形实际问题，首先通过作辅助线构造直角三角形：延长BA交MN所在水平线于点C，可得BC⊥MN，BC的长度等于无人机距地面的高度119m。第一步，先在含45°角的Rt△NBC中，利用等腰直角三角形的性质求出NC的长度，即可得到MC的总长度；第二步，在含22°角的Rt△AMC中，利用正切函数求出AC的长度；最后用BC的长度减去AC的长度，就能得到潮汐塔AB的高度。
【解析】
解：延长BA交直线MN于点C，可得BC⊥MN。
由题意可知：$BC = 119\ \mathrm{m}$，$MN = 74\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ NBC$中，$∠ BNC = 45°$，$∠ C = 90°$，
$\therefore NC = BC = 119\ \mathrm{m}$，
$\therefore MC = MN + NC = 74 + 119 = 193\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$∠ AMC = 22°$，$∠ C = 90°$，
根据正切的定义：$\tan∠ AMC = \frac{AC}{MC}$，
$\therefore AC = MC · \tan22° \approx 193 × 0.40 = 77.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB = BC - AC = 119 - 77.2 \approx 42\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 解直角三角形的俯角应用
2. 锐角三角函数
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的应用，解题核心是构造合适的直角三角形，把实际中的俯角条件转化为直角三角形的内角条件，结合三角函数的定义计算相关边长，考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
遇到俯角类的解直角三角形实际问题，首先通过作辅助线构造直角三角形：延长BA交MN所在水平线于点C，可得BC⊥MN，BC的长度等于无人机距地面的高度119m。第一步，先在含45°角的Rt△NBC中，利用等腰直角三角形的性质求出NC的长度，即可得到MC的总长度；第二步，在含22°角的Rt△AMC中，利用正切函数求出AC的长度；最后用BC的长度减去AC的长度，就能得到潮汐塔AB的高度。
【解析】
解：延长BA交直线MN于点C，可得BC⊥MN。
由题意可知：$BC = 119\ \mathrm{m}$，$MN = 74\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ NBC$中，$∠ BNC = 45°$，$∠ C = 90°$，
$\therefore NC = BC = 119\ \mathrm{m}$，
$\therefore MC = MN + NC = 74 + 119 = 193\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$∠ AMC = 22°$，$∠ C = 90°$，
根据正切的定义：$\tan∠ AMC = \frac{AC}{MC}$，
$\therefore AC = MC · \tan22° \approx 193 × 0.40 = 77.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB = BC - AC = 119 - 77.2 \approx 42\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 解直角三角形的俯角应用
2. 锐角三角函数
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的应用，解题核心是构造合适的直角三角形，把实际中的俯角条件转化为直角三角形的内角条件，结合三角函数的定义计算相关边长，考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
