登录
4. 三个连续奇数，它们的平方和为251，则这三个数分别为。
答案
解：设中间的连续奇数为$ x $，则另外两个奇数分别为$ x-2 $和$ x+2 $。
根据题意列方程：
$(x-2)^2 + x^2 + (x+2)^2 = 251$
展开并整理方程：
$x^2 -4x +4 + x^2 + x^2 +4x +4 = 251$
$3x^2 + 8 = 251$
$3x^2 = 243$
$x^2 = 81$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -9 $。
当$ x=9 $时，三个连续奇数为7，9，11；
当$ x=-9 $时，三个连续奇数为-11，-9，-7。
所以这三个数分别为7,9,11或-11,-9,-7。
根据题意列方程：
$(x-2)^2 + x^2 + (x+2)^2 = 251$
展开并整理方程：
$x^2 -4x +4 + x^2 + x^2 +4x +4 = 251$
$3x^2 + 8 = 251$
$3x^2 = 243$
$x^2 = 81$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -9 $。
当$ x=9 $时，三个连续奇数为7，9，11；
当$ x=-9 $时，三个连续奇数为-11，-9，-7。
所以这三个数分别为7,9,11或-11,-9,-7。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2，为了简化计算，优先设中间的奇数为未知数$x$，则另外两个奇数可表示为$x-2$和$x+2$；再根据题干给出的“三个数的平方和为251”这一等量关系列一元二次方程，解方程后需注意奇数包含正、负两类，所以两个根都要代入计算对应的三个数，避免漏解。
【解析】
设中间的连续奇数为$x$，则另外两个奇数分别为$x-2$和$x+2$。
根据题意列方程：
$(x-2)^2 + x^2 + (x+2)^2 = 251$
展开并整理方程：
$x^2 -4x +4 + x^2 + x^2 +4x +4 = 251$
$3x^2 + 8 = 251$
$3x^2 = 243$
$x^2 = 81$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -9 $。
当$x=9$时，三个连续奇数为$9-2=7$，$9$，$9+2=11$；
当$x=-9$时，三个连续奇数为$-9-2=-11$，$-9$，$-9+2=-7$。
【答案】
7，9，11或-11，-9，-7
【知识点】
列一元二次方程解应用题，一元二次方程的解法，奇数的特征
【点评】
本题是一元二次方程在数字问题中的典型应用，合理设中间数为未知数可大幅简化计算过程，解题时需注意奇数包含正、负两种情况，避免遗漏负数解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2，为了简化计算，优先设中间的奇数为未知数$x$，则另外两个奇数可表示为$x-2$和$x+2$；再根据题干给出的“三个数的平方和为251”这一等量关系列一元二次方程，解方程后需注意奇数包含正、负两类，所以两个根都要代入计算对应的三个数，避免漏解。
【解析】
设中间的连续奇数为$x$，则另外两个奇数分别为$x-2$和$x+2$。
根据题意列方程：
$(x-2)^2 + x^2 + (x+2)^2 = 251$
展开并整理方程：
$x^2 -4x +4 + x^2 + x^2 +4x +4 = 251$
$3x^2 + 8 = 251$
$3x^2 = 243$
$x^2 = 81$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -9 $。
当$x=9$时，三个连续奇数为$9-2=7$，$9$，$9+2=11$；
当$x=-9$时，三个连续奇数为$-9-2=-11$，$-9$，$-9+2=-7$。
【答案】
7，9，11或-11，-9，-7
【知识点】
列一元二次方程解应用题，一元二次方程的解法，奇数的特征
【点评】
本题是一元二次方程在数字问题中的典型应用，合理设中间数为未知数可大幅简化计算过程，解题时需注意奇数包含正、负两种情况，避免遗漏负数解。
【难度系数】
0.7
5. (2024·重庆)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增。该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元。该公司这两年缴税的年平均增长率是。
答案
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为$ x $。
根据题意列方程得：
$40(1+x)^2 = 48.4$
方程两边同时除以40，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$。
∵增长率为正数，$x=-2.1$不符合实际意义，舍去。
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是10%。
根据题意列方程得：
$40(1+x)^2 = 48.4$
方程两边同时除以40，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$。
∵增长率为正数，$x=-2.1$不符合实际意义，舍去。
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是10%。
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：1. 回忆平均增长率的基本等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ = n年后的对应量，本题中初始缴税金额为2021年的40万元，时间间隔n=2（2021年到2023年间隔2年），2023年缴税金额为48.4万元；2. 设年平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程；3. 用直接开平方法求解方程，再结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，得到最终结果。
【解析】
设该公司这两年缴税的年平均增长率为$ x $。
根据题意列方程得：
$40(1+x)^2 = 48.4$
方程两边同时除以40，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$。
∵增长率为正数，$x=-2.1$不符合实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程实际应用，平均增长率问题，直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是掌握平均增长率的等量关系，列方程求解后要注意结合实际场景验根，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：1. 回忆平均增长率的基本等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ = n年后的对应量，本题中初始缴税金额为2021年的40万元，时间间隔n=2（2021年到2023年间隔2年），2023年缴税金额为48.4万元；2. 设年平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程；3. 用直接开平方法求解方程，再结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，得到最终结果。
【解析】
设该公司这两年缴税的年平均增长率为$ x $。
根据题意列方程得：
$40(1+x)^2 = 48.4$
方程两边同时除以40，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$。
∵增长率为正数，$x=-2.1$不符合实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程实际应用，平均增长率问题，直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是掌握平均增长率的等量关系，列方程求解后要注意结合实际场景验根，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
6. 用一面墙(墙的长度为9 m)和13 m长的篱笆围成一个面积为15 m²的矩形菜园，若篱笆全部用完，则平行于墙的篱笆应设计为 m。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
我们可以按照“设未知数→找等量关系→列方程→解方程→结合实际验根”的思路解题：首先明确篱笆的构成，平行于墙的边仅需1段篱笆，垂直于墙的边需要2段篱笆，且平行于墙的边长不能超过墙的长度9m。我们设平行于墙的篱笆长为x m，即可用含x的式子表示垂直于墙的边长，再结合矩形面积公式列方程求解，最后根据墙长限制舍去不符合实际的根。
【解析】
设平行于墙的篱笆长为$ x \, \mathrm{m} $，由墙长为9m可知$ x≤9 $，则垂直于墙的每段篱笆长为$ \frac{13-x}{2} \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 15 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x · \frac{13-x}{2} = 15$
整理得：
$x^2 -13x +30 = 0$
因式分解得：
$(x-3)(x-10)=0$
解得$ x_1=3 $，$ x_2=10 $。
因为$ 10＞9 $，不符合墙长的限制，故舍去$ x_2=10 $。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的典型应用，解题时除了正确列解方程外，还要注意结合实际限制条件对根进行取舍，避免得到不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.7
我们可以按照“设未知数→找等量关系→列方程→解方程→结合实际验根”的思路解题：首先明确篱笆的构成，平行于墙的边仅需1段篱笆，垂直于墙的边需要2段篱笆，且平行于墙的边长不能超过墙的长度9m。我们设平行于墙的篱笆长为x m，即可用含x的式子表示垂直于墙的边长，再结合矩形面积公式列方程求解，最后根据墙长限制舍去不符合实际的根。
【解析】
设平行于墙的篱笆长为$ x \, \mathrm{m} $，由墙长为9m可知$ x≤9 $，则垂直于墙的每段篱笆长为$ \frac{13-x}{2} \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 15 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x · \frac{13-x}{2} = 15$
整理得：
$x^2 -13x +30 = 0$
因式分解得：
$(x-3)(x-10)=0$
解得$ x_1=3 $，$ x_2=10 $。
因为$ 10＞9 $，不符合墙长的限制，故舍去$ x_2=10 $。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的典型应用，解题时除了正确列解方程外，还要注意结合实际限制条件对根进行取舍，避免得到不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.7
7.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?
学习以下解答过程,并完成填空。
设应邀请x支球队参赛,则每队共打场比赛,比赛总场数用代数式表示为。根据题意,可列出方程:。
整理,得。
解这个方程,得。
符合实际意义的解为。
所以应邀请支球队参赛。
学习以下解答过程,并完成填空。
设应邀请x支球队参赛,则每队共打场比赛,比赛总场数用代数式表示为。根据题意,可列出方程:。
整理,得。
解这个方程,得。
符合实际意义的解为。
所以应邀请支球队参赛。
答案
解：
设应邀请x支球队参赛，则每队共打$\boldsymbol{(x-1)}$场比赛，比赛总场数用代数式表示为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$。根据题意，可列出方程：$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$。
整理，得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$。
解这个方程，得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$。
符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$。
所以应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛。
设应邀请x支球队参赛，则每队共打$\boldsymbol{(x-1)}$场比赛，比赛总场数用代数式表示为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$。根据题意，可列出方程：$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$。
整理，得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$。
解这个方程，得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$。
符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$。
所以应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛。
解析
【分析】
解题时先明确单循环赛制的规则：每两队之间仅赛1场。第一步推导单队比赛场次：共有x支球队，每支球队无需和自身比赛，因此每队要和其余(x-1)支球队各赛1场，即每队共打(x-1)场；第二步推导总场数：若直接用球队总数乘单队场次，每场比赛会被两队各统计1次，出现重复计算，因此总场数需除以2，得到总场数的代数式；第三步结合题目给出的总场数28列一元二次方程，求解后根据“球队数量为正整数”的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
设应邀请x支球队参赛：
1. 每队不与自身比赛，因此每队共打$\boldsymbol{(x-1)}$场比赛；
2. 每场比赛被重复统计1次，因此比赛总场数用代数式表示为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$；
3. 根据总场数为28，列方程：$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$；
4. 整理方程：两边同乘2得$x(x-1)=56$，展开移项后得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$；
5. 解该一元二次方程，因式分解得$(x-8)(x+7)=0$，解得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$；
6. 球队数量不能为负，因此符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$；
7. 综上，应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛。
【答案】
依次填空为：$(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)=28$；$x^2 - x - 56 = 0$；$x_1=8,\ x_2=-7$；$x=8$；$8$
【知识点】
单循环赛计数、一元二次方程解法、一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于方程实际应用类基础题，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，避免总场数重复计算，同时求解方程后要结合实际场景对根进行取舍，主要考查将实际问题转化为数学方程的能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确单循环赛制的规则：每两队之间仅赛1场。第一步推导单队比赛场次：共有x支球队，每支球队无需和自身比赛，因此每队要和其余(x-1)支球队各赛1场，即每队共打(x-1)场；第二步推导总场数：若直接用球队总数乘单队场次，每场比赛会被两队各统计1次，出现重复计算，因此总场数需除以2，得到总场数的代数式；第三步结合题目给出的总场数28列一元二次方程，求解后根据“球队数量为正整数”的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
设应邀请x支球队参赛：
1. 每队不与自身比赛，因此每队共打$\boldsymbol{(x-1)}$场比赛；
2. 每场比赛被重复统计1次，因此比赛总场数用代数式表示为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$；
3. 根据总场数为28，列方程：$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$；
4. 整理方程：两边同乘2得$x(x-1)=56$，展开移项后得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$；
5. 解该一元二次方程，因式分解得$(x-8)(x+7)=0$，解得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$；
6. 球队数量不能为负，因此符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$；
7. 综上，应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛。
【答案】
依次填空为：$(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)=28$；$x^2 - x - 56 = 0$；$x_1=8,\ x_2=-7$；$x=8$；$8$
【知识点】
单循环赛计数、一元二次方程解法、一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于方程实际应用类基础题，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，避免总场数重复计算，同时求解方程后要结合实际场景对根进行取舍，主要考查将实际问题转化为数学方程的能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
8. (2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元。
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品。
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品。
答案
解：
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $，
根据题意，2022年乙商品进价为125元，经过两年到2024年进价为80元，列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
整理得：$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
开方得：$1-x = \pm 0.8$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合下降率实际意义，舍去）。
(2) 2024年甲种商品每件的进价为：$125 - 25×2 = 75$元，
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$(100-m)$件，
根据总资金不超过7800元，列不等式：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
展开整理：$75m + 8000 - 80m ≤ 7800$
$ -5m ≤ -200 $
解得：$m ≥ 40$。
答：(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；(2) 最少购进40件甲种商品。
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $，
根据题意，2022年乙商品进价为125元，经过两年到2024年进价为80元，列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
整理得：$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
开方得：$1-x = \pm 0.8$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合下降率实际意义，舍去）。
(2) 2024年甲种商品每件的进价为：$125 - 25×2 = 75$元，
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$(100-m)$件，
根据总资金不超过7800元，列不等式：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
展开整理：$75m + 8000 - 80m ≤ 7800$
$ -5m ≤ -200 $
解得：$m ≥ 40$。
答：(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；(2) 最少购进40件甲种商品。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问求乙种商品进价的年平均下降率，属于平均变化率问题。首先明确初始进价（2022年为125元）、变化时长（2022到2024年共2年）、最终进价（2024年为80元），套用平均下降率公式：初始量×(1-下降率)ⁿ=最终量（n为变化年数）列一元二次方程，求解后结合下降率的实际意义（0＜下降率＜1）舍去不符合要求的根即可。
(2) 第二问是进货最值问题，首先先计算2024年甲种商品的进价，再设购进甲种商品的数量为未知数，根据“总进货资金不超过7800元”的限制列一元一次不等式，解不等式后取最小正整数解即为最少购进甲种商品的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$，
2022年乙商品进价为125元，经过2年到2024年进价为80元，列方程得：
$125(1-x)^2 = 80$
整理得：$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
开方得：$1-x = \pm 0.8$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合实际意义，舍去）。
(2) 先计算2024年甲种商品每件的进价：$125 - 25×2 = 75$（元）
设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100-m)$件，
根据总资金不超过7800元，列不等式：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
展开整理得：$75m + 8000 - 80m ≤ 7800$
$ -5m ≤ -200 $
两边同时除以-5，不等号方向改变，解得：$m ≥ 40$。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进40件甲种商品。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的商品销售场景命题，侧重考查对平均变化率公式的掌握，以及用不等式解决实际最值问题的能力，解题时需注意结合实际意义对计算结果进行检验，避免出现不符合现实逻辑的答案。
【难度系数】
0.75
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问求乙种商品进价的年平均下降率，属于平均变化率问题。首先明确初始进价（2022年为125元）、变化时长（2022到2024年共2年）、最终进价（2024年为80元），套用平均下降率公式：初始量×(1-下降率)ⁿ=最终量（n为变化年数）列一元二次方程，求解后结合下降率的实际意义（0＜下降率＜1）舍去不符合要求的根即可。
(2) 第二问是进货最值问题，首先先计算2024年甲种商品的进价，再设购进甲种商品的数量为未知数，根据“总进货资金不超过7800元”的限制列一元一次不等式，解不等式后取最小正整数解即为最少购进甲种商品的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$，
2022年乙商品进价为125元，经过2年到2024年进价为80元，列方程得：
$125(1-x)^2 = 80$
整理得：$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
开方得：$1-x = \pm 0.8$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合实际意义，舍去）。
(2) 先计算2024年甲种商品每件的进价：$125 - 25×2 = 75$（元）
设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100-m)$件，
根据总资金不超过7800元，列不等式：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
展开整理得：$75m + 8000 - 80m ≤ 7800$
$ -5m ≤ -200 $
两边同时除以-5，不等号方向改变，解得：$m ≥ 40$。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进40件甲种商品。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的商品销售场景命题，侧重考查对平均变化率公式的掌握，以及用不等式解决实际最值问题的能力，解题时需注意结合实际意义对计算结果进行检验，避免出现不符合现实逻辑的答案。
【难度系数】
0.75
