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22. (10分)如图15,已知直线$l:y=-x+5$。
(1)当反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象与直线$l$在第一象限内至少有一个交点时,求$k$的取值范围;
(2)若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象与直线$l$在第一象限内相交于点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,当$x_2-x_1=3$时,求$k$的值,并根据图象写出此时关于$x$的不等式$-x+5＜\frac{k}{x}$的解集。
(1)当反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象与直线$l$在第一象限内至少有一个交点时,求$k$的取值范围;
(2)若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象与直线$l$在第一象限内相交于点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,当$x_2-x_1=3$时,求$k$的值,并根据图象写出此时关于$x$的不等式$-x+5＜\frac{k}{x}$的解集。
答案
解：
(1) 联立直线$l$与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=-x+5\\y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去$y$，整理得：$x^2 -5x +k = 0$
∵ 两个函数图象在第一象限内至少有一个交点，
∴ 该一元二次方程的判别式$\Delta ≥ 0$
即 $\Delta = (-5)^2 -4×1× k =25-4k ≥ 0$
解得 $k ≤ \frac{25}{4}$
又∵ $k＞0$，
∴ $k$的取值范围是 $0＜k≤ \frac{25}{4}$。
(2) 由题意可知，$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x +k=0$的两个不相等的正实数根，
由一元二次方程根与系数的关系得：$x_1 + x_2 =5$，
已知 $x_2 -x_1=3$，
联立方程组：
$\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_2 -x_1=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1=1\\x_2=4\end{cases}$
将$x=1$代入$x^2 -5x +k=0$，得$1 -5 +k=0$，解得$k=4$。
观察图象，不等式$-x+5＜\frac{k}{x}$的解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
综上，$k$的值为$4$，不等式的解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
(1) 联立直线$l$与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=-x+5\\y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去$y$，整理得：$x^2 -5x +k = 0$
∵ 两个函数图象在第一象限内至少有一个交点，
∴ 该一元二次方程的判别式$\Delta ≥ 0$
即 $\Delta = (-5)^2 -4×1× k =25-4k ≥ 0$
解得 $k ≤ \frac{25}{4}$
又∵ $k＞0$，
∴ $k$的取值范围是 $0＜k≤ \frac{25}{4}$。
(2) 由题意可知，$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x +k=0$的两个不相等的正实数根，
由一元二次方程根与系数的关系得：$x_1 + x_2 =5$，
已知 $x_2 -x_1=3$，
联立方程组：
$\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_2 -x_1=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1=1\\x_2=4\end{cases}$
将$x=1$代入$x^2 -5x +k=0$，得$1 -5 +k=0$，解得$k=4$。
观察图象，不等式$-x+5＜\frac{k}{x}$的解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
综上，$k$的值为$4$，不等式的解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
解析
【分析】
(1) 要求反比例函数与直线在第一象限至少有一个交点，可先将两个函数解析式联立，转化为一元二次方程，方程有正实数解的前提是判别式非负，再结合题目给出的$k＞0$的条件，即可求出$k$的取值范围。
(2) 两函数有两个交点说明联立得到的一元二次方程有两个不等正实根，根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之和$x_1+x_2=5$，结合题目给出的$x_2-x_1=3$，可解出$x_1$、$x_2$的值，代入方程即可求出$k$值；解不等式$-x+5＜\frac{k}{x}$，就是找直线图象在反比例函数图象下方对应的$x$的取值范围，结合交点横坐标和$x＞0$的取值范围即可写出解集。
【解析】
(1) 联立直线$l$与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x+5\\y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去$y$，整理得一元二次方程：$x^2 -5x +k = 0$
∵两个函数图象在第一象限内至少有一个交点，
∴该一元二次方程有正实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$
代入判别式公式得：$\Delta = (-5)^2 - 4×1× k = 25 - 4k ≥ 0$
解得$k ≤ \frac{25}{4}$
又
∵题目已知$k＞0$，
∴$k$的取值范围是$0 ＜ k ≤ \frac{25}{4}$。
(2) 由题意可知，$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -5x +k = 0$的两个不相等的正实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 5$，
又已知$x_2 - x_1 = 3$，
联立得方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 5\\x_2 - x_1 = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1 = 1\\x_2 = 4\end{cases}$
将$x=1$代入$x^2 -5x +k = 0$，得$1 - 5 + k = 0$，解得$k=4$。
观察函数图象，不等式$-x+5 ＜ \frac{k}{x}$即直线$l$的图象在反比例函数图象下方时对应的$x$的取值，结合$x＞0$的范围，可得解集为$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 4$。
【答案】
(1) $0 ＜ k ≤ \frac{25}{4}$；
(2) $k=4$，不等式的解集为$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 4$。
【知识点】
函数交点与方程的关系，一元二次方程根的性质，数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与一元二次方程结合的综合题，解题关键是理解函数交点与联立方程解的对应关系，熟练运用一元二次方程的相关性质求解参数，同时要掌握数形结合思想，通过函数图象直接得到不等式的解集，是函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要求反比例函数与直线在第一象限至少有一个交点，可先将两个函数解析式联立，转化为一元二次方程，方程有正实数解的前提是判别式非负，再结合题目给出的$k＞0$的条件，即可求出$k$的取值范围。
(2) 两函数有两个交点说明联立得到的一元二次方程有两个不等正实根，根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之和$x_1+x_2=5$，结合题目给出的$x_2-x_1=3$，可解出$x_1$、$x_2$的值，代入方程即可求出$k$值；解不等式$-x+5＜\frac{k}{x}$，就是找直线图象在反比例函数图象下方对应的$x$的取值范围，结合交点横坐标和$x＞0$的取值范围即可写出解集。
【解析】
(1) 联立直线$l$与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x+5\\y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去$y$，整理得一元二次方程：$x^2 -5x +k = 0$
∵两个函数图象在第一象限内至少有一个交点，
∴该一元二次方程有正实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$
代入判别式公式得：$\Delta = (-5)^2 - 4×1× k = 25 - 4k ≥ 0$
解得$k ≤ \frac{25}{4}$
又
∵题目已知$k＞0$，
∴$k$的取值范围是$0 ＜ k ≤ \frac{25}{4}$。
(2) 由题意可知，$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -5x +k = 0$的两个不相等的正实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 5$，
又已知$x_2 - x_1 = 3$，
联立得方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 5\\x_2 - x_1 = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1 = 1\\x_2 = 4\end{cases}$
将$x=1$代入$x^2 -5x +k = 0$，得$1 - 5 + k = 0$，解得$k=4$。
观察函数图象，不等式$-x+5 ＜ \frac{k}{x}$即直线$l$的图象在反比例函数图象下方时对应的$x$的取值，结合$x＞0$的范围，可得解集为$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 4$。
【答案】
(1) $0 ＜ k ≤ \frac{25}{4}$；
(2) $k=4$，不等式的解集为$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 4$。
【知识点】
函数交点与方程的关系，一元二次方程根的性质，数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与一元二次方程结合的综合题，解题关键是理解函数交点与联立方程解的对应关系，熟练运用一元二次方程的相关性质求解参数，同时要掌握数形结合思想，通过函数图象直接得到不等式的解集，是函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.65
23. (11分)如图16,在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象与直线$y=x-2$交于点$A(3,m)$。
(1)求$k,m$的值。
(2)已知点$P(n,n)(n＞0)$,过点$P$作平行于$x$轴的直线,交直线$y=x-2$于点$M$,过点$P$作平行于$y$轴的直线,交函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$N$。
①当$n=1$时,判断线段$PM$与$PN$的数量关系,并说明理由；
②若$PN≥PM$,结合函数的图象,直接写出$n$的取值范围。
(1)求$k,m$的值。
(2)已知点$P(n,n)(n＞0)$,过点$P$作平行于$x$轴的直线,交直线$y=x-2$于点$M$,过点$P$作平行于$y$轴的直线,交函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$N$。
①当$n=1$时,判断线段$PM$与$PN$的数量关系,并说明理由；
②若$PN≥PM$,结合函数的图象,直接写出$n$的取值范围。
答案
解：
(1) ∵点$A(3,m)$在直线$y=x-2$上，
∴将$x=3$代入$y=x-2$，得$m=3-2=1$。
∴点$A$的坐标为$(3,1)$。
将$A(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{3}$，解得$k=3$。
(2) ① $PM=PN$，理由如下：
当$n=1$时，点$P$的坐标为$(1,1)$。
∵过点$P$作平行于$x$轴的直线交直线$y=x-2$于点$M$，令$y=1$，则$x-2=1$，解得$x=3$，
∴$M(3,1)$，$PM=3-1=2$。
∵过点$P$作平行于$y$轴的直线交$y=\frac{3}{x}$于点$N$，令$x=1$，则$y=\frac{3}{1}=3$，
∴$N(1,3)$，$PN=3-1=2$。
∴$PM=PN$。
② $n$的取值范围是$0＜n≤1$或$n≥3$。
(1) ∵点$A(3,m)$在直线$y=x-2$上，
∴将$x=3$代入$y=x-2$，得$m=3-2=1$。
∴点$A$的坐标为$(3,1)$。
将$A(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{3}$，解得$k=3$。
(2) ① $PM=PN$，理由如下：
当$n=1$时，点$P$的坐标为$(1,1)$。
∵过点$P$作平行于$x$轴的直线交直线$y=x-2$于点$M$，令$y=1$，则$x-2=1$，解得$x=3$，
∴$M(3,1)$，$PM=3-1=2$。
∵过点$P$作平行于$y$轴的直线交$y=\frac{3}{x}$于点$N$，令$x=1$，则$y=\frac{3}{1}=3$，
∴$N(1,3)$，$PN=3-1=2$。
∴$PM=PN$。
② $n$的取值范围是$0＜n≤1$或$n≥3$。
解析
【分析】
(1) 点A是直线与反比例函数的公共交点，首先利用点A在一次函数图象上的特征，将A点横坐标代入直线解析式即可求出m的值，得到A点完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k的值。
(2) ① 先根据n的取值确定P点坐标：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此令直线解析式的y值等于P点纵坐标，求出M点横坐标后即可计算PM的长度；平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此令反比例函数的x值等于P点横坐标，求出N点纵坐标后即可计算PN的长度，比较二者数值即可得到数量关系。
② 先用含n的代数式分别表示出PM、PN的长度，可知PM恒为2，PN为$\left|\frac{3}{n}-n\right|$，结合$PN≥ PM$列不等式，再根据n＞0的限制条件和函数图象特征即可求出n的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$A(3,m)$在直线$y=x-2$上，
∴将$x=3$代入$y=x-2$，得$m=3-2=1$。
∴点$A$的坐标为$(3,1)$。
将$A(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{3}$，解得$k=3$。
(2) ① $PM=PN$，理由如下：
当$n=1$时，点$P$的坐标为$(1,1)$。
∵过点$P$作平行于$x$轴的直线交直线$y=x-2$于点$M$，令$y=1$，则$x-2=1$，解得$x=3$，
∴$M(3,1)$，$PM=3-1=2$。
∵过点$P$作平行于$y$轴的直线交$y=\frac{3}{x}$于点$N$，令$x=1$，则$y=\frac{3}{1}=3$，
∴$N(1,3)$，$PN=3-1=2$。
∴$PM=PN$。
② 由题意可得，点M的纵坐标为n，代入直线得M的横坐标为$n+2$，故$PM=(n+2)-n=2$；点N的横坐标为n，代入反比例函数得N的纵坐标为$\frac{3}{n}$，故$PN=\left|\frac{3}{n}-n\right|$，令$\left|\frac{3}{n}-n\right|≥2$，结合$n＞0$解得$0＜n≤1$或$n≥3$。
【答案】
(1) $m=1$，$k=3$
(2) ① $PM=PN$；② $0＜n≤1$或$n≥3$
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了代入法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征等基础知识点，也结合线段长度计算、不等式求解考查了数形结合思想的应用，能够有效巩固函数综合应用的相关能力。
【难度系数】
0.7
(1) 点A是直线与反比例函数的公共交点，首先利用点A在一次函数图象上的特征，将A点横坐标代入直线解析式即可求出m的值，得到A点完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k的值。
(2) ① 先根据n的取值确定P点坐标：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此令直线解析式的y值等于P点纵坐标，求出M点横坐标后即可计算PM的长度；平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此令反比例函数的x值等于P点横坐标，求出N点纵坐标后即可计算PN的长度，比较二者数值即可得到数量关系。
② 先用含n的代数式分别表示出PM、PN的长度，可知PM恒为2，PN为$\left|\frac{3}{n}-n\right|$，结合$PN≥ PM$列不等式，再根据n＞0的限制条件和函数图象特征即可求出n的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$A(3,m)$在直线$y=x-2$上，
∴将$x=3$代入$y=x-2$，得$m=3-2=1$。
∴点$A$的坐标为$(3,1)$。
将$A(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{3}$，解得$k=3$。
(2) ① $PM=PN$，理由如下：
当$n=1$时，点$P$的坐标为$(1,1)$。
∵过点$P$作平行于$x$轴的直线交直线$y=x-2$于点$M$，令$y=1$，则$x-2=1$，解得$x=3$，
∴$M(3,1)$，$PM=3-1=2$。
∵过点$P$作平行于$y$轴的直线交$y=\frac{3}{x}$于点$N$，令$x=1$，则$y=\frac{3}{1}=3$，
∴$N(1,3)$，$PN=3-1=2$。
∴$PM=PN$。
② 由题意可得，点M的纵坐标为n，代入直线得M的横坐标为$n+2$，故$PM=(n+2)-n=2$；点N的横坐标为n，代入反比例函数得N的纵坐标为$\frac{3}{n}$，故$PN=\left|\frac{3}{n}-n\right|$，令$\left|\frac{3}{n}-n\right|≥2$，结合$n＞0$解得$0＜n≤1$或$n≥3$。
【答案】
(1) $m=1$，$k=3$
(2) ① $PM=PN$；② $0＜n≤1$或$n≥3$
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了代入法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征等基础知识点，也结合线段长度计算、不等式求解考查了数形结合思想的应用，能够有效巩固函数综合应用的相关能力。
【难度系数】
0.7
