17. (9分)(2025·德阳改编)如图11,已知菱形OABC,点C在x轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过菱形的顶点A(3,4),连接OB,OB与反比例函数图象交于点D。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求直线OB的表达式和点D的坐标。

解：
(1) 将点$A(3,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$4=\dfrac{k}{3}$，解得$k=12$。
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$。
(2) 过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，
∵$A(3,4)$，∴$OE=3$，$AE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵四边形$OABC$是菱形，
∴$AB=OA=5$，且$AB// x$轴，
∴点$B$的纵坐标为$4$，横坐标为$3+5=8$，即$B(8,4)$。
设直线$OB$的表达式为$y=ax(a≠0)$，将$B(8,4)$代入得：
$4=8a$，解得$a=\dfrac{1}{2}$。
∴直线$OB$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
联立直线$OB$与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x \\y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$
消去$y$得$\dfrac{1}{2}x=\dfrac{12}{x}$，整理得$x^2=24$，
解得$x_1=2\sqrt{6}$，$x_2=-2\sqrt{6}$，
∵$x＞0$，∴$x=2\sqrt{6}$，代入$y=\dfrac{1}{2}x$得$y=\sqrt{6}$。
∴点$D$的坐标为$(2\sqrt{6},\sqrt{6})$。

【分析】
（1）求反比例函数的表达式，已知反比例函数图象经过点A(3,4)，直接将A点坐标代入解析式$y=\frac{k}{x}$，计算出k值即可得到反比例函数表达式。
（2）要得到直线OB的表达式，需先求点B的坐标：先过A作x轴垂线，用勾股定理求出OA的长度，再根据菱形四条边相等、对边平行的性质，可知AB=OA且AB平行于x轴，由此推导得到B点坐标；再用待定系数法设直线OB的解析式为$y=ax$，代入B点坐标求出a的值，得到直线OB的表达式；最后联立直线OB和反比例函数的解析式，解方程组，结合x＞0的范围，即可得到点D的坐标。
【解析】
(1) 将点$A(3,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$4=\dfrac{k}{3}$，解得$k=12$。
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$。
(2) 过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，
∵$A(3,4)$，
∴$OE=3$，$AE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵四边形$OABC$是菱形，
∴$AB=OA=5$，且$AB// x$轴，
∴点$B$的纵坐标与A点相同为$4$，横坐标为$3+5=8$，即$B(8,4)$。
设直线$OB$的表达式为$y=ax(a≠0)$，将$B(8,4)$代入得：
$4=8a$，解得$a=\dfrac{1}{2}$。
∴直线$OB$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
联立直线$OB$与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x \\y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$
消去$y$得$\dfrac{1}{2}x=\dfrac{12}{x}$，整理得$x^2=24$，
解得$x_1=2\sqrt{6}$，$x_2=-2\sqrt{6}$，
∵$x＞0$，
∴$x=2\sqrt{6}$，代入$y=\dfrac{1}{2}x$得$y=\sqrt{6}$。
∴点$D$的坐标为$(2\sqrt{6},\sqrt{6})$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{12}{x}(x＞0)}$；
(2) 直线OB的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(2\sqrt{6},\sqrt{6})}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 菱形的性质
3. 函数图象交点的求解
【点评】
本题是函数与几何结合的基础综合题，主要考察基础知识点的应用，解题的核心是通过菱形的性质求出点B的坐标，再通过联立方程求交点，计算时注意结合自变量的取值范围舍去不符合题意的解即可。
【难度系数】
0.7

18. (9分)如图12,在平面直角坐标系$xOy$中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象和$△ ABC$都在第一象限内,$AB=AC=\frac{5}{2}$,$BC// x$轴,且$BC=4$,点$A$的坐标为$(3,5)$。
(1)若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$B$,求此反比例函数的表达式;
(2)若将$△ ABC$向下平移$m(m＞0)$个单位长度,$A,C$两点的对应点同时落在反比例函数的图象上,求$m$的值。

解：
由题意，△ABC为等腰三角形，过点A作AH⊥BC于点H。
∵AB=AC，BC//x轴，A(3,5)，
∴BC中点的横坐标与点A横坐标相同，为3。
∵BC=4，
∴点B的横坐标为3-2=1，点C的横坐标为3+2=5。
在Rt△ABH中，AB=$\frac{5}{2}$，BH=2，
∴AH=$\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 2^2}=\frac{3}{2}$，
∴BC边的纵坐标为$5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$，
即$B(1,\frac{7}{2})$，$C(5,\frac{7}{2})$。
(1) ∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点B，
∴$k=1×\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$，
∴此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{7}{2x}(x＞0)}$。
(2) 将△ABC向下平移$m$个单位后，点A的对应点坐标为$(3,5-m)$，点C的对应点坐标为$(5,\frac{7}{2}-m)$。
∵两点同时落在反比例函数图象上，
∴横纵坐标乘积相等：
$3(5-m)=5(\frac{7}{2}-m)$
展开得：$15-3m=\frac{35}{2}-5m$，
移项整理得：$2m=\frac{5}{2}$，
解得：$\boldsymbol{m=\frac{5}{4}}$。

【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：首先需要先求出B、C两点的坐标，已知△ABC是等腰三角形且BC平行于x轴，根据等腰三角形三线合一的性质，过A作BC的垂线，垂足为BC中点，可得BC中点的横坐标与A点横坐标一致，结合BC长度可算出B、C的横坐标；再用勾股定理计算出A到BC的高，就能得到B、C的纵坐标，确定两点坐标。第(1)问将B点坐标代入反比例函数解析式即可求出k，得到表达式。第(2)问根据平移规律写出平移后A、C对应点的坐标，利用反比例函数图象上的点横纵坐标乘积为定值k列方程，求解即可得到m的值。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H。
∵AB=AC，AH⊥BC，BC//x轴，点A的坐标为(3,5)，
∴H是BC的中点，H的横坐标与点A横坐标相同，为3。
∵BC=4，
∴BH=CH=2，
∴点B的横坐标为3-2=1，点C的横坐标为3+2=5。
在Rt△ABH中，AB=$\frac{5}{2}$，BH=2，
由勾股定理得：$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 2^2}=\frac{3}{2}$，
∴BC所在直线的纵坐标为$5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$，即$B(1,\frac{7}{2})$，$C(5,\frac{7}{2})$。
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$B(1,\frac{7}{2})$，
代入得$k=1×\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$，
∴此反比例函数的表达式为$y=\frac{7}{2x}(x＞0)$。
(2) 将△ABC向下平移$m(m＞0)$个单位长度后，
点A的对应点坐标为$(3,5-m)$，点C的对应点坐标为$(5,\frac{7}{2}-m)$。
∵两点同时落在反比例函数图象上，两点横纵坐标的乘积相等，
∴$3(5-m)=5(\frac{7}{2}-m)$，
展开得$15-3m=\frac{35}{2}-5m$，
移项合并同类项得$2m=\frac{5}{2}$，
解得$m=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{7}{2x}(x＞0)}$；(2) $\boldsymbol{m=\frac{5}{4}}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；等腰三角形的性质；平移的坐标变化规律
【点评】
本题是反比例函数与几何图形、平移相结合的基础综合题，注重对基础知识点的综合应用，解题的关键是先利用等腰三角形性质和勾股定理求出B、C两点的坐标，再结合反比例函数的特征和平移规律列式计算。
【难度系数】
0.7

19. (9分)如图13,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A(2,4)和点B,点B在点A的下方,AC平分∠OAB,交x轴于点C。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线。(要求:不写作法,保留作图痕迹,使用2B铅笔作图)
(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D,连接CD。求证:$CD// AB$。

(1) 解：
将点$A(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$
解得$k=8$，
因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}(x＞0)}$。
---
(2) 作图说明：
分别以点$A$、点$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两个交点作直线，该直线即为线段$AC$的垂直平分线，保留全部作图痕迹即可。
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(3) 证明：
∵ 点$D$在$AC$的垂直平分线上，
∴ $DA=DC$，
∴ $∠ DAC = ∠ DCA$。
又∵ $AC$平分$∠ OAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$，
∴ $∠ DCA = ∠ BAC$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$CD// AB$。

【分析】
（1）求反比例函数表达式时，已知反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，且图象过点A，因此只需将点A坐标代入解析式，求解出k的值即可确定表达式。
（2）作线段AC的垂直平分线，直接使用尺规作垂直平分线的标准方法操作即可：分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线即为所求垂直平分线，保留作图痕迹即可。
（3）要证明$CD// AB$，可通过证明内错角相等推导：首先利用线段垂直平分线的性质得到$DA=DC$，由等边对等角得$∠ DAC=∠ DCA$，再结合角平分线的定义得到$∠ DAC=∠ BAC$，等量代换得到内错角相等，即可推出两直线平行。
【解析】
(1) 将点$A(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$
解得$k=8$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}(x＞0)$。
(2) 分别以点$A$、点$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两个交点作直线，该直线即为线段$AC$的垂直平分线，保留全部作图痕迹即可。
(3) 证明：
∵ 点$D$在$AC$的垂直平分线上，
∴ $DA=DC$，
∴ $∠ DAC = ∠ DCA$。
又
∵ $AC$平分$∠ OAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$，
∴ $∠ DCA = ∠ BAC$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$CD// AB$。
【答案】
(1) $y=\frac{8}{x}(x＞0)$
(2) 按要求作出符合条件的垂直平分线（保留作图痕迹即可）
(3) 已证得$CD// AB$
【知识点】
1. 反比例函数解析式求解
2. 线段垂直平分线性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题综合考查反比例函数基础、尺规作图和简单几何推导，覆盖的都是核心基础知识点，侧重对基础概念的理解和基础逻辑推理能力的考查，属于常规综合基础题。
【难度系数】
0.7