20. (9分)某气球内充满一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强p(kPa)与气体的体积V(m³)成反比例。当气体的体积V=0.8 m³时,气球内气体的压强p=112.5 kPa。当气球内气体的压强大于150 kPa时,气球就会爆炸。
(1)求p关于V的函数表达式。
(2)当气球内气体的体积从1.2 m³增加至1.8 m³(含1.2 m³和1.8 m³)时,求气体压强的范围。
(3)若气球内气体的体积为0.55 m³,气球会不会爆炸?请说明理由。

解：
(1) 设$p$关于$V$的函数表达式为$p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0)$。
将$V=0.8$，$p=112.5$代入表达式得：
$112.5=\frac{k}{0.8}$，解得$k=0.8×112.5=90$。
所以$p$关于$V$的函数表达式为$\boldsymbol{p=\frac{90}{V}(V＞0)}$。
(2) 因为$k=90＞0$，当$V＞0$时，$p$随$V$的增大而减小。
当$V=1.2$时，$p=\frac{90}{1.2}=75$；
当$V=1.8$时，$p=\frac{90}{1.8}=50$。
因此当气体体积从$1.2\ \mathrm{m}^3$增加至$1.8\ \mathrm{m}^3$时，气体压强的范围是$\boldsymbol{50\ \mathrm{kPa}≤ p≤75\ \mathrm{kPa}}$。
(3) 气球会爆炸，理由如下：
将$V=0.55$代入$p=\frac{90}{V}$，得$p=\frac{90}{0.55}\approx163.6\ \mathrm{kPa}$。
因为$163.6＞150$，此时气球内气体压强大于150 kPa，所以气球会爆炸。

【分析】
(1) 题目明确压强p与体积V成反比例，因此先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，再将已知的V=0.8、p=112.5代入表达式，即可求出常数k的值，得到p关于V的函数表达式。
(2) 首先根据反比例函数系数k的符号判断增减性：当k＞0且V＞0时，p随V的增大而减小，因此分别计算V=1.2和V=1.8时对应的p值，就能得到体积变化范围内压强的取值范围。
(3) 要判断气球是否爆炸，只需将V=0.55代入函数表达式求出对应p值，再和爆炸临界压强150kPa比较，若p＞150kPa则气球会爆炸，反之不会。
【解析】
(1) 设$p$关于$V$的函数表达式为$p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0)$。
将$V=0.8$，$p=112.5$代入表达式得：
$112.5=\frac{k}{0.8}$，解得$k=0.8×112.5=90$。
所以$p$关于$V$的函数表达式为$p=\frac{90}{V}(V＞0)$。
(2) 因为$k=90＞0$，当$V＞0$时，$p$随$V$的增大而减小。
当$V=1.2$时，$p=\frac{90}{1.2}=75$；
当$V=1.8$时，$p=\frac{90}{1.8}=50$。
因此当气体体积从$1.2\ \mathrm{m}^3$增加至$1.8\ \mathrm{m}^3$时，气体压强的范围是$50\ \mathrm{kPa}≤ p≤75\ \mathrm{kPa}$。
(3) 气球会爆炸，理由如下：
将$V=0.55$代入$p=\frac{90}{V}$，得$p=\frac{90}{0.55}\approx163.6\ \mathrm{kPa}$。
因为$163.6＞150$，此时气球内气体压强大于150 kPa，所以气球会爆炸。
【答案】
(1) $p=\frac{90}{V}(V＞0)$
(2) $50\ \mathrm{kPa}≤ p≤75\ \mathrm{kPa}$
(3) 气球会爆炸，理由见解析
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的相关知识，解题关键是先求出反比例函数解析式，再结合函数的增减性、代入求值等方法解决问题，注重对基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

21. (10分)(2024·兰州)如图14,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$与一次函数$y=mx+1$的图象交于点$A(2,3)$,点B是反比例函数图象上一点,$BC ⊥ x$轴于点C,交一次函数的图象于点D,连接AB。
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=mx+1$的表达式;
(2)当$OC=4$时,求$△ ABD$的面积。

解：
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
将点$A(2,3)$代入一次函数$y=mx+1$，得：
$2m+1=3$，解得$m=1$，
因此一次函数的表达式为$y=x+1$。
(2) 由$OC=4$，$BC⊥ x$轴可知，点$B$、点$D$的横坐标均为4。
将$x=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即$B(4,\frac{3}{2})$。
将$x=4$代入$y=x+1$，得$y=4+1=5$，即$D(4,5)$。
因此$BD=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
点$A$到直线$BD$的水平距离为$4-2=2$，
所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD × 2 = \frac{7}{2}$。
综上，(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$，一次函数表达式为$y=x+1$；(2) $△ ABD$的面积为$\frac{7}{2}$。

【分析】
(1) 求函数表达式可使用待定系数法：已知两个函数的交点$A(2,3)$，将$A$点坐标分别代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出未知参数$k$和$m$的值，进而得到两个函数的表达式。
(2) 由$OC=4$、$BC ⊥ x$轴可知，点$B$和点$D$的横坐标均为4，将$x=4$分别代入两个函数表达式，可求出$B$、$D$的坐标，进而得到线段$BD$的长度；由于$BD$是垂直于$x$轴的竖直线段，点$A$到直线$BD$的距离为两点横坐标的差值，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
将点$A(2,3)$代入一次函数$y=mx+1$，得：
$2m+1=3$，解得$m=1$，
因此一次函数的表达式为$y=x+1$。
(2) 由$OC=4$，$BC ⊥ x$轴可知，点$B$、点$D$的横坐标均为4。
将$x=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即$B(4,\frac{3}{2})$。
将$x=4$代入$y=x+1$，得$y=4+1=5$，即$D(4,5)$。
因此$BD=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
点$A$到直线$BD$的水平距离为$4-2=2$，
所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × BD × 2 = \frac{7}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}(x＞0)}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x+1}$；
(2) $△ ABD$的面积为$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是函数基础综合题，考查了待定系数法的应用、坐标系中点坐标的求解以及图形面积的计算方法，解题核心是掌握函数解析式与图象上点坐标的对应关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7