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7. 如图3，直线$y=mx$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}$交于$A,B$两点，过点$A$作$AM⊥ x$轴，垂足为$M$，连接$BM$。若$S_{△ ABM}=2$，则$k$的值是（）
A.2
B.$m-2$
C.$m$
D.4
A.2
B.$m-2$
C.$m$
D.4
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数与反比例函数的图像性质：二者的交点均关于原点中心对称，因此A、B两点的横、纵坐标均互为相反数。要求k的值，可结合反比例函数中k的几何意义，将△ABM的面积拆分为两个同底等高的三角形面积之和，建立面积与k的关系即可求解。
【解析】
解：
∵ 直线$y=mx$和双曲线$y=\dfrac{k}{x}$都关于原点中心对称，
∴ 交点A、B关于原点对称。
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），则点B的坐标为$(-a,-b)$，
∵ $AM⊥x$轴，垂足为M，
∴ 点M的坐标为$(a,0)$。
$S_{△ AOM}=\dfrac{1}{2} × OM × AM = \dfrac{1}{2}ab$，
$S_{△ BOM}=\dfrac{1}{2} × OM × |y_B| = \dfrac{1}{2}ab$，
∴ $S_{△ ABM}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}ab=ab$。
又
∵ 点A在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，
∴ $b=\dfrac{k}{a}$，即$ab=k$，
结合$S_{△ ABM}=2$，得$k=2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常见题型，解题关键是利用函数的对称性得到A、B两点的坐标关系，再结合反比例函数k的几何意义转化三角形面积，整体计算难度不高，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正比例函数与反比例函数的图像性质：二者的交点均关于原点中心对称，因此A、B两点的横、纵坐标均互为相反数。要求k的值，可结合反比例函数中k的几何意义，将△ABM的面积拆分为两个同底等高的三角形面积之和，建立面积与k的关系即可求解。
【解析】
解：
∵ 直线$y=mx$和双曲线$y=\dfrac{k}{x}$都关于原点中心对称，
∴ 交点A、B关于原点对称。
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），则点B的坐标为$(-a,-b)$，
∵ $AM⊥x$轴，垂足为M，
∴ 点M的坐标为$(a,0)$。
$S_{△ AOM}=\dfrac{1}{2} × OM × AM = \dfrac{1}{2}ab$，
$S_{△ BOM}=\dfrac{1}{2} × OM × |y_B| = \dfrac{1}{2}ab$，
∴ $S_{△ ABM}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}ab=ab$。
又
∵ 点A在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，
∴ $b=\dfrac{k}{a}$，即$ab=k$，
结合$S_{△ ABM}=2$，得$k=2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常见题型，解题关键是利用函数的对称性得到A、B两点的坐标关系，再结合反比例函数k的几何意义转化三角形面积，整体计算难度不高，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
8. 如图4,在平面直角坐标系中,$∠AOB=90°,∠OAB=30°$,反比例函数$y_1=\frac{m}{x}$的图象经过点A,反比例函数$y_2=\frac{n}{x}$的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是 ()
A.$m=-3n$
B.$m=-\sqrt{3}n$
C.$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
D.$m=\frac{\sqrt{3}}{3}n$
A.$m=-3n$
B.$m=-\sqrt{3}n$
C.$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
D.$m=\frac{\sqrt{3}}{3}n$
答案
A
解析
【分析】
本题是反比例函数与直角三角形结合的综合题，解题思路如下：
1. 先构造辅助线：过点B作BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥x轴于F，得到两个直角三角形；
2. 利用∠AOB=90°推导角的互余关系，证明△BOE∽△OAF；
3. 结合∠OAB=30°，得到Rt△AOB中OB与OA的比值，即两个相似三角形的相似比；
4. 用点B的坐标表示点A的坐标，再代入两个反比例函数解析式，即可得到m和n的关系。
【解析】
解：过点B作BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥x轴于F，
∴∠BEO=∠OFA=90°，
∴∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOF=90°，
∴∠OBE=∠AOF，
∴△BOE∽△OAF。
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴$\frac{OB}{OA}=\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即相似比为$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{BE}{OF}=\frac{OE}{AF}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$OF=\sqrt{3}BE$，$AF=\sqrt{3}OE$。
设点B的坐标为$(x,y)$，
∵点B在第二象限，
∴$x＜0,y＞0$，则$OE=-x$，$BE=y$，
∴$OF=\sqrt{3}y$，$AF=\sqrt{3}·(-x)$，即点A的坐标为$(\sqrt{3}y,-\sqrt{3}x)$。
∵点B在$y_2=\frac{n}{x}$的图象上，
∴$n=x· y$。
∵点A在$y_1=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$m=\sqrt{3}y · (-\sqrt{3}x)=-3xy$。
把$n=xy$代入上式，得$m=-3n$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过构造直角三角形证明相似，结合特殊角的三角函数值得到两点坐标的关系，再结合反比例函数解析式的特征推导参数关系，需要熟练运用数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数与直角三角形结合的综合题，解题思路如下：
1. 先构造辅助线：过点B作BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥x轴于F，得到两个直角三角形；
2. 利用∠AOB=90°推导角的互余关系，证明△BOE∽△OAF；
3. 结合∠OAB=30°，得到Rt△AOB中OB与OA的比值，即两个相似三角形的相似比；
4. 用点B的坐标表示点A的坐标，再代入两个反比例函数解析式，即可得到m和n的关系。
【解析】
解：过点B作BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥x轴于F，
∴∠BEO=∠OFA=90°，
∴∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOF=90°，
∴∠OBE=∠AOF，
∴△BOE∽△OAF。
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴$\frac{OB}{OA}=\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即相似比为$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{BE}{OF}=\frac{OE}{AF}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$OF=\sqrt{3}BE$，$AF=\sqrt{3}OE$。
设点B的坐标为$(x,y)$，
∵点B在第二象限，
∴$x＜0,y＞0$，则$OE=-x$，$BE=y$，
∴$OF=\sqrt{3}y$，$AF=\sqrt{3}·(-x)$，即点A的坐标为$(\sqrt{3}y,-\sqrt{3}x)$。
∵点B在$y_2=\frac{n}{x}$的图象上，
∴$n=x· y$。
∵点A在$y_1=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$m=\sqrt{3}y · (-\sqrt{3}x)=-3xy$。
把$n=xy$代入上式，得$m=-3n$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过构造直角三角形证明相似，结合特殊角的三角函数值得到两点坐标的关系，再结合反比例函数解析式的特征推导参数关系，需要熟练运用数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
9. 如图5,已知双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0)$经过直角三角形OAB的斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C。若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为 ()
A.12
B.9
C.6
D.4
A.12
B.9
C.6
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题可按3步思路推进：①利用中点坐标公式求出OA中点D的坐标，代入反比例函数解析式求出k值，确定函数表达式；②根据直角三角形OAB的直角边特征，确定AB所在直线的横坐标，代入反比例函数求出点C的坐标；③用面积差法，将△AOC的面积转化为△AOB的面积减去△COB的面积，结合反比例函数k的几何意义快速计算。
【解析】
1. 求D点坐标
已知O为坐标原点$(0,0)$，点A坐标为$(-6,4)$，D是OA的中点，根据中点坐标公式可得：
D点横坐标为$\frac{-6+0}{2}=-3$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即$D(-3,2)$。
2. 求反比例函数解析式
将$D(-3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$得：$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，
∴反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
3. 求点C坐标
∵△OAB是直角三角形，AB为直角边，
∴AB⊥x轴，B点坐标为$(-6,0)$，AB上所有点横坐标均为$-6$，
将$x=-6$代入$y=-\frac{6}{x}$得：$y=-\frac{6}{-6}=1$，即$C(-6,1)$。
4. 计算△AOC的面积
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×|OB|×|AB|=\frac{1}{2}×6×4=12$，
根据反比例函数k的几何意义，过双曲线上一点作x轴的垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，因此$S_{△ COB}=\frac{1}{2}×|-6|=3$，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ AOB}-S_{△ COB}=12-3=9$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的结合类题型，解题核心是先确定反比例函数的解析式，再通过面积转化简化计算，熟练掌握反比例函数k的几何意义能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题可按3步思路推进：①利用中点坐标公式求出OA中点D的坐标，代入反比例函数解析式求出k值，确定函数表达式；②根据直角三角形OAB的直角边特征，确定AB所在直线的横坐标，代入反比例函数求出点C的坐标；③用面积差法，将△AOC的面积转化为△AOB的面积减去△COB的面积，结合反比例函数k的几何意义快速计算。
【解析】
1. 求D点坐标
已知O为坐标原点$(0,0)$，点A坐标为$(-6,4)$，D是OA的中点，根据中点坐标公式可得：
D点横坐标为$\frac{-6+0}{2}=-3$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即$D(-3,2)$。
2. 求反比例函数解析式
将$D(-3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$得：$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，
∴反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
3. 求点C坐标
∵△OAB是直角三角形，AB为直角边，
∴AB⊥x轴，B点坐标为$(-6,0)$，AB上所有点横坐标均为$-6$，
将$x=-6$代入$y=-\frac{6}{x}$得：$y=-\frac{6}{-6}=1$，即$C(-6,1)$。
4. 计算△AOC的面积
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×|OB|×|AB|=\frac{1}{2}×6×4=12$，
根据反比例函数k的几何意义，过双曲线上一点作x轴的垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，因此$S_{△ COB}=\frac{1}{2}×|-6|=3$，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ AOB}-S_{△ COB}=12-3=9$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的结合类题型，解题核心是先确定反比例函数的解析式，再通过面积转化简化计算，熟练掌握反比例函数k的几何意义能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. (2025·绥化)如图6,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过A,C两点,过点A作$AB⊥y$轴于点B,过点C作$CD⊥x$轴于点D,连接OA,OC,AC。若$S_{△ ACO}=4,CD:OB=1:3$,则k的值是 ()
A.-12
B.-9
C.-6
D.-3
A.-12
B.-9
C.-6
D.-3
答案
D
解析
【分析】
解题时首先结合反比例函数的性质，由选项可判断k为负数，函数图象位于第二象限。已知CD与OB的比例关系，可通过设参数表示点C、点A的坐标，再利用两点都在反比例函数图象上，坐标满足函数表达式，将两点坐标用同一组参数表示，最后根据△ACO的面积列方程求解即可得到k的值。
【解析】
由选项可知k＜0，因此反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二象限，设$a＞0,b＞0$，点C坐标为$(-a,b)$。
∵$CD⊥x$轴，
∴$CD=b$，
∵$CD:OB=1:3$，
∴$OB=3b$，
∵$AB⊥y$轴，
∴点A的纵坐标为$3b$，
∵点A、C都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴将C$(-a,b)$代入得$k=-ab$，即$ab=-k$；
将点A纵坐标$y=3b$代入$y=\frac{k}{x}$得点A横坐标$x=\frac{k}{3b}=\frac{-ab}{3b}=-\frac{a}{3}$，即A$(-\frac{a}{3},3b)$。
已知原点O$(0,0)$，由三点坐标求三角形面积公式，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}\left|x_A y_C - x_C y_A\right|$，代入已知$S_{△ ACO}=4$得：
$\frac{1}{2}\left| (-\frac{a}{3})× b - (-a)× 3b \right|=4$
化简得：$\frac{1}{2}\left| -\frac{ab}{3}+3ab \right|=\frac{1}{2}×\frac{8ab}{3}=\frac{4ab}{3}=4$
解得$ab=3$，因此$k=-ab=-3$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算；反比例函数的性质
【点评】
本题属于反比例函数的综合题，解题核心是通过设参表示点坐标，结合面积建立等量关系，考查了学生对反比例函数性质的掌握和用代数方法解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合反比例函数的性质，由选项可判断k为负数，函数图象位于第二象限。已知CD与OB的比例关系，可通过设参数表示点C、点A的坐标，再利用两点都在反比例函数图象上，坐标满足函数表达式，将两点坐标用同一组参数表示，最后根据△ACO的面积列方程求解即可得到k的值。
【解析】
由选项可知k＜0，因此反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二象限，设$a＞0,b＞0$，点C坐标为$(-a,b)$。
∵$CD⊥x$轴，
∴$CD=b$，
∵$CD:OB=1:3$，
∴$OB=3b$，
∵$AB⊥y$轴，
∴点A的纵坐标为$3b$，
∵点A、C都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴将C$(-a,b)$代入得$k=-ab$，即$ab=-k$；
将点A纵坐标$y=3b$代入$y=\frac{k}{x}$得点A横坐标$x=\frac{k}{3b}=\frac{-ab}{3b}=-\frac{a}{3}$，即A$(-\frac{a}{3},3b)$。
已知原点O$(0,0)$，由三点坐标求三角形面积公式，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}\left|x_A y_C - x_C y_A\right|$，代入已知$S_{△ ACO}=4$得：
$\frac{1}{2}\left| (-\frac{a}{3})× b - (-a)× 3b \right|=4$
化简得：$\frac{1}{2}\left| -\frac{ab}{3}+3ab \right|=\frac{1}{2}×\frac{8ab}{3}=\frac{4ab}{3}=4$
解得$ab=3$，因此$k=-ab=-3$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算；反比例函数的性质
【点评】
本题属于反比例函数的综合题，解题核心是通过设参表示点坐标，结合面积建立等量关系，考查了学生对反比例函数性质的掌握和用代数方法解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2025·上海改编)已知一个反比例函数,在每个象限内,函数值y随x的增大而减小,那么这个反比例函数的表达式可以是。(只需写出一个)
11.(2025·上海改编)已知一个反比例函数,在每个象限内,函数值y随x的增大而减小,那么这个反比例函数的表达式可以是。(只需写出一个)
答案
解：设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由题意可知，函数在每个象限内y随x的增大而减小，因此比例系数$k＞0$，
取$k=1$，可得符合条件的一个反比例函数表达式为$y=\frac{1}{x}$。
（答案不唯一，只要满足比例系数为正即可）
由题意可知，函数在每个象限内y随x的增大而减小，因此比例系数$k＞0$，
取$k=1$，可得符合条件的一个反比例函数表达式为$y=\frac{1}{x}$。
（答案不唯一，只要满足比例系数为正即可）
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其增减性由比例系数$k$的符号决定：当$k＞0$时，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。结合题目给出的增减性特征，可确定$k$的取值范围为$k＞0$，只需任取一个正数作为$k$的值代入一般式，即可得到符合要求的表达式。
【解析】
设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由题意可知，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此比例系数$k＞0$，
取$k=1$，可得符合条件的一个反比例函数表达式为$y=\frac{1}{x}$。
（答案不唯一，只要比例系数为正即可）
【答案】
$y=\frac{1}{x}$（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查反比例函数增减性与比例系数的对应关系，掌握$k$的符号和反比例函数图象性质的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其增减性由比例系数$k$的符号决定：当$k＞0$时，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。结合题目给出的增减性特征，可确定$k$的取值范围为$k＞0$，只需任取一个正数作为$k$的值代入一般式，即可得到符合要求的表达式。
【解析】
设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由题意可知，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此比例系数$k＞0$，
取$k=1$，可得符合条件的一个反比例函数表达式为$y=\frac{1}{x}$。
（答案不唯一，只要比例系数为正即可）
【答案】
$y=\frac{1}{x}$（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查反比例函数增减性与比例系数的对应关系，掌握$k$的符号和反比例函数图象性质的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
