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21. (10分)如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD的长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD。
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数。
(2)设BC=a,AC=b。
①线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根吗?请说明理由。
②若AD=EC,求$\frac{a}{b}$的值。
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数。
(2)设BC=a,AC=b。
①线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根吗?请说明理由。
②若AD=EC,求$\frac{a}{b}$的值。
答案
解：
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，
∴ ∠B = 90° - ∠A = 62°。
由作图可知BC=BD，
∴ ∠BCD = ∠BDC = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ B) = 59°$。
又∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD = 90° - ∠BCD = 90° - 59° = 31°。
(2) ① 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + b^2$。
由作图可知BD=BC=a，$AB = AD + BD = AD + a$，
∴ $(AD + a)^2 = a^2 + b^2$，
展开整理得：$AD^2 + 2a · AD - b^2 = 0$，
即$x=AD$满足方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$，
∴ 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根。
② 由作图可知$AE=AD$，
又∵ $AD=EC$，
∴ $AE=EC=AD$，
∴ $AC = AE + EC = 2AD = b$，即$AD = \frac{b}{2}$。
将$x=AD=\frac{b}{2}$代入方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$得：
$(\frac{b}{2})^2 + 2a · \frac{b}{2} - b^2 = 0$，
整理得：$ab = \frac{3}{4}b^2$，
∵ $b ≠ 0$，等式两边同时除以$b$得：$a = \frac{3}{4}b$，
∴ $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$。
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，
∴ ∠B = 90° - ∠A = 62°。
由作图可知BC=BD，
∴ ∠BCD = ∠BDC = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ B) = 59°$。
又∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD = 90° - ∠BCD = 90° - 59° = 31°。
(2) ① 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + b^2$。
由作图可知BD=BC=a，$AB = AD + BD = AD + a$，
∴ $(AD + a)^2 = a^2 + b^2$，
展开整理得：$AD^2 + 2a · AD - b^2 = 0$，
即$x=AD$满足方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$，
∴ 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根。
② 由作图可知$AE=AD$，
又∵ $AD=EC$，
∴ $AE=EC=AD$，
∴ $AC = AE + EC = 2AD = b$，即$AD = \frac{b}{2}$。
将$x=AD=\frac{b}{2}$代入方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$得：
$(\frac{b}{2})^2 + 2a · \frac{b}{2} - b^2 = 0$，
整理得：$ab = \frac{3}{4}b^2$，
∵ $b ≠ 0$，等式两边同时除以$b$得：$a = \frac{3}{4}b$，
∴ $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 求∠ACD的度数可先求∠BCD的度数：首先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据作图可知BC=BD，△BCD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出∠BCD，最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD。
(2) ①判断AD是否为方程的根，只需验证AD代入方程后等式是否成立：先利用勾股定理写出AB、AC、BC的关系，再结合作图可知BD=BC=a，AB=AD+BD，将AB用含AD的式子代入勾股定理等式，整理后若与所给方程形式一致，即可说明AD是方程的根。
②已知AD=EC，结合作图可知AE=AD，可推导出AC=2AD即AD=$\frac{b}{2}$，将AD的值代入①中的方程，化简后即可求出a与b的比值。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 62°$。
由作图可知BC=BD，
∴ $∠ BCD = ∠ BDC = \frac{1}{2} × (180° - ∠ B) = 59°$。
又
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD = 90° - ∠ BCD = 90° - 59° = 31°$。
(2) ① 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + b^2$。
由作图可知BD=BC=a，$AB = AD + BD = AD + a$，
∴ $(AD + a)^2 = a^2 + b^2$，
展开整理得：$AD^2 + 2a · AD - b^2 = 0$，
即$x=AD$满足方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$，
∴ 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根。
② 由作图可知$AE=AD$，
又
∵ $AD=EC$，
∴ $AE=EC=AD$，
∴ $AC = AE + EC = 2AD = b$，即$AD = \frac{b}{2}$。
将$x=AD=\frac{b}{2}$代入方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$得：
$(\frac{b}{2})^2 + 2a · \frac{b}{2} - b^2 = 0$，
整理得：$ab = \frac{3}{4}b^2$，
∵ $b ≠ 0$，等式两边同时除以$b$得：$a = \frac{3}{4}b$，
∴ $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{31°}$
(2) ① 是，理由见解析；② $\boxed{\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的根
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，难度设置层层递进，既考查了三角形相关性质、勾股定理等几何基础知识点，也考查了一元二次方程根的判定、代数化简等代数知识，能有效锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求∠ACD的度数可先求∠BCD的度数：首先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据作图可知BC=BD，△BCD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出∠BCD，最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD。
(2) ①判断AD是否为方程的根，只需验证AD代入方程后等式是否成立：先利用勾股定理写出AB、AC、BC的关系，再结合作图可知BD=BC=a，AB=AD+BD，将AB用含AD的式子代入勾股定理等式，整理后若与所给方程形式一致，即可说明AD是方程的根。
②已知AD=EC，结合作图可知AE=AD，可推导出AC=2AD即AD=$\frac{b}{2}$，将AD的值代入①中的方程，化简后即可求出a与b的比值。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 62°$。
由作图可知BC=BD，
∴ $∠ BCD = ∠ BDC = \frac{1}{2} × (180° - ∠ B) = 59°$。
又
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD = 90° - ∠ BCD = 90° - 59° = 31°$。
(2) ① 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + b^2$。
由作图可知BD=BC=a，$AB = AD + BD = AD + a$，
∴ $(AD + a)^2 = a^2 + b^2$，
展开整理得：$AD^2 + 2a · AD - b^2 = 0$，
即$x=AD$满足方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$，
∴ 线段AD的长是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根。
② 由作图可知$AE=AD$，
又
∵ $AD=EC$，
∴ $AE=EC=AD$，
∴ $AC = AE + EC = 2AD = b$，即$AD = \frac{b}{2}$。
将$x=AD=\frac{b}{2}$代入方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$得：
$(\frac{b}{2})^2 + 2a · \frac{b}{2} - b^2 = 0$，
整理得：$ab = \frac{3}{4}b^2$，
∵ $b ≠ 0$，等式两边同时除以$b$得：$a = \frac{3}{4}b$，
∴ $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{31°}$
(2) ① 是，理由见解析；② $\boxed{\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的根
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，难度设置层层递进，既考查了三角形相关性质、勾股定理等几何基础知识点，也考查了一元二次方程根的判定、代数化简等代数知识，能有效锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.65
22. (10分)阅读下面的例题,解答后面的问题。
例题:解方程 $x^2 - 2|x| - 3 = 0$。
解:当 $x ≥ 0$ 时,原方程可化为 $x^2 - 2x - 3 = 0$。解得 $x_1 = -1$(不合题意,舍去),$x_2 = 3$;
当 $x ＜ 0$ 时,原方程可化为 $x^2 + 2x - 3 = 0$。解得 $x_1 = 1$(不合题意,舍去),$x_2 = -3$。
综上所述,原方程的根是 $x_1 = 3, x_2 = -3$。
问题:(1)如果我们将原方程化为 $|x|^2 - 2|x| - 3 = 0$,可以求解吗?请你大胆试一试,写出求解过程。
(2)依照题目给出的例题解法,解方程 $x^2 + 2|x - 2| - 4 = 0$。
例题:解方程 $x^2 - 2|x| - 3 = 0$。
解:当 $x ≥ 0$ 时,原方程可化为 $x^2 - 2x - 3 = 0$。解得 $x_1 = -1$(不合题意,舍去),$x_2 = 3$;
当 $x ＜ 0$ 时,原方程可化为 $x^2 + 2x - 3 = 0$。解得 $x_1 = 1$(不合题意,舍去),$x_2 = -3$。
综上所述,原方程的根是 $x_1 = 3, x_2 = -3$。
问题:(1)如果我们将原方程化为 $|x|^2 - 2|x| - 3 = 0$,可以求解吗?请你大胆试一试,写出求解过程。
(2)依照题目给出的例题解法,解方程 $x^2 + 2|x - 2| - 4 = 0$。
答案
解：(1) 可以求解，过程如下：
原方程化为$|x|^2 - 2|x| - 3 = 0$，
因式分解得：$(|x|-3)(|x|+1)=0$，
所以$|x|=3$或$|x|=-1$。
由绝对值的非负性可知$|x|=-1$不符合题意，舍去，
因此$|x|=3$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 解方程$x^2 + 2|x - 2| - 4 = 0$：
当$x≥2$时，$|x-2|=x-2$，原方程可化为：
$x^2 + 2(x-2) - 4 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，
解得$x_1=-4$（不合题意，舍去），$x_2=2$；
当$x＜2$时，$|x-2|=2-x$，原方程可化为：
$x^2 + 2(2-x) - 4 = 0$，
整理得$x^2 - 2x = 0$，
因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$（不合题意，舍去）。
综上所述，原方程的根是$x_1=2$，$x_2=0$。
原方程化为$|x|^2 - 2|x| - 3 = 0$，
因式分解得：$(|x|-3)(|x|+1)=0$，
所以$|x|=3$或$|x|=-1$。
由绝对值的非负性可知$|x|=-1$不符合题意，舍去，
因此$|x|=3$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 解方程$x^2 + 2|x - 2| - 4 = 0$：
当$x≥2$时，$|x-2|=x-2$，原方程可化为：
$x^2 + 2(x-2) - 4 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，
解得$x_1=-4$（不合题意，舍去），$x_2=2$；
当$x＜2$时，$|x-2|=2-x$，原方程可化为：
$x^2 + 2(2-x) - 4 = 0$，
整理得$x^2 - 2x = 0$，
因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$（不合题意，舍去）。
综上所述，原方程的根是$x_1=2$，$x_2=0$。
解析
【分析】
（1）第一问中，根据平方的性质可知对任意实数x都有$x^2=|x|^2$，因此可将$|x|$看作整体，先解关于$|x|$的一元二次方程，再结合绝对值的非负性舍去不符合要求的解，最终得到x的取值。
（2）第二问中绝对值内为$x-2$，需先找到绝对值的零点$x=2$，分$x≥2$和$x＜2$两类讨论，去掉绝对值符号后转化为普通一元二次方程求解，最后验证所求根是否符合对应分类的取值范围，舍去不合题意的根即可。
【解析】
(1) 可以求解，过程如下：
原方程化为$|x|^2 - 2|x| - 3 = 0$，
因式分解得：$(|x|-3)(|x|+1)=0$，
所以$|x|=3$或$|x|=-1$。
由绝对值的非负性可知$|x|=-1$不符合题意，舍去，
因此$|x|=3$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 解方程$x^2 + 2|x - 2| - 4 = 0$：
当$x≥2$时，$|x-2|=x-2$，原方程可化为：
$x^2 + 2(x-2) - 4 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，
解得$x_1=-4$（不合题意，舍去），$x_2=2$；
当$x＜2$时，$|x-2|=2-x$，原方程可化为：
$x^2 + 2(2-x) - 4 = 0$，
整理得$x^2 - 2x = 0$，
因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$（不合题意，舍去）。
综上所述，原方程的根是$x_1=2$，$x_2=0$。
【答案】
(1) 可以求解，原方程的根为$x_1=3,x_2=-3$；
(2) 原方程的根为$x_1=2,x_2=0$。
【知识点】
1. 含绝对值方程求解
2. 一元二次方程解法
3. 绝对值的性质
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想与整体代换思想的应用，解题关键是根据绝对值的性质合理划分取值区间，将含绝对值的特殊方程转化为常规一元二次方程求解，最后要注意检验根是否符合对应区间的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）第一问中，根据平方的性质可知对任意实数x都有$x^2=|x|^2$，因此可将$|x|$看作整体，先解关于$|x|$的一元二次方程，再结合绝对值的非负性舍去不符合要求的解，最终得到x的取值。
（2）第二问中绝对值内为$x-2$，需先找到绝对值的零点$x=2$，分$x≥2$和$x＜2$两类讨论，去掉绝对值符号后转化为普通一元二次方程求解，最后验证所求根是否符合对应分类的取值范围，舍去不合题意的根即可。
【解析】
(1) 可以求解，过程如下：
原方程化为$|x|^2 - 2|x| - 3 = 0$，
因式分解得：$(|x|-3)(|x|+1)=0$，
所以$|x|=3$或$|x|=-1$。
由绝对值的非负性可知$|x|=-1$不符合题意，舍去，
因此$|x|=3$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 解方程$x^2 + 2|x - 2| - 4 = 0$：
当$x≥2$时，$|x-2|=x-2$，原方程可化为：
$x^2 + 2(x-2) - 4 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，
解得$x_1=-4$（不合题意，舍去），$x_2=2$；
当$x＜2$时，$|x-2|=2-x$，原方程可化为：
$x^2 + 2(2-x) - 4 = 0$，
整理得$x^2 - 2x = 0$，
因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$（不合题意，舍去）。
综上所述，原方程的根是$x_1=2$，$x_2=0$。
【答案】
(1) 可以求解，原方程的根为$x_1=3,x_2=-3$；
(2) 原方程的根为$x_1=2,x_2=0$。
【知识点】
1. 含绝对值方程求解
2. 一元二次方程解法
3. 绝对值的性质
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想与整体代换思想的应用，解题关键是根据绝对值的性质合理划分取值区间，将含绝对值的特殊方程转化为常规一元二次方程求解，最后要注意检验根是否符合对应区间的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
