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6. 若规定两数 $a,b$ 通过“$*$”运算,得到 $4ab$,即 $a*b=4ab$,例如 $2*6=4×2×6=48$。
(1)求 $3*5$ 的值；
(2)求 $x*x+2*x-2*4=0$ 中 $x$ 的值；
(3)若无论 $x$ 为何值,总有 $a*x=x$,求 $a$ 的值。
(1)求 $3*5$ 的值；
(2)求 $x*x+2*x-2*4=0$ 中 $x$ 的值；
(3)若无论 $x$ 为何值,总有 $a*x=x$,求 $a$ 的值。
答案
解：
(1) 根据规定$a*b=4ab$，得
$3*5 = 4×3×5 = 60$。
(2) 按运算规则对原方程变形：
$4x· x + 4×2· x - 4×2×4 = 0$
整理得：$4x^2 + 8x - 32 = 0$
两边同除以4化简：$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解得：$(x + 4)(x - 2) = 0$
则$x + 4 = 0$或$x - 2 = 0$
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 2$。
(3) 根据运算规则，$a*x = 4a· x$
由题意得$4ax = x$
移项整理得：$(4a - 1)x = 0$
因为无论$x$为何值，等式恒成立，所以系数$4a - 1 = 0$
解得$a = \frac{1}{4}$。
(1) 根据规定$a*b=4ab$，得
$3*5 = 4×3×5 = 60$。
(2) 按运算规则对原方程变形：
$4x· x + 4×2· x - 4×2×4 = 0$
整理得：$4x^2 + 8x - 32 = 0$
两边同除以4化简：$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解得：$(x + 4)(x - 2) = 0$
则$x + 4 = 0$或$x - 2 = 0$
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 2$。
(3) 根据运算规则，$a*x = 4a· x$
由题意得$4ax = x$
移项整理得：$(4a - 1)x = 0$
因为无论$x$为何值，等式恒成立，所以系数$4a - 1 = 0$
解得$a = \frac{1}{4}$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解“*”运算的规则：$a*b=4ab$，即两个数做*运算等于4乘第一个数乘第二个数。(1)问直接将$a=3$、$b=5$代入规则计算即可；(2)问先按照运算规则把方程中所有含*的项转化为普通代数表达式，整理得到一元二次方程，再用因式分解法求解；(3)问同样先将$a*x$转化为$4ax$，结合题意得到关于$x$的恒等式，要使等式对任意$x$都成立，只需令$x$的系数为0，即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$a*b=4ab$，代入$a=3$，$b=5$得：
$3*5 = 4×3×5 = 60$
(2) 按照运算规则对原方程变形：
$x*x = 4x·x = 4x^2$，$2*x = 4×2·x = 8x$，$2*4 = 4×2×4 = 32$
代入原方程得：$4x^2 + 8x - 32 = 0$
两边同时除以4化简得：$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解得：$(x + 4)(x - 2) = 0$
所以$x + 4 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 2$
(3) 根据运算规则得：$a*x = 4a·x = 4ax$
由题意$a*x = x$对任意$x$都成立，因此：
$4ax = x$
移项整理得：$(4a - 1)x = 0$
因为等式对任意$x$恒成立，所以$x$的系数必须为0，即：
$4a - 1 = 0$
解得$a = \frac{1}{4}$
【答案】
(1) $\boxed{60}$；(2) $\boxed{x_1=-4,x_2=2}$；(3) $\boxed{a=\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
新定义运算，因式分解法解方程，恒等式性质
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与转化能力，同时结合了一元二次方程的求解和恒成立问题的处理方法，解题关键是严格按照新运算规则将陌生运算转化为熟悉的四则运算，再按常规方法计算求解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解“*”运算的规则：$a*b=4ab$，即两个数做*运算等于4乘第一个数乘第二个数。(1)问直接将$a=3$、$b=5$代入规则计算即可；(2)问先按照运算规则把方程中所有含*的项转化为普通代数表达式，整理得到一元二次方程，再用因式分解法求解；(3)问同样先将$a*x$转化为$4ax$，结合题意得到关于$x$的恒等式，要使等式对任意$x$都成立，只需令$x$的系数为0，即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$a*b=4ab$，代入$a=3$，$b=5$得：
$3*5 = 4×3×5 = 60$
(2) 按照运算规则对原方程变形：
$x*x = 4x·x = 4x^2$，$2*x = 4×2·x = 8x$，$2*4 = 4×2×4 = 32$
代入原方程得：$4x^2 + 8x - 32 = 0$
两边同时除以4化简得：$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解得：$(x + 4)(x - 2) = 0$
所以$x + 4 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 2$
(3) 根据运算规则得：$a*x = 4a·x = 4ax$
由题意$a*x = x$对任意$x$都成立，因此：
$4ax = x$
移项整理得：$(4a - 1)x = 0$
因为等式对任意$x$恒成立，所以$x$的系数必须为0，即：
$4a - 1 = 0$
解得$a = \frac{1}{4}$
【答案】
(1) $\boxed{60}$；(2) $\boxed{x_1=-4,x_2=2}$；(3) $\boxed{a=\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
新定义运算，因式分解法解方程，恒等式性质
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与转化能力，同时结合了一元二次方程的求解和恒成立问题的处理方法，解题关键是严格按照新运算规则将陌生运算转化为熟悉的四则运算，再按常规方法计算求解。
【难度系数】
0.7
1. (2025·湖北)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$，下列结论正确的是（）
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
拿到本题可通过两种思路解题：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程，效率更高。首先确定方程标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的$a、b、c$的取值，注意系数的符号，再分别代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算，最后将计算结果与选项比对即可。思路二：若对韦达定理不熟悉，可先通过因式分解等方法解出方程的两个实数根，再计算两根的和与积，比对选项得到答案。
【解析】
方法1（根与系数关系法）：
题中一元二次方程$x^2-4x+3=0$符合标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
比对选项：A、B中两根之和数值错误，C中两根之积数值错误，仅D选项正确。
方法2（解方程验证法）：
对$x^2-4x+3=0$因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
计算得$x_1+x_2=1+3=4$，$x_1x_2=1×3=3$，同样可得D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时要注意准确提取方程各项的系数，避免符号出错，也可通过直接解方程的方式验证结果，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
拿到本题可通过两种思路解题：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程，效率更高。首先确定方程标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的$a、b、c$的取值，注意系数的符号，再分别代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算，最后将计算结果与选项比对即可。思路二：若对韦达定理不熟悉，可先通过因式分解等方法解出方程的两个实数根，再计算两根的和与积，比对选项得到答案。
【解析】
方法1（根与系数关系法）：
题中一元二次方程$x^2-4x+3=0$符合标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
比对选项：A、B中两根之和数值错误，C中两根之积数值错误，仅D选项正确。
方法2（解方程验证法）：
对$x^2-4x+3=0$因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
计算得$x_1+x_2=1+3=4$，$x_1x_2=1×3=3$，同样可得D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时要注意准确提取方程各项的系数，避免符号出错，也可通过直接解方程的方式验证结果，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
2. (2025·绥化)已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根,则$(m+1)(n+1)=$。
答案
$\boldsymbol{2027}$
解析
【分析】
要求代数式$(m+1)(n+1)$的值，首先可利用整式乘法将该式展开变形，得到含有$m+n$和$mn$的式子；再根据$m$、$n$是已知一元二次方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值；最后将求出的值代入展开后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
第一步，展开所求代数式：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$
第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$（二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2025$，常数项$c=1$），两根$m,n$满足：
$m + n = -\frac{b}{a} = 2025$，$mn = \frac{c}{a} = 1$
第三步，将$m+n=2025$、$mn=1$代入展开后的式子计算：
原式$=1 + 2025 + 1 = 2027$
【答案】
$\boldsymbol{2027}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是先对所求代数式进行合理变形，再代入两根和、两根积计算，熟练掌握根与系数的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求代数式$(m+1)(n+1)$的值，首先可利用整式乘法将该式展开变形，得到含有$m+n$和$mn$的式子；再根据$m$、$n$是已知一元二次方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值；最后将求出的值代入展开后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
第一步，展开所求代数式：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$
第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$（二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2025$，常数项$c=1$），两根$m,n$满足：
$m + n = -\frac{b}{a} = 2025$，$mn = \frac{c}{a} = 1$
第三步，将$m+n=2025$、$mn=1$代入展开后的式子计算：
原式$=1 + 2025 + 1 = 2027$
【答案】
$\boldsymbol{2027}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是先对所求代数式进行合理变形，再代入两根和、两根积计算，熟练掌握根与系数的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. (2025·广安)已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为。
答案
解：
∵ a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴ $a^2 -5a -24=0$，即$a^2 = 5a +24$。
将$a^2 = 5a +24$代入代数式$a^2 -4a +b$，得：
$a^2 -4a +b = 5a +24 -4a +b = a + b +24$。
∵ 方程$x^2 -5x -24=0$的两根为a和b，由一元二次方程根与系数的关系，得：
$a + b = 5$。
∴ 原式$= 5 + 24 = 29$。
∵ a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴ $a^2 -5a -24=0$，即$a^2 = 5a +24$。
将$a^2 = 5a +24$代入代数式$a^2 -4a +b$，得：
$a^2 -4a +b = 5a +24 -4a +b = a + b +24$。
∵ 方程$x^2 -5x -24=0$的两根为a和b，由一元二次方程根与系数的关系，得：
$a + b = 5$。
∴ 原式$= 5 + 24 = 29$。
解析
【分析】
要计算含方程两根的代数式的值，首先观察代数式$a^2 -4a +b$的结构：a是方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将a代入方程得到$a^2$的表达式，对代数式的高次项降次化简；化简后会出现两根之和$a+b$，再结合一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$的值，整体代入即可得到结果，无需单独计算a、b的具体数值，运算更简便。
【解析】
∵ a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2 = 5a +24$。
把$a^2 = 5a +24$代入代数式$a^2 -4a +b$，可得：
$a^2 -4a +b = 5a +24 -4a +b = a + b +24$。
∵ a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，
∴ $a + b = 5$。
将$a + b = 5$代入化简后的式子得：原式$= 5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型常考题，解题核心是用根的定义降次、结合韦达定理整体代入，避免了求解方程根的繁琐步骤，侧重考察学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算含方程两根的代数式的值，首先观察代数式$a^2 -4a +b$的结构：a是方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将a代入方程得到$a^2$的表达式，对代数式的高次项降次化简；化简后会出现两根之和$a+b$，再结合一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$的值，整体代入即可得到结果，无需单独计算a、b的具体数值，运算更简便。
【解析】
∵ a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2 = 5a +24$。
把$a^2 = 5a +24$代入代数式$a^2 -4a +b$，可得：
$a^2 -4a +b = 5a +24 -4a +b = a + b +24$。
∵ a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，
∴ $a + b = 5$。
将$a + b = 5$代入化简后的式子得：原式$= 5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型常考题，解题核心是用根的定义降次、结合韦达定理整体代入，避免了求解方程根的繁琐步骤，侧重考察学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 某商品连续两次降价10%后为$a$元,则该商品原价为 ()
A.$\dfrac{a}{1.12}$元
B.$1.1a^2$元
C.$\dfrac{a}{0.81}$元
D.$0.81a$元
A.$\dfrac{a}{1.12}$元
B.$1.1a^2$元
C.$\dfrac{a}{0.81}$元
D.$0.81a$元
答案
C
解析
【分析】
这是典型的连续降价百分率问题，解题时首先明确：每次降价10%，是指降价后的价格是降价前价格的$(1-10\%)=0.9$倍，且第二次降价的基数是第一次降价后的价格。我们可以先设商品原价为未知数，根据两次降价后价格为$a$元的等量关系列方程，再求解得到原价。
【解析】
设该商品的原价为$ x $元。
1. 第一次降价10%后，价格为：$ x×(1-10\%) = 0.9x $
2. 第二次在第一次降价后的价格基础上再降10%，此时价格为：$ 0.9x×(1-10\%) = 0.9×0.9x = 0.81x $
3. 根据题意，两次降价后价格为$ a $元，可得方程：$ 0.81x = a $
4. 解方程得：$ x = \frac{a}{0.81} $
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
降低率问题，列方程解应用题，代数式运算
【点评】
本题是百分率应用的基础常考题，易错点是误以为两次降价的总幅度是20%，忽略了每次降价的基数是前一次调整后的价格，解题时要明确增长/降低类问题的计算基数，避免错算。
【难度系数】
0.7
这是典型的连续降价百分率问题，解题时首先明确：每次降价10%，是指降价后的价格是降价前价格的$(1-10\%)=0.9$倍，且第二次降价的基数是第一次降价后的价格。我们可以先设商品原价为未知数，根据两次降价后价格为$a$元的等量关系列方程，再求解得到原价。
【解析】
设该商品的原价为$ x $元。
1. 第一次降价10%后，价格为：$ x×(1-10\%) = 0.9x $
2. 第二次在第一次降价后的价格基础上再降10%，此时价格为：$ 0.9x×(1-10\%) = 0.9×0.9x = 0.81x $
3. 根据题意，两次降价后价格为$ a $元，可得方程：$ 0.81x = a $
4. 解方程得：$ x = \frac{a}{0.81} $
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
降低率问题，列方程解应用题，代数式运算
【点评】
本题是百分率应用的基础常考题，易错点是误以为两次降价的总幅度是20%，忽略了每次降价的基数是前一次调整后的价格，解题时要明确增长/降低类问题的计算基数，避免错算。
【难度系数】
0.7
2. (2025·新疆) 如图
,小明在数学综合与实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地。设矩形的宽为x m,根据题意可列方程为 ()
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
,小明在数学综合与实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地。设矩形的宽为x m,根据题意可列方程为 ()A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确围栏的构成：由于有一面墙无需使用围栏，因此24m长的围栏仅围成矩形的2条宽和1条长。已知矩形的宽为x m，先通过围栏总长度表示出矩形的长，再结合“矩形面积=长×宽”的公式，代入已知的面积数值即可列出对应方程。
【解析】
设矩形的宽为x m：
1. 两条垂直于墙的宽的总长度为$2x\ \mathrm{m}$；
2. 平行于墙的长的长度 = 围栏总长度 - 两条宽的长度，即$(24-2x)\ \mathrm{m}$；
3. 根据矩形面积为$40\ \mathrm{m}^2$，代入面积公式得：$x(24-2x)=40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用类基础题，解题核心是准确理解“靠墙一侧无需围栏”的条件，正确用含x的代数式表示出矩形的长，再结合面积公式列方程，要注意避免错误认为围栏围了矩形的全部四条边。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确围栏的构成：由于有一面墙无需使用围栏，因此24m长的围栏仅围成矩形的2条宽和1条长。已知矩形的宽为x m，先通过围栏总长度表示出矩形的长，再结合“矩形面积=长×宽”的公式，代入已知的面积数值即可列出对应方程。
【解析】
设矩形的宽为x m：
1. 两条垂直于墙的宽的总长度为$2x\ \mathrm{m}$；
2. 平行于墙的长的长度 = 围栏总长度 - 两条宽的长度，即$(24-2x)\ \mathrm{m}$；
3. 根据矩形面积为$40\ \mathrm{m}^2$，代入面积公式得：$x(24-2x)=40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用类基础题，解题核心是准确理解“靠墙一侧无需围栏”的条件，正确用含x的代数式表示出矩形的长，再结合面积公式列方程，要注意避免错误认为围栏围了矩形的全部四条边。
【难度系数】
0.8
3. 一个直角三角形的两条直角边长分别为$x+1$,$x+3$,斜边长为$2x$,那么$x=$。
答案
解：
由勾股定理可得：
$(x+1)^2 + (x+3)^2 = (2x)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 2x + 1 + x^2 + 6x + 9 = 4x^2$
$2x^2 - 8x - 10 = 0$
化简得：
$x^2 - 4x -5 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+1)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
因为三角形边长为正，因此$x+1＞0$，$x+3＞0$，$2x＞0$，即$x＞0$，故$x=-1$不符合题意，舍去。
所以$x=5$。
由勾股定理可得：
$(x+1)^2 + (x+3)^2 = (2x)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 2x + 1 + x^2 + 6x + 9 = 4x^2$
$2x^2 - 8x - 10 = 0$
化简得：
$x^2 - 4x -5 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+1)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
因为三角形边长为正，因此$x+1＞0$，$x+3＞0$，$2x＞0$，即$x＞0$，故$x=-1$不符合题意，舍去。
所以$x=5$。
解析
【分析】
本题是直角三角形边长与一元二次方程结合的题型，解题思路分为三步：第一步，直角三角形三边满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，据此可列出关于x的方程；第二步，用一元二次方程的解法求解得到方程的两个根；第三步，结合三角形边长为正数的实际要求，对解得的根进行检验，舍去不符合条件的根，即可得到x的正确值。
【解析】
由勾股定理可得：
$(x+1)^2 + (x+3)^2 = (2x)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 2x + 1 + x^2 + 6x + 9 = 4x^2$
移项合并同类项得：$2x^2 - 8x - 10 = 0$
两边同时除以2化简得：
$x^2 - 4x -5 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+1)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
因为三角形边长为正数，因此$x+1＞0$，$x+3＞0$，$2x＞0$，即$x＞0$，故$x=-1$不符合题意，舍去。
所以$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；解一元二次方程；实际问题根的检验
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了勾股定理的应用，也考查了一元二次方程的解法，解题时要特别注意结合实际意义对解得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形边长与一元二次方程结合的题型，解题思路分为三步：第一步，直角三角形三边满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，据此可列出关于x的方程；第二步，用一元二次方程的解法求解得到方程的两个根；第三步，结合三角形边长为正数的实际要求，对解得的根进行检验，舍去不符合条件的根，即可得到x的正确值。
【解析】
由勾股定理可得：
$(x+1)^2 + (x+3)^2 = (2x)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 2x + 1 + x^2 + 6x + 9 = 4x^2$
移项合并同类项得：$2x^2 - 8x - 10 = 0$
两边同时除以2化简得：
$x^2 - 4x -5 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+1)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
因为三角形边长为正数，因此$x+1＞0$，$x+3＞0$，$2x＞0$，即$x＞0$，故$x=-1$不符合题意，舍去。
所以$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；解一元二次方程；实际问题根的检验
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了勾股定理的应用，也考查了一元二次方程的解法，解题时要特别注意结合实际意义对解得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
