登录
6. 已知$x$为正数，一元二次方程$x^2+2x-4=0$的近似解的整数部分是多少？十分位上的数是多少？
答案
解：
对原方程$x^2+2x-4=0$移项，得
$x^2+2x=4$
配方，两边同时加1，得
$x^2+2x+1=4+1$
即$(x+1)^2=5$
开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
因为x为正数，舍去负根$x_2=-1-\sqrt{5}$，得正根$x=\sqrt{5}-1$。
由$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
得$2-1＜\sqrt{5}-1＜3-1$，即$1＜x＜2$，因此x的整数部分是1。
又因为$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，
得$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$，
因此$2.2-1＜\sqrt{5}-1＜2.3-1$，即$1.2＜x＜1.3$，x的十分位上的数是2。
答：该方程正近似解的整数部分是1，十分位上的数是2。
对原方程$x^2+2x-4=0$移项，得
$x^2+2x=4$
配方，两边同时加1，得
$x^2+2x+1=4+1$
即$(x+1)^2=5$
开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
因为x为正数，舍去负根$x_2=-1-\sqrt{5}$，得正根$x=\sqrt{5}-1$。
由$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
得$2-1＜\sqrt{5}-1＜3-1$，即$1＜x＜2$，因此x的整数部分是1。
又因为$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，
得$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$，
因此$2.2-1＜\sqrt{5}-1＜2.3-1$，即$1.2＜x＜1.3$，x的十分位上的数是2。
答：该方程正近似解的整数部分是1，十分位上的数是2。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步先求解一元二次方程，用配方法得到方程的两个根；第二步结合x为正数的条件，舍去不符合要求的负根，得到正根的含根式形式；第三步通过估算无理数$\sqrt{5}$的取值范围，先确定正根的整数区间得到整数部分，再进一步缩小$\sqrt{5}$的范围到十分位区间，最终推导得到正根十分位上的数字。
【解析】
解：对原方程$x^2+2x-4=0$移项，得
$x^2+2x=4$
配方，两边同时加1，得
$x^2+2x+1=4+1$
即$(x+1)^2=5$
开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
因为x为正数，舍去负根$x_2=-1-\sqrt{5}$，得正根$x=\sqrt{5}-1$。
由$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
得$2-1＜\sqrt{5}-1＜3-1$，即$1＜x＜2$，因此x的整数部分是1。
又因为$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，
得$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$，
因此$2.2-1＜\sqrt{5}-1＜2.3-1$，即$1.2＜x＜1.3$，x的十分位上的数是2。
【答案】
该方程正近似解的整数部分是1，十分位上的数是2。
【知识点】
配方法解一元二次方程、无理数的估算、不等式的性质
【点评】
本题是代数基础知识点的综合应用题，既考查了配方法解一元二次方程的掌握程度，又考查了逐步缩小无理数取值范围的估算能力，解题时需注意筛选符合题干条件的根，避免错用负根进行估算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需分三步思考：第一步先求解一元二次方程，用配方法得到方程的两个根；第二步结合x为正数的条件，舍去不符合要求的负根，得到正根的含根式形式；第三步通过估算无理数$\sqrt{5}$的取值范围，先确定正根的整数区间得到整数部分，再进一步缩小$\sqrt{5}$的范围到十分位区间，最终推导得到正根十分位上的数字。
【解析】
解：对原方程$x^2+2x-4=0$移项，得
$x^2+2x=4$
配方，两边同时加1，得
$x^2+2x+1=4+1$
即$(x+1)^2=5$
开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
因为x为正数，舍去负根$x_2=-1-\sqrt{5}$，得正根$x=\sqrt{5}-1$。
由$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
得$2-1＜\sqrt{5}-1＜3-1$，即$1＜x＜2$，因此x的整数部分是1。
又因为$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，
得$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$，
因此$2.2-1＜\sqrt{5}-1＜2.3-1$，即$1.2＜x＜1.3$，x的十分位上的数是2。
【答案】
该方程正近似解的整数部分是1，十分位上的数是2。
【知识点】
配方法解一元二次方程、无理数的估算、不等式的性质
【点评】
本题是代数基础知识点的综合应用题，既考查了配方法解一元二次方程的掌握程度，又考查了逐步缩小无理数取值范围的估算能力，解题时需注意筛选符合题干条件的根，避免错用负根进行估算。
【难度系数】
0.7
1. (2025·河南)一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根的情况是 ()
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$分析。解题思路如下：首先将一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再代入判别式计算$\Delta$的结果，最后根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
给定一元二次方程$x^2 - 2x = 0$，符合一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=0$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×0 = 4$
因为$\Delta=4＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是基础类考题，重点考查根的判别式的应用，属于一元二次方程章节的高频考点，只要熟练掌握判别式和根的对应关系、能准确识别方程各项系数，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$分析。解题思路如下：首先将一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再代入判别式计算$\Delta$的结果，最后根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
给定一元二次方程$x^2 - 2x = 0$，符合一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=0$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×0 = 4$
因为$\Delta=4＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是基础类考题，重点考查根的判别式的应用，属于一元二次方程章节的高频考点，只要熟练掌握判别式和根的对应关系、能准确识别方程各项系数，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2. 若利用公式法可得一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$的两解为$α,β$，且$α＞β$，则$α$的值为（）
A.$\frac{-11+\sqrt{109}}{6}$
B.$\frac{-11+\sqrt{133}}{6}$
C.$\frac{11+\sqrt{109}}{6}$
D.$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
A.$\frac{-11+\sqrt{109}}{6}$
B.$\frac{-11+\sqrt{133}}{6}$
C.$\frac{11+\sqrt{109}}{6}$
D.$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，需使用公式法求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；第一步先确定题干方程中$a、b、c$的取值，第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，第三步代入求根公式得到两个根，最后根据$α＞β$的条件确定较大根$α$的表达式，对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$，可得二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-11$，常数项$c=-1$。
首先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4×3×(-1)=121+12=133$
将$a、b、\Delta$代入求根公式，得：
$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$
已知$α＞β$，因此$α$是较大的根，即取加号的根：$α=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，求根公式应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式的掌握，解题的易错点是容易混淆一次项系数的符号、判别式计算错误，只要准确识别方程系数、规范计算就能正确作答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需使用公式法求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；第一步先确定题干方程中$a、b、c$的取值，第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，第三步代入求根公式得到两个根，最后根据$α＞β$的条件确定较大根$α$的表达式，对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$，可得二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-11$，常数项$c=-1$。
首先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4×3×(-1)=121+12=133$
将$a、b、\Delta$代入求根公式，得：
$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$
已知$α＞β$，因此$α$是较大的根，即取加号的根：$α=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，求根公式应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式的掌握，解题的易错点是容易混淆一次项系数的符号、判别式计算错误，只要准确识别方程系数、规范计算就能正确作答。
【难度系数】
0.8
3. (2024·河南)若关于$x$的方程$\frac{1}{2}x^2 -x +c=0$有两个相等的实数根,则$c$的值为。
答案
解：∵方程$\frac{1}{2}x^2 -x +c=0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-1$，代入得：
$(-1)^2 - 4×\frac{1}{2}× c = 0$，
整理得$1 - 2c = 0$，
解得$c=\frac{1}{2}$。
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-1$，代入得：
$(-1)^2 - 4×\frac{1}{2}× c = 0$，
整理得$1 - 2c = 0$，
解得$c=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
看到一元二次方程有两个相等的实数根，首先要联想到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来先确定给定方程的二次项系数a、一次项系数b的值，注意不要写错一次项系数的符号，再代入Δ=b²-4ac=0列出关于c的一元一次方程，最后解方程即可求出c的值。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$\frac{1}{2}x^2 -x +c=0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，代入得：
$(-1)^2 - 4×\frac{1}{2}× c = 0$，
整理得$1 - 2c = 0$，
解得$c=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题关键是准确识别方程的各项系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免代入计算时出错。
【难度系数】
0.85
看到一元二次方程有两个相等的实数根，首先要联想到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来先确定给定方程的二次项系数a、一次项系数b的值，注意不要写错一次项系数的符号，再代入Δ=b²-4ac=0列出关于c的一元一次方程，最后解方程即可求出c的值。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$\frac{1}{2}x^2 -x +c=0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，代入得：
$(-1)^2 - 4×\frac{1}{2}× c = 0$，
整理得$1 - 2c = 0$，
解得$c=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题关键是准确识别方程的各项系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免代入计算时出错。
【难度系数】
0.85
4. (2024·南通)已知关于x的一元二次方程$x^2 -2x +k=0$有两个不相等的实数根。请写出一个满足题意的k的值：。
答案
解：
在一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4k ＞ 0$，
$4 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 1$。
取满足条件的一个值：$k=0$（答案不唯一，所有小于1的实数均可）。
在一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4k ＞ 0$，
$4 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 1$。
取满足条件的一个值：$k=0$（答案不唯一，所有小于1的实数均可）。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与根的判别式的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题思路如下：①先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；②根据“两个不相等的实数根”的条件，列出判别式Δ＞0的不等式；③解不等式得到k的取值范围；④在取值范围内任选一个符合要求的实数即可得到答案。
【解析】
在一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=k$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入系数得：$(-2)^2 - 4×1× k ＞ 0$，
计算得：$4 - 4k ＞ 0$，
移项解得：$k ＜ 1$。
取满足$k ＜ 1$的一个值即可，例如$k=0$（答案不唯一）。
【答案】0（答案不唯一，小于1的实数均可）
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记根的不同情况对应的判别式的符号，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与根的判别式的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题思路如下：①先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；②根据“两个不相等的实数根”的条件，列出判别式Δ＞0的不等式；③解不等式得到k的取值范围；④在取值范围内任选一个符合要求的实数即可得到答案。
【解析】
在一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=k$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入系数得：$(-2)^2 - 4×1× k ＞ 0$，
计算得：$4 - 4k ＞ 0$，
移项解得：$k ＜ 1$。
取满足$k ＜ 1$的一个值即可，例如$k=0$（答案不唯一）。
【答案】0（答案不唯一，小于1的实数均可）
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记根的不同情况对应的判别式的符号，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
5. (2024·南充)已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2-2kx+k^2-k+1=0$的两个不相等的实数根。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值。
答案
解：
(1) 因为方程$x^2-2kx+k^2-k+1=0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2-k+1$，
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)\\&=4k^2-4k^2+4k-4\\&=4k-4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4k-4＞0$，
解得$k＞1$。
(2) 由求根公式得：
$x=\frac{2k\pm\sqrt{4k-4}}{2}=k\pm\sqrt{k-1}$
由$k＜5$，结合(1)中$k＞1$，可得$1＜k＜5$。
因为$k$，$x_1$，$x_2$都是整数，所以$\sqrt{k-1}$为整数，即$k-1$是完全平方数。
由$1＜k＜5$得$0＜k-1＜4$，该范围内的正完全平方数只有1，即$k-1=1$，
解得$k=2$。
综上，(1) $k$的取值范围是$k＞1$；(2) $k$的值为2。
(1) 因为方程$x^2-2kx+k^2-k+1=0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2-k+1$，
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)\\&=4k^2-4k^2+4k-4\\&=4k-4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4k-4＞0$，
解得$k＞1$。
(2) 由求根公式得：
$x=\frac{2k\pm\sqrt{4k-4}}{2}=k\pm\sqrt{k-1}$
由$k＜5$，结合(1)中$k＞1$，可得$1＜k＜5$。
因为$k$，$x_1$，$x_2$都是整数，所以$\sqrt{k-1}$为整数，即$k-1$是完全平方数。
由$1＜k＜5$得$0＜k-1＜4$，该范围内的正完全平方数只有1，即$k-1=1$，
解得$k=2$。
综上，(1) $k$的取值范围是$k＞1$；(2) $k$的值为2。
解析
【分析】
(1) 看到一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，只需代入方程的各项系数计算判别式，再解不等式即可求出$k$的取值范围。
(2) 先结合第一问得到的$k＞1$和题设$k＜5$，确定$k$的取值区间为$1＜k＜5$；再用求根公式写出两根的表达式，由于$k$和两根都是整数，可知表达式中根号部分必须为整数，即被开方数$k-1$是完全平方数，最后在$k$的取值区间内筛选出符合条件的$k$即可。
【解析】
(1) 因为方程$x^2-2kx+k^2-k+1=0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2-k+1$，
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)\\&=4k^2-4k^2+4k-4\\&=4k-4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4k-4＞0$，
解得$k＞1$。
(2) 由求根公式得：
$x=\frac{2k\pm\sqrt{4k-4}}{2}=k\pm\sqrt{k-1}$
结合(1)中$k＞1$和题设$k＜5$，可得$1＜k＜5$。
因为$k$，$x_1$，$x_2$都是整数，所以$\sqrt{k-1}$为整数，即$k-1$是完全平方数。
由$1＜k＜5$得$0＜k-1＜4$，该范围内的正完全平方数只有1，即$k-1=1$，
解得$k=2$。
【答案】
(1) $k$的取值范围是$k＞1$；(2) $k$的值为$2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 公式法解一元二次方程 3. 完全平方数性质
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的常规考法，既考查了判别式与根的个数的对应关系，也考查了整数解问题的转化思路，解题时要注意先通过已知条件缩小参数范围，再根据整数的特性筛选符合要求的参数值。
【难度系数】
0.7
(1) 看到一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，只需代入方程的各项系数计算判别式，再解不等式即可求出$k$的取值范围。
(2) 先结合第一问得到的$k＞1$和题设$k＜5$，确定$k$的取值区间为$1＜k＜5$；再用求根公式写出两根的表达式，由于$k$和两根都是整数，可知表达式中根号部分必须为整数，即被开方数$k-1$是完全平方数，最后在$k$的取值区间内筛选出符合条件的$k$即可。
【解析】
(1) 因为方程$x^2-2kx+k^2-k+1=0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2-k+1$，
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)\\&=4k^2-4k^2+4k-4\\&=4k-4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4k-4＞0$，
解得$k＞1$。
(2) 由求根公式得：
$x=\frac{2k\pm\sqrt{4k-4}}{2}=k\pm\sqrt{k-1}$
结合(1)中$k＞1$和题设$k＜5$，可得$1＜k＜5$。
因为$k$，$x_1$，$x_2$都是整数，所以$\sqrt{k-1}$为整数，即$k-1$是完全平方数。
由$1＜k＜5$得$0＜k-1＜4$，该范围内的正完全平方数只有1，即$k-1=1$，
解得$k=2$。
【答案】
(1) $k$的取值范围是$k＞1$；(2) $k$的值为$2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 公式法解一元二次方程 3. 完全平方数性质
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的常规考法，既考查了判别式与根的个数的对应关系，也考查了整数解问题的转化思路，解题时要注意先通过已知条件缩小参数范围，再根据整数的特性筛选符合要求的参数值。
【难度系数】
0.7
