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2. (2024·东营改编)用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$，将它转化为$(x+a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为（）
A.$-2026$
B.$2026$
C.$-1$
D.$1$
A.$-2026$
B.$2026$
C.$-1$
D.$1$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，需按照配方法的步骤将给定的一元二次方程转化为$(x+a)^2 = b$的形式，再确定$a$、$b$的值，最后计算$a^b$即可。具体思考路径：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧；第二步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步对比形式得到$a$、$b$的值，代入乘方计算结果。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2025$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，给等号两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = 2025 + 1$
3. 左侧写成完全平方式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2026$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2026$。
则$a^b = (-1)^{2026} = 1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；乘方运算
【点评】
本题考查配方法的实际应用，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照配方法的步骤将给定的一元二次方程转化为$(x+a)^2 = b$的形式，再确定$a$、$b$的值，最后计算$a^b$即可。具体思考路径：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧；第二步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步对比形式得到$a$、$b$的值，代入乘方计算结果。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2025$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，给等号两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = 2025 + 1$
3. 左侧写成完全平方式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2026$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2026$。
则$a^b = (-1)^{2026} = 1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；乘方运算
【点评】
本题考查配方法的实际应用，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.7
3. 已知代数式 $ x(x+5)+1 $ 与代数式 $ x-1 $ 的值相等，则 $ x $ 的值为 。
答案
解：
根据题意，得
$x(x+5)+1 = x-1$
整理得：
$x^2 + 5x +1 = x -1$
$x^2 +4x +2 = 0$
移项，得
$x^2 +4x = -2$
配方，两边同时加上$2^2$，得
$x^2 +4x +4 = -2 +4$
即$(x+2)^2 = 2$
直接开平方，得
$x+2 = \pm\sqrt{2}$
解得
$x_1 = -2+\sqrt{2},\quad x_2=-2-\sqrt{2}$
根据题意，得
$x(x+5)+1 = x-1$
整理得：
$x^2 + 5x +1 = x -1$
$x^2 +4x +2 = 0$
移项，得
$x^2 +4x = -2$
配方，两边同时加上$2^2$，得
$x^2 +4x +4 = -2 +4$
即$(x+2)^2 = 2$
直接开平方，得
$x+2 = \pm\sqrt{2}$
解得
$x_1 = -2+\sqrt{2},\quad x_2=-2-\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据“两个代数式值相等”的等量关系列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的形式。本题采用配方法求解，具体思路为：先将常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后开平方即可求出x的解。
【解析】
解：根据题意，得
$x(x+5)+1 = x-1$
去括号整理得：
$x^2 + 5x +1 = x -1$
移项合并同类项得：
$x^2 +4x +2 = 0$
将常数项移到方程右边：
$x^2 +4x = -2$
配方，两边同时加上$2^2$，得：
$x^2 +4x +4 = -2 +4$
即$(x+2)^2 = 2$
直接开平方，得：
$x+2 = \pm\sqrt{2}$
解得：
$x_1 = -2+\sqrt{2},\quad x_2=-2-\sqrt{2}$
【答案】
$x_1=-2+\sqrt{2},x_2=-2-\sqrt{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算类题型，考查将等量关系转化为方程的能力，以及配方法解方程的核心步骤，解题时需注意配方时方程两边要同时加同一个数，保证等式成立，熟练掌握配方法的操作流程是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“两个代数式值相等”的等量关系列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的形式。本题采用配方法求解，具体思路为：先将常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后开平方即可求出x的解。
【解析】
解：根据题意，得
$x(x+5)+1 = x-1$
去括号整理得：
$x^2 + 5x +1 = x -1$
移项合并同类项得：
$x^2 +4x +2 = 0$
将常数项移到方程右边：
$x^2 +4x = -2$
配方，两边同时加上$2^2$，得：
$x^2 +4x +4 = -2 +4$
即$(x+2)^2 = 2$
直接开平方，得：
$x+2 = \pm\sqrt{2}$
解得：
$x_1 = -2+\sqrt{2},\quad x_2=-2-\sqrt{2}$
【答案】
$x_1=-2+\sqrt{2},x_2=-2-\sqrt{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算类题型，考查将等量关系转化为方程的能力，以及配方法解方程的核心步骤，解题时需注意配方时方程两边要同时加同一个数，保证等式成立，熟练掌握配方法的操作流程是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 将一元二次方程$x^2 -12x -64=0$用配方法化成$(x+a)^2 =b$的形式为，此时方程的解为。
答案
化成的形式为$\boldsymbol{(x-6)^2=100}$，方程的解为$\boldsymbol{x_1=16,\,x_2=-4}$。
解析
【分析】
要将一元二次方程用配方法转化为指定形式，首先明确配方法的核心思路：先把含x的项留在等号左侧，常数项移到右侧，再根据完全平方公式的结构，给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，得到$(x+a)^2=b$的形式后，再通过开平方求解方程即可。
【解析】
1. 化指定形式：
对原方程$x^2 -12x -64=0$移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -12x = 64$
一次项系数为$-12$，其一半的平方为$(\frac{-12}{2})^2=36$，给等式两边同时加36，得：
$x^2 -12x + 36 = 64 + 36$
左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数，得：
$(x-6)^2=100$
2. 求解方程：
对$(x-6)^2=100$两边开平方，得：
$x-6 = ±10$
即$x=6±10$，分别计算得：
$x_1=6+10=16$，$x_2=6-10=-4$
【答案】
$\boldsymbol{(x-6)^2=100}$；$\boldsymbol{x_1=16,\,x_2=-4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查配方法的基本应用，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，注意移项要变号，配方时要准确计算一次项系数一半的平方，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
要将一元二次方程用配方法转化为指定形式，首先明确配方法的核心思路：先把含x的项留在等号左侧，常数项移到右侧，再根据完全平方公式的结构，给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，得到$(x+a)^2=b$的形式后，再通过开平方求解方程即可。
【解析】
1. 化指定形式：
对原方程$x^2 -12x -64=0$移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -12x = 64$
一次项系数为$-12$，其一半的平方为$(\frac{-12}{2})^2=36$，给等式两边同时加36，得：
$x^2 -12x + 36 = 64 + 36$
左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数，得：
$(x-6)^2=100$
2. 求解方程：
对$(x-6)^2=100$两边开平方，得：
$x-6 = ±10$
即$x=6±10$，分别计算得：
$x_1=6+10=16$，$x_2=6-10=-4$
【答案】
$\boldsymbol{(x-6)^2=100}$；$\boldsymbol{x_1=16,\,x_2=-4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查配方法的基本应用，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，注意移项要变号，配方时要准确计算一次项系数一半的平方，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解方程$2x^2 - \sqrt{2}x - 30 = 0$，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正。
解:方程两边都除以2并移项,得$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = 15$。
配方,得$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + (\frac{1}{2})^2 = 15 + \frac{1}{4}$,即$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{61}{4}$。
解得$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{2}$,即$x_1 = \frac{1 + \sqrt{61}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{61}}{2}$。
解:方程两边都除以2并移项,得$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = 15$。
配方,得$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + (\frac{1}{2})^2 = 15 + \frac{1}{4}$,即$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{61}{4}$。
解得$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{2}$,即$x_1 = \frac{1 + \sqrt{61}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{61}}{2}$。
答案
解：
给出的解题过程不对，错误出在配方步骤：配方时应加上一次项系数一半的平方，原过程误将一次项系数$-\frac{\sqrt{2}}{2}$的一半错算为$\frac{1}{2}$，导致后续所加常数项、完全平方式均错误。
正确解题过程如下：
方程两边都除以2并移项，得
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = 15$
配方，得
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 15 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2$
即$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{121}{8}$
两边开平方，得
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{11\sqrt{2}}{4}$
所以$x_1 = 3\sqrt{2}$，$x_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
给出的解题过程不对，错误出在配方步骤：配方时应加上一次项系数一半的平方，原过程误将一次项系数$-\frac{\sqrt{2}}{2}$的一半错算为$\frac{1}{2}$，导致后续所加常数项、完全平方式均错误。
正确解题过程如下：
方程两边都除以2并移项，得
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = 15$
配方，得
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 15 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2$
即$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{121}{8}$
两边开平方，得
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{11\sqrt{2}}{4}$
所以$x_1 = 3\sqrt{2}$，$x_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
要判断配方法解方程的过程是否正确，首先回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧化为完全平方式；④开平方求解。我们逐步骤核对题干过程：第一步二次项系数化为1、移项的操作是正确的；再看配方步骤，原方程一次项系数为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，它的一半应为$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，平方后是$(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$，但原过程错误将一次项系数的一半算成$\frac{1}{2}$，这是错误根源，后续的完全平方式、开方结果也随之出错，我们按照正确的配方项重新计算即可得到正确解。
【解析】
给出的解题过程不对，错误出在配方步骤：配方时应加上一次项系数一半的平方，原过程误将一次项系数$-\frac{\sqrt{2}}{2}$的一半错算为$\frac{1}{2}$，导致后续所加常数项、完全平方式均错误。
正确解题过程如下：
方程两边都除以2并移项，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = 15$
配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 15 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2$
整理得：$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{121}{8}$
两边开平方，得：
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{11\sqrt{2}}{4}$
解得：
$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{11\sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{2}$，$x_2 = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{11\sqrt{2}}{4} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【答案】
原解题过程错误，错误为配方时错算一次项系数的一半，正确的解为$\boldsymbol{x_1=3\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{x_2=-\frac{5\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解方程的典型易错题，核心考查配方环节的计算准确性，尤其当一次项系数带无理数时，要注意严格按照“一次项系数取一半再平方”的规则计算配方项，熟练掌握配方法的固定步骤即可避免这类错误。
【难度系数】
0.6
要判断配方法解方程的过程是否正确，首先回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧化为完全平方式；④开平方求解。我们逐步骤核对题干过程：第一步二次项系数化为1、移项的操作是正确的；再看配方步骤，原方程一次项系数为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，它的一半应为$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，平方后是$(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$，但原过程错误将一次项系数的一半算成$\frac{1}{2}$，这是错误根源，后续的完全平方式、开方结果也随之出错，我们按照正确的配方项重新计算即可得到正确解。
【解析】
给出的解题过程不对，错误出在配方步骤：配方时应加上一次项系数一半的平方，原过程误将一次项系数$-\frac{\sqrt{2}}{2}$的一半错算为$\frac{1}{2}$，导致后续所加常数项、完全平方式均错误。
正确解题过程如下：
方程两边都除以2并移项，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = 15$
配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 15 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2$
整理得：$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{121}{8}$
两边开平方，得：
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{11\sqrt{2}}{4}$
解得：
$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{11\sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{2}$，$x_2 = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{11\sqrt{2}}{4} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【答案】
原解题过程错误，错误为配方时错算一次项系数的一半，正确的解为$\boldsymbol{x_1=3\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{x_2=-\frac{5\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解方程的典型易错题，核心考查配方环节的计算准确性，尤其当一次项系数带无理数时，要注意严格按照“一次项系数取一半再平方”的规则计算配方项，熟练掌握配方法的固定步骤即可避免这类错误。
【难度系数】
0.6
