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19. (9分)某烘焙店生产的蛋糕产品分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润为10元。调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元。
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属第几档次产品?
(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件。若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店生产的是第几档次的产品?
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属第几档次产品?
(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件。若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店生产的是第几档次的产品?
答案
解：
(1) 由题意可得：
$1 + \frac{14 - 10}{2} = 3$
答：此批次蛋糕属第3档次产品。
(2) 设该烘焙店生产的是第$ x $档次的产品，其中$ 1 ≤ x ≤ 6 $，且$ x $为正整数。
此时每件利润为$ [10 + 2(x-1)] $元，每日产量为$ [76 - 4(x-1)] $件，根据总利润为1080元列方程：
$[10 + 2(x-1)] · [76 - 4(x-1)] = 1080$
整理得：
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-11) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 11 $。
因为产品共分为六个档次，$ 1 ≤ x ≤ 6 $，所以$ x=11 $不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品。
(1) 由题意可得：
$1 + \frac{14 - 10}{2} = 3$
答：此批次蛋糕属第3档次产品。
(2) 设该烘焙店生产的是第$ x $档次的产品，其中$ 1 ≤ x ≤ 6 $，且$ x $为正整数。
此时每件利润为$ [10 + 2(x-1)] $元，每日产量为$ [76 - 4(x-1)] $件，根据总利润为1080元列方程：
$[10 + 2(x-1)] · [76 - 4(x-1)] = 1080$
整理得：
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-11) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 11 $。
因为产品共分为六个档次，$ 1 ≤ x ≤ 6 $，所以$ x=11 $不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品。
解析
【分析】
（1）首先明确档次与单件利润的对应规律：第1档次单件利润10元，每提高1个档次，单件利润增加2元。求解利润14元对应的档次时，先计算单件利润比最低档多的金额，除以每档增加的利润2元得到提升的档次数，加1即可得到当前产品的档次。
（2）本题核心等量关系为“总利润=单件利润×日产量”。设生产的是第$x$档次的产品，先分别用含$x$的代数式表示该档次的单件利润和日产量：单件利润为基础利润10元加上（$x-1$）个档次增加的利润，日产量为基础产量76件减去（$x-1$）个档次减少的产量，再根据总利润1080元列一元二次方程求解，最后结合档次取值范围$1≤x≤6$舍去不符合实际的根即可。
【解析】
(1) 由题意可得：
每件利润比第1档次多$14-10=4$元，每提高1档利润增加2元，因此提高的档次数为$4÷2=2$，对应档次为$1+2=3$。
答：此批次蛋糕属第3档次产品。
(2) 设该烘焙店生产的是第$ x $档次的产品，其中$ 1 ≤ x ≤ 6 $，且$ x $为正整数。
此时每件利润为$ [10 + 2(x-1)] $元，每日产量为$ [76 - 4(x-1)] $件，根据总利润为1080元列方程：
$[10 + 2(x-1)] · [76 - 4(x-1)] = 1080$
整理得：
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-11) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 11 $。
因为产品共分为六个档次，$ 1 ≤ x ≤ 6 $，所以$ x=11 $不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品。
【答案】
(1) 第3档次；(2) 第5档次
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题计算、一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查利润类应用题，解题关键是理清档次、单件利润、产量三者的数量关系，找准等量关系列方程，求解后需结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确档次与单件利润的对应规律：第1档次单件利润10元，每提高1个档次，单件利润增加2元。求解利润14元对应的档次时，先计算单件利润比最低档多的金额，除以每档增加的利润2元得到提升的档次数，加1即可得到当前产品的档次。
（2）本题核心等量关系为“总利润=单件利润×日产量”。设生产的是第$x$档次的产品，先分别用含$x$的代数式表示该档次的单件利润和日产量：单件利润为基础利润10元加上（$x-1$）个档次增加的利润，日产量为基础产量76件减去（$x-1$）个档次减少的产量，再根据总利润1080元列一元二次方程求解，最后结合档次取值范围$1≤x≤6$舍去不符合实际的根即可。
【解析】
(1) 由题意可得：
每件利润比第1档次多$14-10=4$元，每提高1档利润增加2元，因此提高的档次数为$4÷2=2$，对应档次为$1+2=3$。
答：此批次蛋糕属第3档次产品。
(2) 设该烘焙店生产的是第$ x $档次的产品，其中$ 1 ≤ x ≤ 6 $，且$ x $为正整数。
此时每件利润为$ [10 + 2(x-1)] $元，每日产量为$ [76 - 4(x-1)] $件，根据总利润为1080元列方程：
$[10 + 2(x-1)] · [76 - 4(x-1)] = 1080$
整理得：
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-11) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 11 $。
因为产品共分为六个档次，$ 1 ≤ x ≤ 6 $，所以$ x=11 $不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品。
【答案】
(1) 第3档次；(2) 第5档次
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题计算、一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查利润类应用题，解题关键是理清档次、单件利润、产量三者的数量关系，找准等量关系列方程，求解后需结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
20. (9分)有一块长32 cm、宽14 cm的矩形铁皮。
(1)如图2①,如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后,将其折成底面积为280 cm²的无盖长方体盒子,求裁去的正方形的边长。
(2)由于需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理利用材料,某学生设计了如图2②所示的裁剪方案,阴影部分为裁剪下来的边角料,其中左侧的两个阴影部分为正方形,能否折出底面积为180 cm²的有盖盒子?如果能,请求出盒子的体积;如果不能,请说明理由。
(1)如图2①,如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后,将其折成底面积为280 cm²的无盖长方体盒子,求裁去的正方形的边长。
(2)由于需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理利用材料,某学生设计了如图2②所示的裁剪方案,阴影部分为裁剪下来的边角料,其中左侧的两个阴影部分为正方形,能否折出底面积为180 cm²的有盖盒子?如果能,请求出盒子的体积;如果不能,请说明理由。
答案
解：(1)设裁去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据题意得：
$(32-2x)(14-2x)=280$
整理得：$x^2-23x+42=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=21$
$\because$当$x=21$时，$14-2x=-28＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
(2)能。
设折成的有盖盒子的高为$y\ \mathrm{cm}$，
则盒子底面的长为$(16-y)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(14-2y)\ \mathrm{cm}$，
根据题意得：
$(16-y)(14-2y)=180$
整理得：$y^2-23y+22=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=22$
$\because$当$y=22$时，$14-2y=-30＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore y=1$，
盒子的体积为$180×1=180\ (\mathrm{cm}^3)$。
答：(1)裁去的正方形的边长为$2\ \mathrm{cm}$；(2)能折出底面积为$180\ \mathrm{cm}^2$的有盖盒子，盒子的体积为$180\ \mathrm{cm}^3$。
根据题意得：
$(32-2x)(14-2x)=280$
整理得：$x^2-23x+42=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=21$
$\because$当$x=21$时，$14-2x=-28＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
(2)能。
设折成的有盖盒子的高为$y\ \mathrm{cm}$，
则盒子底面的长为$(16-y)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(14-2y)\ \mathrm{cm}$，
根据题意得：
$(16-y)(14-2y)=180$
整理得：$y^2-23y+22=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=22$
$\because$当$y=22$时，$14-2y=-30＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore y=1$，
盒子的体积为$180×1=180\ (\mathrm{cm}^3)$。
答：(1)裁去的正方形的边长为$2\ \mathrm{cm}$；(2)能折出底面积为$180\ \mathrm{cm}^2$的有盖盒子，盒子的体积为$180\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
(1) 求解裁去的正方形边长时，我们先设边长为未知数，折成无盖长方体盒子后，底面的长为原矩形长减去2倍正方形边长，底面的宽为原矩形宽减去2倍正方形边长，根据“矩形底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后要检验解是否符合实际意义，舍去使边长为负的不合理解。
(2) 判断能否折出符合要求的有盖盒子时，先设盒子的高为未知数，观察裁剪图可知原矩形长32cm对折后为16cm，因此盒子底面的长为(16-y)cm，底面的宽为原矩形宽减去2倍的高，同样根据底面积公式列方程求解，若存在符合实际的解则可折出，再用底面积乘高计算体积即可。
【解析】
(1) 设裁去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据题意得：
$(32-2x)(14-2x)=280$
整理得：$x^2-23x+42=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=21$
$\because$ 当$x=21$时，$14-2x=-28＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
(2) 能。
设折成的有盖盒子的高为$y\ \mathrm{cm}$，
则盒子底面的长为$(16-y)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(14-2y)\ \mathrm{cm}$，
根据题意得：
$(16-y)(14-2y)=180$
整理得：$y^2-23y+22=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=22$
$\because$ 当$y=22$时，$14-2y=-30＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore y=1$，
盒子的体积为$180×1=180\ (\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) 裁去的正方形的边长为$2\ \mathrm{cm}$；(2) 能折出底面积为$180\ \mathrm{cm}^2$的有盖盒子，盒子的体积为$180\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查一元二次方程的应用，解题关键是准确梳理折叠前后图形的边长关系，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，能够锻炼学生的数学建模能力和分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解裁去的正方形边长时，我们先设边长为未知数，折成无盖长方体盒子后，底面的长为原矩形长减去2倍正方形边长，底面的宽为原矩形宽减去2倍正方形边长，根据“矩形底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后要检验解是否符合实际意义，舍去使边长为负的不合理解。
(2) 判断能否折出符合要求的有盖盒子时，先设盒子的高为未知数，观察裁剪图可知原矩形长32cm对折后为16cm，因此盒子底面的长为(16-y)cm，底面的宽为原矩形宽减去2倍的高，同样根据底面积公式列方程求解，若存在符合实际的解则可折出，再用底面积乘高计算体积即可。
【解析】
(1) 设裁去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据题意得：
$(32-2x)(14-2x)=280$
整理得：$x^2-23x+42=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=21$
$\because$ 当$x=21$时，$14-2x=-28＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
(2) 能。
设折成的有盖盒子的高为$y\ \mathrm{cm}$，
则盒子底面的长为$(16-y)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(14-2y)\ \mathrm{cm}$，
根据题意得：
$(16-y)(14-2y)=180$
整理得：$y^2-23y+22=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=22$
$\because$ 当$y=22$时，$14-2y=-30＜0$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore y=1$，
盒子的体积为$180×1=180\ (\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) 裁去的正方形的边长为$2\ \mathrm{cm}$；(2) 能折出底面积为$180\ \mathrm{cm}^2$的有盖盒子，盒子的体积为$180\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查一元二次方程的应用，解题关键是准确梳理折叠前后图形的边长关系，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，能够锻炼学生的数学建模能力和分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
