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17. (9分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+3x+k-2=0$有实数根。
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，若$(x_1+1)(x_2+1)=-1$，求$k$的值。
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，若$(x_1+1)(x_2+1)=-1$，求$k$的值。
答案
解：
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+3x+k-2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(k-2) ≥ 0$，
即$9 -4k +8 ≥ 0$，
$17 -4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{17}{4}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = k-2$。
∵ $(x_1+1)(x_2+1) = -1$，
展开得$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = -1$，
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=k-2$代入上式：
$(k-2) + (-3) + 1 = -1$，
整理得$k -4 = -1$，
解得$k=3$。
∵ $3 ≤ \frac{17}{4}$，符合$k$的取值范围，
∴ $k$的值为$3$。
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+3x+k-2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(k-2) ≥ 0$，
即$9 -4k +8 ≥ 0$，
$17 -4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{17}{4}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = k-2$。
∵ $(x_1+1)(x_2+1) = -1$，
展开得$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = -1$，
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=k-2$代入上式：
$(k-2) + (-3) + 1 = -1$，
整理得$k -4 = -1$，
解得$k=3$。
∵ $3 ≤ \frac{17}{4}$，符合$k$的取值范围，
∴ $k$的值为$3$。
解析
【分析】
(1) 第一问解题思路：已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式$\Delta ≥ 0$时方程有实数根。先确定方程中$a=1$、$b=3$、$c=k-2$，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 第二问解题思路：给出两根的关系式，优先使用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积的表达式，再将$(x_1+1)(x_2+1)=-1$展开，代入两根和、两根积的表达式得到关于$k$的方程，求解后需验证$k$是否符合第一问的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+3x+k-2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(k-2) ≥ 0$，
即$9 -4k +8 ≥ 0$，
$17 -4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{17}{4}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = k-2$。
∵ $(x_1+1)(x_2+1) = -1$，
展开得$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = -1$，
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=k-2$代入上式：
$(k-2) + (-3) + 1 = -1$，
整理得$k -4 = -1$，
解得$k=3$。
∵ $3 ≤ \frac{17}{4}$，符合$k$的取值范围，
∴ $k$的值为$3$。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{17}{4}$；(2) $k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查判别式和韦达定理的应用，解题时需注意求出参数值后要验证是否满足方程有实根的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问解题思路：已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式$\Delta ≥ 0$时方程有实数根。先确定方程中$a=1$、$b=3$、$c=k-2$，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 第二问解题思路：给出两根的关系式，优先使用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积的表达式，再将$(x_1+1)(x_2+1)=-1$展开，代入两根和、两根积的表达式得到关于$k$的方程，求解后需验证$k$是否符合第一问的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+3x+k-2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(k-2) ≥ 0$，
即$9 -4k +8 ≥ 0$，
$17 -4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{17}{4}$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = k-2$。
∵ $(x_1+1)(x_2+1) = -1$，
展开得$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = -1$，
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=k-2$代入上式：
$(k-2) + (-3) + 1 = -1$，
整理得$k -4 = -1$，
解得$k=3$。
∵ $3 ≤ \frac{17}{4}$，符合$k$的取值范围，
∴ $k$的值为$3$。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{17}{4}$；(2) $k=3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查判别式和韦达定理的应用，解题时需注意求出参数值后要验证是否满足方程有实根的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.8
18. (9分)(2024·西藏)列方程(组)解应用题。
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动。4月份投入资金20万元，6月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同。
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动。4月份投入资金20万元，6月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同。
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？
答案
解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为$ x $。
根据题意列方程得：
$20(1+x)^2 = 24.2$
方程两边同除以20，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
(2)按照该增长率，7月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%) = 26.62\ (\mathrm{万元})$
答：(1)该商场投入资金的月平均增长率为10%；(2)预计该商场7月份投入资金将达到26.62万元。
根据题意列方程得：
$20(1+x)^2 = 24.2$
方程两边同除以20，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
(2)按照该增长率，7月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%) = 26.62\ (\mathrm{万元})$
答：(1)该商场投入资金的月平均增长率为10%；(2)预计该商场7月份投入资金将达到26.62万元。
解析
【分析】
本题属于典型的平均增长率类应用题，解题思路如下：（1）增长率问题的通用等量关系为：初始值×(1+月平均增长率)^增长次数 = 最终值。本题4月投入资金为初始值20万元，6月是经过2个月增长后的最终值24.2万元，因此设月平均增长率为x，代入等量关系即可列一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的根。（2）7月投入资金是在6月基础上再增长1个月，用6月投入资金乘(1+月平均增长率)即可求出结果。
【解析】
(1) 设该商场投入资金的月平均增长率为$ x $。
根据题意列方程得：
$20(1+x)^2 = 24.2$
方程两边同除以20，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$，由于增长率不能为负，$x_2=-2.1$不符合题意，舍去。
(2) 按照这个增长率，7月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%) = 26.62\ (\mathrm{万元})$
【答案】
(1) 该商场投入资金的月平均增长率为10%；(2) 预计该商场7月份投入资金将达到26.62万元。
【知识点】
一元二次方程的应用，直接开平方法解方程，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，核心是牢记增长率问题的等量公式，解题时注意结合实际意义对解得的根进行取舍，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
本题属于典型的平均增长率类应用题，解题思路如下：（1）增长率问题的通用等量关系为：初始值×(1+月平均增长率)^增长次数 = 最终值。本题4月投入资金为初始值20万元，6月是经过2个月增长后的最终值24.2万元，因此设月平均增长率为x，代入等量关系即可列一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的根。（2）7月投入资金是在6月基础上再增长1个月，用6月投入资金乘(1+月平均增长率)即可求出结果。
【解析】
(1) 设该商场投入资金的月平均增长率为$ x $。
根据题意列方程得：
$20(1+x)^2 = 24.2$
方程两边同除以20，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方得：
$1+x = \pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$，由于增长率不能为负，$x_2=-2.1$不符合题意，舍去。
(2) 按照这个增长率，7月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%) = 26.62\ (\mathrm{万元})$
【答案】
(1) 该商场投入资金的月平均增长率为10%；(2) 预计该商场7月份投入资金将达到26.62万元。
【知识点】
一元二次方程的应用，直接开平方法解方程，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，核心是牢记增长率问题的等量公式，解题时注意结合实际意义对解得的根进行取舍，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
