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9. 已知4个数据为$-\sqrt{2},2\sqrt{2},a,b$，其中$a,b$是方程$x^2 -2x -1=0$的两个根，则这4个数据的中位数是（）
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要计算4个数据的中位数，需遵循以下思路：首先，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数。因此第一步要先解一元二次方程得到a、b的具体值，第二步把4个数据统一排序，第三步计算中间两个数的平均数即可得到结果。
【解析】
第一步：解方程$x^2 - 2x -1 = 0$
对等式左边配方：
$x^2 - 2x +1 = 1+1$
即$(x-1)^2=2$
开方得$x-1=\pm\sqrt{2}$
因此方程的两个根为$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，即a、b为$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$。
第二步：对4个数据排序
估算各数的近似值：$-\sqrt{2}\approx-1.414$，$1-\sqrt{2}\approx-0.414$，$1+\sqrt{2}\approx2.414$，$2\sqrt{2}\approx2.828$
从小到大排序为：$-\sqrt{2} ＜ 1-\sqrt{2} ＜ 1+\sqrt{2} ＜ 2\sqrt{2}$
第三步：计算中位数
4个数据的中位数是第2个和第3个数据的平均数：
$\mathrm{中位数}=\frac{(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})}{2}=\frac{2}{2}=1$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 中位数计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程的解法和中位数的定义应用，解题的核心是正确求出方程的根，并准确对数据排序，注意偶数个数据的中位数需取中间两个数的平均值。
【难度系数】
0.7
要计算4个数据的中位数，需遵循以下思路：首先，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数。因此第一步要先解一元二次方程得到a、b的具体值，第二步把4个数据统一排序，第三步计算中间两个数的平均数即可得到结果。
【解析】
第一步：解方程$x^2 - 2x -1 = 0$
对等式左边配方：
$x^2 - 2x +1 = 1+1$
即$(x-1)^2=2$
开方得$x-1=\pm\sqrt{2}$
因此方程的两个根为$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，即a、b为$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$。
第二步：对4个数据排序
估算各数的近似值：$-\sqrt{2}\approx-1.414$，$1-\sqrt{2}\approx-0.414$，$1+\sqrt{2}\approx2.414$，$2\sqrt{2}\approx2.828$
从小到大排序为：$-\sqrt{2} ＜ 1-\sqrt{2} ＜ 1+\sqrt{2} ＜ 2\sqrt{2}$
第三步：计算中位数
4个数据的中位数是第2个和第3个数据的平均数：
$\mathrm{中位数}=\frac{(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})}{2}=\frac{2}{2}=1$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 中位数计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程的解法和中位数的定义应用，解题的核心是正确求出方程的根，并准确对数据排序，注意偶数个数据的中位数需取中间两个数的平均值。
【难度系数】
0.7
10. 已知关于x的方程$x^2+bx+c=0(bc≠0)$有两个不相等的实数根$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，关于x的方程$bx+c=0$的根为$x_3$，给出下面三个结论：①$x_1＜x_2＜x_3$；②$x_1＜x_3＜x_2$；③$x_3＜x_1＜x_2$。上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（）
A.①
B.②
C.①③
D.①②③
A.①
B.②
C.①③
D.①②③
答案
C
解析
【分析】
要判断三个关于根大小的结论是否可能成立，可先结合二次函数的性质分析x₃的位置：二次函数y=x²+bx+c开口向上，当x在方程x²+bx+c=0的两根之间时函数值小于0，两根之外时函数值大于0。将x₃代入二次函数可得f(x₃)=x₃²＞0，说明x₃一定在两根之外，可直接排除结论②，再通过举符合条件的特殊值验证①和③是否成立即可。
【解析】
1. 求一次方程的根：对于方程$bx+c=0$（$bc≠0$），解得$x_3=-\frac{c}{b}$。
2. 分析$x_3$的位置范围：
二次函数$y=x^2+bx+c$开口向上，方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1＜x_2$，因此当$x＜x_1$或$x＞x_2$时，函数值$y＞0$；当$x_1＜x＜x_2$时，函数值$y＜0$。
将$x=x_3$代入二次函数得：$y=x_3^2+bx_3+c$，因为$bx_3+c=0$，所以$y=x_3^2＞0$，因此$x_3$一定在两根之外，即$x_3＜x_1$或$x_3＞x_2$，故结论②不可能成立。
3. 验证剩余结论：
① 验证结论①：取$b=3$，$c=2$，此时二次方程为$x^2+3x+2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-1$，满足两个不相等实数根，且$bc=3×2=6≠0$符合题意；一次方程为$3x+2=0$，解得$x_3=-\frac{2}{3}$，此时$-2＜-1＜-\frac{2}{3}$，即$x_1＜x_2＜x_3$，故①可能成立。
② 验证结论③：取$b=-3$，$c=2$，此时二次方程为$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，满足两个不相等实数根，且$bc=(-3)×2=-6≠0$符合题意；一次方程为$-3x+2=0$，解得$x_3=\frac{2}{3}$，此时$\frac{2}{3}＜1＜2$，即$x_3＜x_1＜x_2$，故③可能成立。
综上，可能正确的结论是①③，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一次方程的解，特殊值法应用
【点评】
本题是一次方程、二次方程与二次函数的综合题，解题时先利用函数性质快速排除不可能的结论，再用特殊值法验证剩余结论，可有效提高解题效率，重点考察函数与方程的转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要判断三个关于根大小的结论是否可能成立，可先结合二次函数的性质分析x₃的位置：二次函数y=x²+bx+c开口向上，当x在方程x²+bx+c=0的两根之间时函数值小于0，两根之外时函数值大于0。将x₃代入二次函数可得f(x₃)=x₃²＞0，说明x₃一定在两根之外，可直接排除结论②，再通过举符合条件的特殊值验证①和③是否成立即可。
【解析】
1. 求一次方程的根：对于方程$bx+c=0$（$bc≠0$），解得$x_3=-\frac{c}{b}$。
2. 分析$x_3$的位置范围：
二次函数$y=x^2+bx+c$开口向上，方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1＜x_2$，因此当$x＜x_1$或$x＞x_2$时，函数值$y＞0$；当$x_1＜x＜x_2$时，函数值$y＜0$。
将$x=x_3$代入二次函数得：$y=x_3^2+bx_3+c$，因为$bx_3+c=0$，所以$y=x_3^2＞0$，因此$x_3$一定在两根之外，即$x_3＜x_1$或$x_3＞x_2$，故结论②不可能成立。
3. 验证剩余结论：
① 验证结论①：取$b=3$，$c=2$，此时二次方程为$x^2+3x+2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-1$，满足两个不相等实数根，且$bc=3×2=6≠0$符合题意；一次方程为$3x+2=0$，解得$x_3=-\frac{2}{3}$，此时$-2＜-1＜-\frac{2}{3}$，即$x_1＜x_2＜x_3$，故①可能成立。
② 验证结论③：取$b=-3$，$c=2$，此时二次方程为$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，满足两个不相等实数根，且$bc=(-3)×2=-6≠0$符合题意；一次方程为$-3x+2=0$，解得$x_3=\frac{2}{3}$，此时$\frac{2}{3}＜1＜2$，即$x_3＜x_1＜x_2$，故③可能成立。
综上，可能正确的结论是①③，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一次方程的解，特殊值法应用
【点评】
本题是一次方程、二次方程与二次函数的综合题，解题时先利用函数性质快速排除不可能的结论，再用特殊值法验证剩余结论，可有效提高解题效率，重点考察函数与方程的转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1,写出一个符合条件的方程:。
11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1,写出一个符合条件的方程:。
答案
解：把x=1代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可得$a+b+c=0$，任取一组满足条件的系数即可得到符合要求的方程。
示例：$\boldsymbol{x^2 - 1 = 0}$（答案不唯一）
示例：$\boldsymbol{x^2 - 1 = 0}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先明确两个核心依据，一是一元二次方程需满足“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0”的要求，一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$；二是方程的根代入方程可使左右两边相等。已知$x=1$是根，将其代入一般式可得到系数满足$a+b+c=0$，接下来只需任选一组满足$a≠0$且$a+b+c=0$的系数，代入一般式就能得到符合要求的方程，也可通过构造含因式$(x-1)$的整式乘积形式来写方程。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，
∵$x=1$是方程的根，将$x=1$代入一般式得：
$a×1^2 + b×1 + c = 0$，即$a+b+c=0$，
选取满足$a≠0$、$a+b+c=0$的一组系数即可，例如取$a=1$，$b=0$，则$c=-1$，
代入一般式可得方程：$x^2 - 1 = 0$（答案不唯一）。
【答案】
$x^2 - 1 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的概念
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对一元二次方程相关基本概念的理解，只要掌握方程根的含义就能轻松写出答案，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
解题时可按以下思路思考：首先明确两个核心依据，一是一元二次方程需满足“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0”的要求，一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$；二是方程的根代入方程可使左右两边相等。已知$x=1$是根，将其代入一般式可得到系数满足$a+b+c=0$，接下来只需任选一组满足$a≠0$且$a+b+c=0$的系数，代入一般式就能得到符合要求的方程，也可通过构造含因式$(x-1)$的整式乘积形式来写方程。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，
∵$x=1$是方程的根，将$x=1$代入一般式得：
$a×1^2 + b×1 + c = 0$，即$a+b+c=0$，
选取满足$a≠0$、$a+b+c=0$的一组系数即可，例如取$a=1$，$b=0$，则$c=-1$，
代入一般式可得方程：$x^2 - 1 = 0$（答案不唯一）。
【答案】
$x^2 - 1 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的概念
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对一元二次方程相关基本概念的理解，只要掌握方程根的含义就能轻松写出答案，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
12. 若关于x的一元二次方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$有实数根，则m的最大整数解是。
答案
解：
∵ 方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $m-5 ≠ 0$，
解得 $m ≠ 5$。
∵ 该一元二次方程有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-5$，$b=2$，$c=2$，
代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= 2^2 - 4×(m-5)×2 ≥ 0\\4 - 8(m-5) &≥ 0\\4 - 8m + 40 &≥ 0\\44 - 8m &≥ 0\end{aligned}$
解得 $m ≤ 5.5$。
综上，$m$的取值范围是$m ≤ 5.5$且$m ≠ 5$，因此$m$的最大整数解是$\boldsymbol{4}$。
∵ 方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $m-5 ≠ 0$，
解得 $m ≠ 5$。
∵ 该一元二次方程有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-5$，$b=2$，$c=2$，
代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= 2^2 - 4×(m-5)×2 ≥ 0\\4 - 8(m-5) &≥ 0\\4 - 8m + 40 &≥ 0\\44 - 8m &≥ 0\end{aligned}$
解得 $m ≤ 5.5$。
综上，$m$的取值范围是$m ≤ 5.5$且$m ≠ 5$，因此$m$的最大整数解是$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
解题时需抓住两个核心限定条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是一元二次方程的前提要求；二是方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的不等式，再求出两个不等式解集的公共部分，最后在公共解集中找到最大的整数即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $m-5 ≠ 0$，
解得 $m ≠ 5$。
∵ 该一元二次方程有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-5$，$b=2$，$c=2$，
代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= 2^2 - 4×(m-5)×2 ≥ 0\\4 - 8(m-5) &≥ 0\\4 - 8m + 40 &≥ 0\\44 - 8m &≥ 0\end{aligned}$
解得 $m ≤ 5.5$。
综上，$m$的取值范围是$m ≤ 5.5$且$m ≠ 5$，因此$m$的最大整数解是$4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 不等式的整数解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，错误得出最大整数解为5，解题时要注意结合题目所有限定条件完整求解。
【难度系数】
0.6
解题时需抓住两个核心限定条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是一元二次方程的前提要求；二是方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的不等式，再求出两个不等式解集的公共部分，最后在公共解集中找到最大的整数即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $m-5 ≠ 0$，
解得 $m ≠ 5$。
∵ 该一元二次方程有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-5$，$b=2$，$c=2$，
代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= 2^2 - 4×(m-5)×2 ≥ 0\\4 - 8(m-5) &≥ 0\\4 - 8m + 40 &≥ 0\\44 - 8m &≥ 0\end{aligned}$
解得 $m ≤ 5.5$。
综上，$m$的取值范围是$m ≤ 5.5$且$m ≠ 5$，因此$m$的最大整数解是$4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 不等式的整数解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，错误得出最大整数解为5，解题时要注意结合题目所有限定条件完整求解。
【难度系数】
0.6
13. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程$x^2 -6x+4=0$的两个实数根,则这个直角三角形斜边的长是。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{7}}$
解析
【分析】
要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理可知，斜边的平方等于两条直角边的平方和。已知两条直角边是一元二次方程的两个实数根，我们可以先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和、两根之积，再通过完全平方公式的变形，把两条直角边的平方和转化为两根之和与两根之积的表达式，代入数值计算后再开方即可得到斜边长度，无需单独求解方程的根，能简化计算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
∵ $a$、$b$是一元二次方程$x^2 -6x+4=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a + b = 6$，$ab = 4$。
根据勾股定理可得：$c^2 = a^2 + b^2$，
利用完全平方公式变形得：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
将$a + b = 6$，$ab = 4$代入得：
$c^2 = 6^2 - 2×4 = 36 - 8 = 28$，
∵ 边长为正数，
∴ $c = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是几何与代数的综合基础题，解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，将直角边的平方和与一元二次方程两根的和、积联系起来，避免了求解方程根的繁琐计算，考查了学生对基础公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理可知，斜边的平方等于两条直角边的平方和。已知两条直角边是一元二次方程的两个实数根，我们可以先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和、两根之积，再通过完全平方公式的变形，把两条直角边的平方和转化为两根之和与两根之积的表达式，代入数值计算后再开方即可得到斜边长度，无需单独求解方程的根，能简化计算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
∵ $a$、$b$是一元二次方程$x^2 -6x+4=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a + b = 6$，$ab = 4$。
根据勾股定理可得：$c^2 = a^2 + b^2$，
利用完全平方公式变形得：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
将$a + b = 6$，$ab = 4$代入得：
$c^2 = 6^2 - 2×4 = 36 - 8 = 28$，
∵ 边长为正数，
∴ $c = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是几何与代数的综合基础题，解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，将直角边的平方和与一元二次方程两根的和、积联系起来，避免了求解方程根的繁琐计算，考查了学生对基础公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 图1是由三个边长分别为6,9和x的正方形组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是。
答案
$\boldsymbol{3或6}$
解析
【分析】
解决本题可采用补形法，利用矩形对角线平分矩形面积的性质建立等量关系。首先计算三个正方形的总面积，再将原不规则图形补成一个大矩形，直线AB是大矩形的对角线，本身平分大矩形面积，由此可推导出补形时新增的左右两块空缺区域面积相等，据此列出一元二次方程求解即可，注意最终要验证根是否符合边长为正的实际要求。
【解析】
1. 计算三个正方形的总面积：
三个正方形边长分别为6、9、x，总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=6^2+9^2+x^2=36+81+x^2=117+x^2$
2. 补形建立等量关系：
将原图形补成长为$6+9+x=15+x$、宽为9的大矩形，直线AB是大矩形的对角线，因此AB平分大矩形的面积。
原图形外共有两块空缺区域：
左侧空缺：长为6，宽为$9-6=3$的矩形，面积$S_{\mathrm{左}}=6×3=18$
右侧空缺：长为x，宽为$9-x$的矩形，面积$S_{\mathrm{右}}=x(9-x)$
因为AB同时平分大矩形面积和原图形面积，因此两块空缺区域面积相等，即$S_{\mathrm{左}}=S_{\mathrm{右}}$。
3. 列方程求解：
代入面积得：
$18=x(9-x)$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2-9x+18=0$
因式分解得$(x-3)(x-6)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=6$，两个根均符合边长为正的实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{3或6}$
【知识点】
割补法求面积，矩形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题将几何面积问题和一元二次方程结合，核心是通过补形将不规则图形转化为规则矩形，利用对角线性质快速建立等量关系，体现了数形结合的思想，解题后要注意验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
解决本题可采用补形法，利用矩形对角线平分矩形面积的性质建立等量关系。首先计算三个正方形的总面积，再将原不规则图形补成一个大矩形，直线AB是大矩形的对角线，本身平分大矩形面积，由此可推导出补形时新增的左右两块空缺区域面积相等，据此列出一元二次方程求解即可，注意最终要验证根是否符合边长为正的实际要求。
【解析】
1. 计算三个正方形的总面积：
三个正方形边长分别为6、9、x，总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=6^2+9^2+x^2=36+81+x^2=117+x^2$
2. 补形建立等量关系：
将原图形补成长为$6+9+x=15+x$、宽为9的大矩形，直线AB是大矩形的对角线，因此AB平分大矩形的面积。
原图形外共有两块空缺区域：
左侧空缺：长为6，宽为$9-6=3$的矩形，面积$S_{\mathrm{左}}=6×3=18$
右侧空缺：长为x，宽为$9-x$的矩形，面积$S_{\mathrm{右}}=x(9-x)$
因为AB同时平分大矩形面积和原图形面积，因此两块空缺区域面积相等，即$S_{\mathrm{左}}=S_{\mathrm{右}}$。
3. 列方程求解：
代入面积得：
$18=x(9-x)$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2-9x+18=0$
因式分解得$(x-3)(x-6)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=6$，两个根均符合边长为正的实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{3或6}$
【知识点】
割补法求面积，矩形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题将几何面积问题和一元二次方程结合，核心是通过补形将不规则图形转化为规则矩形，利用对角线性质快速建立等量关系，体现了数形结合的思想，解题后要注意验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
15. 将4个数$a,b,c,d$排成2行2列，两边各加一条竖线记成$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，上述记法就叫作2阶行列式。若$\begin{vmatrix} x-3 & x+2 \\ x-2 & 2x \end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ 。
答案
解：
根据2阶行列式的定义，得：
$2x(x-3)-(x+2)(x-2)=0$
展开并整理：
$2x^2-6x-(x^2-4)=0$
$x^2-6x+4=0$
这里$a=1$，$b=-6$，$c=4$，判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×4=20＞0$
由一元二次方程求根公式：
$x=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2×1}=3\pm\sqrt{5}$
则$x=3+\sqrt{5}$或$3-\sqrt{5}$。
根据2阶行列式的定义，得：
$2x(x-3)-(x+2)(x-2)=0$
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$2x^2-6x-(x^2-4)=0$
$x^2-6x+4=0$
这里$a=1$，$b=-6$，$c=4$，判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×4=20＞0$
由一元二次方程求根公式：
$x=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2×1}=3\pm\sqrt{5}$
则$x=3+\sqrt{5}$或$3-\sqrt{5}$。
解析
【分析】
遇到新定义类题目，首先要准确理解新定义的运算规则，本题二阶行列式的运算规则为“左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素”。接下来将题干行列式中的四个元素对应到定义里的a、b、c、d，代入规则即可得到关于x的方程，再将方程化简整理为一元二次方程的一般形式，最后用求根公式求解即可得到x的值。
【解析】
根据2阶行列式的定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，代入对应元素得：
$2x(x-3)-(x+2)(x-2)=0$
展开并整理：
先计算单项式乘多项式和平方差公式：$2x(x-3)=2x^2-6x$，$(x+2)(x-2)=x^2-4$，代入得：
$2x^2-6x-(x^2-4)=0$
去括号合并同类项得：
$x^2-6x+4=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=4$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×4=20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2×1}=3\pm\sqrt{5}$
【答案】
$3+\sqrt{5}$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、一元二次方程求解
【点评】
本题是新定义与方程结合的典型基础题，重点考查对新运算规则的理解应用能力，以及一元二次方程的求解能力，解题的关键是准确根据新定义列方程，计算时注意去括号的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.6
遇到新定义类题目，首先要准确理解新定义的运算规则，本题二阶行列式的运算规则为“左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素”。接下来将题干行列式中的四个元素对应到定义里的a、b、c、d，代入规则即可得到关于x的方程，再将方程化简整理为一元二次方程的一般形式，最后用求根公式求解即可得到x的值。
【解析】
根据2阶行列式的定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，代入对应元素得：
$2x(x-3)-(x+2)(x-2)=0$
展开并整理：
先计算单项式乘多项式和平方差公式：$2x(x-3)=2x^2-6x$，$(x+2)(x-2)=x^2-4$，代入得：
$2x^2-6x-(x^2-4)=0$
去括号合并同类项得：
$x^2-6x+4=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=4$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×4=20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2×1}=3\pm\sqrt{5}$
【答案】
$3+\sqrt{5}$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、一元二次方程求解
【点评】
本题是新定义与方程结合的典型基础题，重点考查对新运算规则的理解应用能力，以及一元二次方程的求解能力，解题的关键是准确根据新定义列方程，计算时注意去括号的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16. (8分)选择适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 -3x=2x-6$；
(2)$2x^2 +1=4x$。
16. (8分)选择适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 -3x=2x-6$；
(2)$2x^2 +1=4x$。
答案
解：
(1) 移项，得
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$
合并同类项，得
$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 移项，将方程化为一般形式：
$2x^2 - 4x + 1 = 0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 8 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{8}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
(1) 移项，得
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$
合并同类项，得
$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 移项，将方程化为一般形式：
$2x^2 - 4x + 1 = 0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 8 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{8}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时先观察方程特征选择最简便的方法：(1)先将方程移项、合并同类项整理为一般形式，发现整理后的二次三项式可通过十字相乘因式分解，因此选择因式分解法求解，计算更简便；(2)先移项化为一元二次方程的一般形式，观察发现无法直接因式分解，因此选择公式法求解，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项，得
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$
合并同类项，得
$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 移项，将方程化为一般形式：
$2x^2 - 4x + 1 = 0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 8 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{8}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=3$；
(2) $x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查根据方程特征灵活选择简便解法的能力，熟练掌握各类解法的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时先观察方程特征选择最简便的方法：(1)先将方程移项、合并同类项整理为一般形式，发现整理后的二次三项式可通过十字相乘因式分解，因此选择因式分解法求解，计算更简便；(2)先移项化为一元二次方程的一般形式，观察发现无法直接因式分解，因此选择公式法求解，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项，得
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$
合并同类项，得
$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 移项，将方程化为一般形式：
$2x^2 - 4x + 1 = 0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 8 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4\pm\sqrt{8}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=3$；
(2) $x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查根据方程特征灵活选择简便解法的能力，熟练掌握各类解法的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8
