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12. (2025·齐齐哈尔)如图7,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-x-1$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象在第二象限内交于点A,与x轴交于点B,点C的坐标为$(0,3)$,连接AC,BC。若$AC=BC$,则实数k的值为。
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的一次函数入手，先求出其与x轴交点B的坐标；再结合$AC=BC$的条件，先计算出BC的长度，由于点A在一次函数图象上，可设出含单个参数的A点坐标，利用两点间距离公式列方程求解A点坐标，注意结合A在第二象限的位置舍去不符合题意的解；最后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
对于一次函数$y=-x-1$，令$y=0$，得$0=-x-1$，解得$x=-1$，因此点B的坐标为$(-1,0)$。
2. 计算BC的长度：
已知点C坐标为$(0,3)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，可得：
$BC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
因为$AC=BC$，所以$AC=\sqrt{10}$。
3. 求点A的坐标：
设点A的坐标为$(a, -a-1)$（点A在一次函数$y=-x-1$图象上，满足函数解析式），则AC的距离满足：
$\sqrt{(a-0)^2+(-a-1-3)^2}=\sqrt{10}$
两边平方去掉根号得：
$a^2+(-a-4)^2=10$
展开整理得：$a^2+a^2+8a+16=10$，即$2a^2+8a+6=0$，化简为$a^2+4a+3=0$
因式分解得$(a+1)(a+3)=0$，解得$a_1=-1$，$a_2=-3$。
当$a=-1$时，对应点为B$(-1,0)$，不符合点A是第二象限内两函数交点的要求，故舍去，取$a=-3$。
将$a=-3$代入A点坐标得$A(-3, -(-3)-1)=(-3,2)$。
4. 求k的值：
将$A(-3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-3×2=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；两点间距离公式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用函数图象上点的坐标特征结合几何等量关系列方程求解，计算过程中要注意结合点的位置对解进行筛选，是函数部分的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的一次函数入手，先求出其与x轴交点B的坐标；再结合$AC=BC$的条件，先计算出BC的长度，由于点A在一次函数图象上，可设出含单个参数的A点坐标，利用两点间距离公式列方程求解A点坐标，注意结合A在第二象限的位置舍去不符合题意的解；最后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
对于一次函数$y=-x-1$，令$y=0$，得$0=-x-1$，解得$x=-1$，因此点B的坐标为$(-1,0)$。
2. 计算BC的长度：
已知点C坐标为$(0,3)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，可得：
$BC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
因为$AC=BC$，所以$AC=\sqrt{10}$。
3. 求点A的坐标：
设点A的坐标为$(a, -a-1)$（点A在一次函数$y=-x-1$图象上，满足函数解析式），则AC的距离满足：
$\sqrt{(a-0)^2+(-a-1-3)^2}=\sqrt{10}$
两边平方去掉根号得：
$a^2+(-a-4)^2=10$
展开整理得：$a^2+a^2+8a+16=10$，即$2a^2+8a+6=0$，化简为$a^2+4a+3=0$
因式分解得$(a+1)(a+3)=0$，解得$a_1=-1$，$a_2=-3$。
当$a=-1$时，对应点为B$(-1,0)$，不符合点A是第二象限内两函数交点的要求，故舍去，取$a=-3$。
将$a=-3$代入A点坐标得$A(-3, -(-3)-1)=(-3,2)$。
4. 求k的值：
将$A(-3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-3×2=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；两点间距离公式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用函数图象上点的坐标特征结合几何等量关系列方程求解，计算过程中要注意结合点的位置对解进行筛选，是函数部分的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
13. 如图8,点$A(2,2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上,将直线OA向上平移若干个单位长度,交y轴于点B,交双曲线于点C。若$BC=2$,则点C的坐标是。
答案
$\boldsymbol{(\sqrt{2},2\sqrt{2})}$
解析
【分析】
解题思路可分四步走：第一步，先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，得到双曲线的解析式；第二步，求出直线OA的解析式，根据平移性质可知平移后的直线斜率与OA相同，设出平移后直线的解析式，得到点B的坐标；第三步，设点C的横坐标为m，结合平移后直线的解析式表示出C点坐标，利用两点间距离公式结合BC=2的条件，求出m的值；第四步，将m代入双曲线解析式，即可得到点C的纵坐标，得到最终坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，因此双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
2. 求平移后直线的解析式：
直线OA过原点和$A(2,2)$，斜率为$\frac{2-0}{2-0}=1$，故OA解析式为$y=x$。
直线平移后斜率不变，设向上平移后的直线解析式为$y=x+b$，则它与y轴交点B的坐标为$(0,b)$。
3. 求点C的横坐标：
设点C的横坐标为$m(m＞0)$，因点C在直线$y=x+b$上，故C的坐标为$(m,m+b)$。
根据两点间距离公式，$BC=\sqrt{(m-0)^2+(m+b-b)^2}=\sqrt{m^2+m^2}=m\sqrt{2}$。
已知$BC=2$，故$m\sqrt{2}=2$，解得$m=\sqrt{2}$。
4. 求点C的纵坐标：
将$x=\sqrt{2}$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，因此点C的坐标为$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$。
【答案】
$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$
【知识点】
反比例函数性质，一次函数平移，两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心考点是一次函数平移的性质和两点间距离公式的应用，解题时可利用斜率为1的直线横纵坐标差相等的特点简化计算，难度中等。
【难度系数】
0.65
解题思路可分四步走：第一步，先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，得到双曲线的解析式；第二步，求出直线OA的解析式，根据平移性质可知平移后的直线斜率与OA相同，设出平移后直线的解析式，得到点B的坐标；第三步，设点C的横坐标为m，结合平移后直线的解析式表示出C点坐标，利用两点间距离公式结合BC=2的条件，求出m的值；第四步，将m代入双曲线解析式，即可得到点C的纵坐标，得到最终坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，因此双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
2. 求平移后直线的解析式：
直线OA过原点和$A(2,2)$，斜率为$\frac{2-0}{2-0}=1$，故OA解析式为$y=x$。
直线平移后斜率不变，设向上平移后的直线解析式为$y=x+b$，则它与y轴交点B的坐标为$(0,b)$。
3. 求点C的横坐标：
设点C的横坐标为$m(m＞0)$，因点C在直线$y=x+b$上，故C的坐标为$(m,m+b)$。
根据两点间距离公式，$BC=\sqrt{(m-0)^2+(m+b-b)^2}=\sqrt{m^2+m^2}=m\sqrt{2}$。
已知$BC=2$，故$m\sqrt{2}=2$，解得$m=\sqrt{2}$。
4. 求点C的纵坐标：
将$x=\sqrt{2}$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，因此点C的坐标为$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$。
【答案】
$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$
【知识点】
反比例函数性质，一次函数平移，两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心考点是一次函数平移的性质和两点间距离公式的应用，解题时可利用斜率为1的直线横纵坐标差相等的特点简化计算，难度中等。
【难度系数】
0.65
14. (2024·陕西)如图9,点$A(3,m)$和点$B(-5,n)$在同一个反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,$AC$和$BC$分别垂直于$x$轴和$y$轴。若$△ ABC$的面积为32,则$k$的值为。
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
【分析】
首先根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、B的纵坐标m、n用含k的代数式表示；再结合AC垂直x轴、BC垂直y轴的条件，确定点C的坐标，进而得到△ABC两条直角边的长度；最后根据三角形面积公式列方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(3,m)$、$B(-5,n)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
∴ $m=\frac{k}{3}$，$n=\frac{k}{-5}=-\frac{k}{5}$。
∵AC垂直于x轴，BC垂直于y轴，
∴点C的坐标为$(3,n)$，
∴直角边BC的长度为$3-(-5)=8$，直角边AC的长度为$m-n$。
已知$△ ABC$的面积为32，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × BC × AC = 32$
代入数值：$\frac{1}{2} × 8 × (m-n) = 32$
化简得：$m-n=8$
将$m=\frac{k}{3}$，$n=-\frac{k}{5}$代入上式：
$\frac{k}{3} - (-\frac{k}{5}) = 8$
通分计算：$\frac{5k+3k}{15}=8$
$\frac{8k}{15}=8$
解得$k=15$。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，解题的核心是利用反比例函数上点的坐标特征以及坐标系中线段长度的表示方法，结合面积公式建立方程求解，整体思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
首先根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、B的纵坐标m、n用含k的代数式表示；再结合AC垂直x轴、BC垂直y轴的条件，确定点C的坐标，进而得到△ABC两条直角边的长度；最后根据三角形面积公式列方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(3,m)$、$B(-5,n)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
∴ $m=\frac{k}{3}$，$n=\frac{k}{-5}=-\frac{k}{5}$。
∵AC垂直于x轴，BC垂直于y轴，
∴点C的坐标为$(3,n)$，
∴直角边BC的长度为$3-(-5)=8$，直角边AC的长度为$m-n$。
已知$△ ABC$的面积为32，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × BC × AC = 32$
代入数值：$\frac{1}{2} × 8 × (m-n) = 32$
化简得：$m-n=8$
将$m=\frac{k}{3}$，$n=-\frac{k}{5}$代入上式：
$\frac{k}{3} - (-\frac{k}{5}) = 8$
通分计算：$\frac{5k+3k}{15}=8$
$\frac{8k}{15}=8$
解得$k=15$。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，解题的核心是利用反比例函数上点的坐标特征以及坐标系中线段长度的表示方法，结合面积公式建立方程求解，整体思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
15. 如图10，一次函数$y=ax+b$的图象与$x$轴、$y$轴交于$A,B$两点，与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$C,D$两点，分别过$C,D$两点作$y$轴、$x$轴的垂线，垂足分别为$E,F$，连接$CF,DE,EF$。有下列四个结论：
①$△ CEF$与$△ DEF$的面积相等；
②$△ AOB ∽ △ FOE$；
③$△ DCE ≌ △ CDF$；
④$AC=BD$。
其中正确的结论是。（把你认为正确的结论的序号填在横线上）
①$△ CEF$与$△ DEF$的面积相等；
②$△ AOB ∽ △ FOE$；
③$△ DCE ≌ △ CDF$；
④$AC=BD$。
其中正确的结论是。（把你认为正确的结论的序号填在横线上）
答案
解：设点$D$坐标为$(x_1,\frac{k}{x_1})$，点$C$坐标为$(x_2,\frac{k}{x_2})$，其中$x_1＞0,x_2＜0$，则$F(x_1,0)$，$E(0,\frac{k}{x_2})$。
1. 验证结论①：
$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· |CE|· |y_F - y_E|=\frac{1}{2}· (-x_2)· (0-\frac{k}{x_2})=\frac{k}{2}$，
$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· |DF|· |x_F - x_E|=\frac{1}{2}· \frac{k}{x_1}· x_1=\frac{k}{2}$，
因此$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
由$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，可知两三角形同底$EF$上的高相等，因此$CD// EF$，即$AB// EF$，
可得$∠ OAB=∠ OFE$，又$∠ AOB=∠ FOE=90°$，因此$△ AOB ∽ △ FOE$，结论②正确。
3. 验证结论③：
$CE=x_1-x_2$，$DF=\frac{k}{x_1}$，$CE=DF$不恒成立，因此$△ DCE$和$△ CDF$不一定全等，结论③错误。
4. 验证结论④：
由$AB// EF$，$CE// x$轴，可知四边形$ACEF$是平行四边形，因此$AC=EF$；
同理$DF// y$轴，$AB// EF$，可知四边形$BDFE$是平行四边形，因此$BD=EF$，
故$AC=BD$，结论④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①②④}$。
1. 验证结论①：
$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· |CE|· |y_F - y_E|=\frac{1}{2}· (-x_2)· (0-\frac{k}{x_2})=\frac{k}{2}$，
$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· |DF|· |x_F - x_E|=\frac{1}{2}· \frac{k}{x_1}· x_1=\frac{k}{2}$，
因此$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
由$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，可知两三角形同底$EF$上的高相等，因此$CD// EF$，即$AB// EF$，
可得$∠ OAB=∠ OFE$，又$∠ AOB=∠ FOE=90°$，因此$△ AOB ∽ △ FOE$，结论②正确。
3. 验证结论③：
$CE=x_1-x_2$，$DF=\frac{k}{x_1}$，$CE=DF$不恒成立，因此$△ DCE$和$△ CDF$不一定全等，结论③错误。
4. 验证结论④：
由$AB// EF$，$CE// x$轴，可知四边形$ACEF$是平行四边形，因此$AC=EF$；
同理$DF// y$轴，$AB// EF$，可知四边形$BDFE$是平行四边形，因此$BD=EF$，
故$AC=BD$，结论④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数结合的综合结论判断题，解题可按以下思路推导：首先设出反比例函数上两个交点C、D的坐标，结合反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}$的特征表示出垂足E、F的坐标，再逐个验证4个结论：①分别计算两个三角形的面积，利用反比例函数$xy=k$的性质判断面积是否相等；②由两三角形同底、面积相等可推出底边上的高相等，进而得到CD与EF平行，再结合公共的直角即可判断三角形是否相似；③验证两个三角形的对应边是否恒相等，判断全等是否成立；④结合已证的平行关系，通过证明平行四边形完成等量代换，判断AC和BD是否相等。
【解析】
设点$D$坐标为$(x_1,\frac{k}{x_1})$，点$C$坐标为$(x_2,\frac{k}{x_2})$，其中$x_1＞0,x_2＜0$，则$F(x_1,0)$，$E(0,\frac{k}{x_2})$。
1. 验证结论①：
$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· |CE|· |y_F - y_E|=\frac{1}{2}· (-x_2)· (0-\frac{k}{x_2})=\frac{k}{2}$，
$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· |DF|· |x_F - x_E|=\frac{1}{2}· \frac{k}{x_1}· x_1=\frac{k}{2}$，
因此$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
由$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，可知两三角形在公共底$EF$上的高相等，因此$CD// EF$，即$AB// EF$，
可得$∠ OAB=∠ OFE$，又$∠ AOB=∠ FOE=90°$，因此$△ AOB ∽ △ FOE$，结论②正确。
3. 验证结论③：
$CE$的长度为$x_1-x_2$，$DF$的长度为$\frac{k}{x_1}$，$CE=DF$不恒成立，因此$△ DCE$和$△ CDF$不一定全等，结论③错误。
4. 验证结论④：
由$AB// EF$，$CE// x$轴，可知四边形$ACEF$是平行四边形，因此$AC=EF$；
同理$DF// y$轴，$AB// EF$，可知四边形$BDFE$是平行四边形，因此$BD=EF$，
故$AC=BD$，结论④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
反比例函数的性质、相似三角形的判定、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于函数与几何的综合题型，将函数性质和几何图形的判定、性质结合考查，解题核心是利用参数表示点坐标，通过代数推导验证几何结论，避免仅凭图形直观判断，需熟练运用数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.5
本题是一次函数与反比例函数结合的综合结论判断题，解题可按以下思路推导：首先设出反比例函数上两个交点C、D的坐标，结合反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}$的特征表示出垂足E、F的坐标，再逐个验证4个结论：①分别计算两个三角形的面积，利用反比例函数$xy=k$的性质判断面积是否相等；②由两三角形同底、面积相等可推出底边上的高相等，进而得到CD与EF平行，再结合公共的直角即可判断三角形是否相似；③验证两个三角形的对应边是否恒相等，判断全等是否成立；④结合已证的平行关系，通过证明平行四边形完成等量代换，判断AC和BD是否相等。
【解析】
设点$D$坐标为$(x_1,\frac{k}{x_1})$，点$C$坐标为$(x_2,\frac{k}{x_2})$，其中$x_1＞0,x_2＜0$，则$F(x_1,0)$，$E(0,\frac{k}{x_2})$。
1. 验证结论①：
$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· |CE|· |y_F - y_E|=\frac{1}{2}· (-x_2)· (0-\frac{k}{x_2})=\frac{k}{2}$，
$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· |DF|· |x_F - x_E|=\frac{1}{2}· \frac{k}{x_1}· x_1=\frac{k}{2}$，
因此$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
由$S_{△ CEF}=S_{△ DEF}$，可知两三角形在公共底$EF$上的高相等，因此$CD// EF$，即$AB// EF$，
可得$∠ OAB=∠ OFE$，又$∠ AOB=∠ FOE=90°$，因此$△ AOB ∽ △ FOE$，结论②正确。
3. 验证结论③：
$CE$的长度为$x_1-x_2$，$DF$的长度为$\frac{k}{x_1}$，$CE=DF$不恒成立，因此$△ DCE$和$△ CDF$不一定全等，结论③错误。
4. 验证结论④：
由$AB// EF$，$CE// x$轴，可知四边形$ACEF$是平行四边形，因此$AC=EF$；
同理$DF// y$轴，$AB// EF$，可知四边形$BDFE$是平行四边形，因此$BD=EF$，
故$AC=BD$，结论④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
反比例函数的性质、相似三角形的判定、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于函数与几何的综合题型，将函数性质和几何图形的判定、性质结合考查，解题核心是利用参数表示点坐标，通过代数推导验证几何结论，避免仅凭图形直观判断，需熟练运用数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.5
三、解答题(共75分)
16. (8分)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2,3)。
(1)求这个函数的表达式；
(2)当$-3＜x＜-1$时，求y的取值范围。
16. (8分)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2,3)。
(1)求这个函数的表达式；
(2)当$-3＜x＜-1$时，求y的取值范围。
答案
解：
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=6$
因此这个函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 由$k=6＞0$可知，在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=6$
因此这个函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 由$k=6＞0$可知，在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
解析
【分析】
(1) 反比例函数表达式中仅常数k未知，已知函数图象经过点A(2,3)，说明点A的坐标满足函数解析式，将点A的横、纵坐标代入解析式即可列方程求出k的值，进而得到函数的表达式。
(2) 求x取值在-3＜x＜-1时y的范围，首先根据k的正负判断反比例函数在x＜0区间的增减性：当k＞0时，x＜0的分支上y随x的增大而减小，先计算x=-3和x=-1对应的y值，再结合增减性即可得到y的取值范围，注意x不能取到端点值，因此y也不能取到对应的端点值。
【解析】
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=6$
因此这个函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 由$k=6＞0$可知，在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) $-6＜y＜-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，函数取值范围计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常规考题，主要考查待定系数法求函数解析式以及利用函数增减性求解函数值范围的能力，熟练掌握反比例函数的基本性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
(1) 反比例函数表达式中仅常数k未知，已知函数图象经过点A(2,3)，说明点A的坐标满足函数解析式，将点A的横、纵坐标代入解析式即可列方程求出k的值，进而得到函数的表达式。
(2) 求x取值在-3＜x＜-1时y的范围，首先根据k的正负判断反比例函数在x＜0区间的增减性：当k＞0时，x＜0的分支上y随x的增大而减小，先计算x=-3和x=-1对应的y值，再结合增减性即可得到y的取值范围，注意x不能取到端点值，因此y也不能取到对应的端点值。
【解析】
(1) 将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=6$
因此这个函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 由$k=6＞0$可知，在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
所以当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) $-6＜y＜-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，函数取值范围计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常规考题，主要考查待定系数法求函数解析式以及利用函数增减性求解函数值范围的能力，熟练掌握反比例函数的基本性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
