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6. 设一元二次方程$x^2+bx+c=0$。在下面的四组条件中选择其中一组$b,c$的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。
①$b=2,c=1$；
②$b=3,c=1$；
③$b=3,c=-1$；
④$b=2,c=2$。
①$b=2,c=1$；
②$b=3,c=1$；
③$b=3,c=-1$；
④$b=2,c=2$。
答案
解：
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，其中二次项系数$a=1$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c$。
分别计算四组条件的判别式：
① $\Delta=2^2-4×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
② $\Delta=3^2-4×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
③ $\Delta=3^2-4×(-1)=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
④ $\Delta=2^2-4×2=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
选择条件②$b=3,c=1$，此时原方程为$x^2+3x+1=0$。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，其中二次项系数$a=1$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c$。
分别计算四组条件的判别式：
① $\Delta=2^2-4×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
② $\Delta=3^2-4×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
③ $\Delta=3^2-4×(-1)=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
④ $\Delta=2^2-4×2=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
选择条件②$b=3,c=1$，此时原方程为$x^2+3x+1=0$。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式Δ＞0。本题中方程的二次项系数a=1，因此判别式Δ=b²-4c，解题时首先计算四组b、c对应的Δ值，筛选出Δ＞0的符合条件的组，再从中任选一组，代入一元二次方程求根公式求解即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，二次项系数$a=1$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c$。
分别计算四组条件的判别式：
① $\Delta=2^2-4×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
② $\Delta=3^2-4×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
③ $\Delta=3^2-4×(-1)=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
④ $\Delta=2^2-4×2=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
选择条件②$b=3,c=1$，此时原方程为$x^2+3x+1=0$。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
（也可选择条件③，解得$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$）
【答案】
选择②时，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$（或选择③对应解，写出一种即可）
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题既考查了一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，也考查了公式法解方程的运算能力，是对一元二次方程基础性质的常规考查，难度较低。
【难度系数】
0.8
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式Δ＞0。本题中方程的二次项系数a=1，因此判别式Δ=b²-4c，解题时首先计算四组b、c对应的Δ值，筛选出Δ＞0的符合条件的组，再从中任选一组，代入一元二次方程求根公式求解即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，二次项系数$a=1$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c$。
分别计算四组条件的判别式：
① $\Delta=2^2-4×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
② $\Delta=3^2-4×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
③ $\Delta=3^2-4×(-1)=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
④ $\Delta=2^2-4×2=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
选择条件②$b=3,c=1$，此时原方程为$x^2+3x+1=0$。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
（也可选择条件③，解得$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$）
【答案】
选择②时，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$（或选择③对应解，写出一种即可）
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题既考查了一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，也考查了公式法解方程的运算能力，是对一元二次方程基础性质的常规考查，难度较低。
【难度系数】
0.8
1. (2024·贵州)一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的解是 ()
A.$x_1=3, x_2=1$
B.$x_1=2, x_2=0$
C.$x_1=3, x_2=-2$
D.$x_1=-2, x_2=-1$
A.$x_1=3, x_2=1$
B.$x_1=2, x_2=0$
C.$x_1=3, x_2=-2$
D.$x_1=-2, x_2=-1$
答案
B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程特征：左边是二次二项式，无常数项，优先选择因式分解法解题更简便。解题思路为：先对等式左边的多项式提取公因式完成因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的解后匹配选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法的性质，乘积为0的两个因式中至少有一个值为0，因此可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时等式成立；当$x-2=0$时，解得$x=2$。
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择简便的因式分解法可快速得到答案，熟练掌握因式分解的常用方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，观察方程特征：左边是二次二项式，无常数项，优先选择因式分解法解题更简便。解题思路为：先对等式左边的多项式提取公因式完成因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的解后匹配选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法的性质，乘积为0的两个因式中至少有一个值为0，因此可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时等式成立；当$x-2=0$时，解得$x=2$。
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择简便的因式分解法可快速得到答案，熟练掌握因式分解的常用方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.9
2. (2024·凉山州)若关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 -4 =0$的一个根是$x=0$，则$a$的值为（）
A.2
B.-2
C.2或-2
D.$\frac{1}{2}$
A.2
B.-2
C.2或-2
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，可得到关于a的方程，求解得到a的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对求出的a的取值进行筛选，排除不符合要求的结果，即可得到正确答案。
【解析】
∵ x=0是一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 -4 =0$的根
∴ 将x=0代入方程得：
$(a+2)×0^2 + 0 + a^2 -4 = 0$
化简得：$a^2 -4 = 0$
解得：$a=2$或$a=-2$
又
∵ 原方程是一元二次方程
∴ 二次项系数$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$
∴ 舍去$a=-2$，得$a=2$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的定义
【点评】
本题是易错题，很多同学求解出a的两个取值后会忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C，解题时要注意对结果进行检验，排除不符合定义的取值。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，可得到关于a的方程，求解得到a的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对求出的a的取值进行筛选，排除不符合要求的结果，即可得到正确答案。
【解析】
∵ x=0是一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 -4 =0$的根
∴ 将x=0代入方程得：
$(a+2)×0^2 + 0 + a^2 -4 = 0$
化简得：$a^2 -4 = 0$
解得：$a=2$或$a=-2$
又
∵ 原方程是一元二次方程
∴ 二次项系数$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$
∴ 舍去$a=-2$，得$a=2$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的定义
【点评】
本题是易错题，很多同学求解出a的两个取值后会忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C，解题时要注意对结果进行检验，排除不符合定义的取值。
【难度系数】
0.7
3. 方程$2x^2 + 1 = 3x$的解为。
答案
解：
移项，得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
因式分解，得$(2x-1)(x-1)=0$，
因此$2x-1=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
移项，得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
因式分解，得$(2x-1)(x-1)=0$，
因此$2x-1=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
解析
【分析】
拿到该方程后，首先需将其整理为一元二次方程的一般形式：第一步先移项，把含x的项移到等号左侧，使等号右侧为0，得到$2x^2 - 3x + 1 = 0$；接下来观察二次三项式的特征，可使用十字相乘法对其因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
移项，得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
因式分解，得$(2x-1)(x-1)=0$，
因此$2x-1=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础常考题，核心考查因式分解法解方程的步骤，熟练掌握十字相乘法因式分解的技巧就能快速解题，是巩固一元二次方程解法的典型基础题。
【难度系数】
0.9
拿到该方程后，首先需将其整理为一元二次方程的一般形式：第一步先移项，把含x的项移到等号左侧，使等号右侧为0，得到$2x^2 - 3x + 1 = 0$；接下来观察二次三项式的特征，可使用十字相乘法对其因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
移项，得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
因式分解，得$(2x-1)(x-1)=0$，
因此$2x-1=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础常考题，核心考查因式分解法解方程的步骤，熟练掌握十字相乘法因式分解的技巧就能快速解题，是巩固一元二次方程解法的典型基础题。
【难度系数】
0.9
4. 一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程$x^2 -8x +12=0$的根,则该三角形的周长为。
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
要计算三角形的周长，需先确定第三边的长度：①先求解一元二次方程得到第三边的可能取值；②根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）筛选出符合条件的第三边长；③最后将三边长度相加得到周长。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +12=0$
用因式分解法对左边因式分解，得：
$(x-2)(x-6)=0$
则$x-2=0$或$x-6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，即第三边的可能长度为2或6。
第二步：根据三角形三边关系筛选符合条件的边长
当第三边长为2时，三边长为2、2、5，此时$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，舍去该取值；
当第三边长为6时，三边长为2、5、6，此时$2+5＞6$，$5+6＞2$，$2+6＞5$，满足三角形三边关系。
第三步：计算周长
三角形周长为$2+5+6=13$。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的求解与三角形的性质结合考查，易错点是求解方程后忽略验证三边是否满足构成三角形的条件，直接代入计算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要计算三角形的周长，需先确定第三边的长度：①先求解一元二次方程得到第三边的可能取值；②根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）筛选出符合条件的第三边长；③最后将三边长度相加得到周长。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +12=0$
用因式分解法对左边因式分解，得：
$(x-2)(x-6)=0$
则$x-2=0$或$x-6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，即第三边的可能长度为2或6。
第二步：根据三角形三边关系筛选符合条件的边长
当第三边长为2时，三边长为2、2、5，此时$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，舍去该取值；
当第三边长为6时，三边长为2、5、6，此时$2+5＞6$，$5+6＞2$，$2+6＞5$，满足三角形三边关系。
第三步：计算周长
三角形周长为$2+5+6=13$。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的求解与三角形的性质结合考查，易错点是求解方程后忽略验证三边是否满足构成三角形的条件，直接代入计算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
5. 下面是小明同学解一元二次方程的过程,请仔细阅读,并完成相应的任务。
解方程:$(3x-1)^2=2(3x-1)$。
解:方程两边同除以$(3x-1)$,得$3x-1=2$。……第一步
移项、合并同类项,得$3x=3$。……第二步
系数化为1,得$x=1$。……第三步
任务:(1)小明的解法从第步开始出现错误;
(2)请写出此题的正确解题过程。
解方程:$(3x-1)^2=2(3x-1)$。
解:方程两边同除以$(3x-1)$,得$3x-1=2$。……第一步
移项、合并同类项,得$3x=3$。……第二步
系数化为1,得$x=1$。……第三步
任务:(1)小明的解法从第步开始出现错误;
(2)请写出此题的正确解题过程。
答案
(1) 一
(2) 解：移项，得
$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式因式分解，得
$(3x-1)(3x-1-2)=0$
即$(3x-1)(3x-3)=0$
因此$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别求解两个一元一次方程，得
$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=1$
(2) 解：移项，得
$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式因式分解，得
$(3x-1)(3x-1-2)=0$
即$(3x-1)(3x-3)=0$
因此$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别求解两个一元一次方程，得
$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=1$
解析
【分析】
（1）判断错误步骤：根据等式的基本性质，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才成立。小明第一步直接在方程两边除以$(3x-1)$，未考虑$3x-1=0$的情况，既不符合等式性质，还会漏掉对应的根，因此从第一步就出错了。
（2）正确解题思路：解这类含公因式的一元二次方程，首先要移项，把所有项移到方程左边，使右边为0；再提取公因式$(3x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式；最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程，就能得到方程的全部根。
【解析】
（1）小明第一步直接两边除以$(3x-1)$，忽略了$3x-1=0$的可能性，不符合等式的基本性质，还会造成漏根，因此从第一步开始出现错误。
（2）正确解题过程：
移项，得$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式因式分解，得$(3x-1)(3x-1-2)=0$
整理得$(3x-1)(3x-3)=0$
因此$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$3x-1=0$时，解得$x_1=\frac{1}{3}$；
当$3x-3=0$时，解得$x_2=1$。
【答案】
(1) 一
(2) 解：移项，得
$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式因式分解，得
$(3x-1)(3x-1-2)=0$
即$(3x-1)(3x-3)=0$
因此$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别求解两个一元一次方程，得
$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的基本性质
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题主要考查一元二次方程的解法和易错点，解题时要注意不能随意除以含有未知数的整式，否则容易出现漏根的问题；用因式分解法解方程时，需先将方程变形为右边为0的形式，再分解因式求解，做完后可检验根的数量，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判断错误步骤：根据等式的基本性质，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才成立。小明第一步直接在方程两边除以$(3x-1)$，未考虑$3x-1=0$的情况，既不符合等式性质，还会漏掉对应的根，因此从第一步就出错了。
（2）正确解题思路：解这类含公因式的一元二次方程，首先要移项，把所有项移到方程左边，使右边为0；再提取公因式$(3x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式；最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程，就能得到方程的全部根。
【解析】
（1）小明第一步直接两边除以$(3x-1)$，忽略了$3x-1=0$的可能性，不符合等式的基本性质，还会造成漏根，因此从第一步开始出现错误。
（2）正确解题过程：
移项，得$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式因式分解，得$(3x-1)(3x-1-2)=0$
整理得$(3x-1)(3x-3)=0$
因此$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$3x-1=0$时，解得$x_1=\frac{1}{3}$；
当$3x-3=0$时，解得$x_2=1$。
【答案】
(1) 一
(2) 解：移项，得
$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式因式分解，得
$(3x-1)(3x-1-2)=0$
即$(3x-1)(3x-3)=0$
因此$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别求解两个一元一次方程，得
$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的基本性质
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题主要考查一元二次方程的解法和易错点，解题时要注意不能随意除以含有未知数的整式，否则容易出现漏根的问题；用因式分解法解方程时，需先将方程变形为右边为0的形式，再分解因式求解，做完后可检验根的数量，避免漏解。
【难度系数】
0.7
