登录
23. (11分)如图4,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,当一点到达终点时另一点也停止运动。
(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么出发几秒时,△PBQ的面积为4 cm²?
(2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么出发几秒时,PQ的长度为5 cm?
(3)在(1)中,△PBQ的面积能否为7 cm²?请说明理由。
(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么出发几秒时,△PBQ的面积为4 cm²?
(2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么出发几秒时,PQ的长度为5 cm?
(3)在(1)中,△PBQ的面积能否为7 cm²?请说明理由。
答案
解：设点P、Q的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意可知点Q到达终点C所需时间为$ 7÷2=3.5 \, \mathrm{s} $，点P到达终点B所需时间为$ 5÷1=5 \, \mathrm{s} $，因此$ t $的取值范围是$ 0≤ t≤ 3.5 $。
(1) 此时$ AP = t \, \mathrm{cm} $，$ PB=(5-t) \, \mathrm{cm} $，$ BQ=2t \, \mathrm{cm} $。
由$ S_{△ PBQ}=4 \, \mathrm{cm}^2 $，得：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t = 4$
整理得：$ t^2 -5t +4=0 $，
解得$ t_1=1 $，$ t_2=4 $。
$\because 0≤ t≤ 3.5$，$\therefore t=4$不符合题意，舍去。
答：出发1秒时，$△ PBQ$的面积为$ 4 \, \mathrm{cm}^2 $。
(2) 在$ \mathrm{Rt}△ PBQ $中，由勾股定理得$ PB^2 + BQ^2 = PQ^2 $，代入$ PQ=5 \, \mathrm{cm} $得：
$(5-t)^2 + (2t)^2 = 5^2$
整理得：$ 5t^2 -10t=0 $，
解得$ t_1=0 $，$ t_2=2 $。
$\because t=0$为初始时刻，不符合题意，舍去，且$ t=2 $在取值范围内。
答：出发2秒时，$ PQ $的长度为$ 5 \, \mathrm{cm} $。
(3) $△ PBQ$的面积不能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $，理由如下：
假设$△ PBQ$的面积能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $，则：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t =7$
整理得：$ t^2 -5t +7=0 $，
该方程的判别式$ \Delta=(-5)^2 -4×1×7=-3＜0 $，此方程无实数根，
因此$△ PBQ$的面积不能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $。
(1) 此时$ AP = t \, \mathrm{cm} $，$ PB=(5-t) \, \mathrm{cm} $，$ BQ=2t \, \mathrm{cm} $。
由$ S_{△ PBQ}=4 \, \mathrm{cm}^2 $，得：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t = 4$
整理得：$ t^2 -5t +4=0 $，
解得$ t_1=1 $，$ t_2=4 $。
$\because 0≤ t≤ 3.5$，$\therefore t=4$不符合题意，舍去。
答：出发1秒时，$△ PBQ$的面积为$ 4 \, \mathrm{cm}^2 $。
(2) 在$ \mathrm{Rt}△ PBQ $中，由勾股定理得$ PB^2 + BQ^2 = PQ^2 $，代入$ PQ=5 \, \mathrm{cm} $得：
$(5-t)^2 + (2t)^2 = 5^2$
整理得：$ 5t^2 -10t=0 $，
解得$ t_1=0 $，$ t_2=2 $。
$\because t=0$为初始时刻，不符合题意，舍去，且$ t=2 $在取值范围内。
答：出发2秒时，$ PQ $的长度为$ 5 \, \mathrm{cm} $。
(3) $△ PBQ$的面积不能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $，理由如下：
假设$△ PBQ$的面积能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $，则：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t =7$
整理得：$ t^2 -5t +7=0 $，
该方程的判别式$ \Delta=(-5)^2 -4×1×7=-3＜0 $，此方程无实数根，
因此$△ PBQ$的面积不能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $。
解析
【分析】
这是一道动点结合一元二次方程的几何应用问题，解题思路如下：1. 先确定运动时间的取值范围：先计算两个点各自到达终点的时间，取较小值作为t的最大值，明确t的合理范围；2. 第(1)问求三角形面积问题：△PBQ是直角三角形，两条直角边PB、BQ都可以用含t的代数式表示，结合三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去不符合t范围的根即可；3. 第(2)问求线段长度问题：在Rt△PBQ中利用勾股定理，代入PQ、PB、BQ的关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的根；4. 第(3)问存在性问题：先假设面积能为7cm²，按面积公式列方程，通过判断一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，即可得出结论。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意可知点Q到达终点C所需时间为$ 7÷2=3.5 \, \mathrm{s} $，点P到达终点B所需时间为$ 5÷1=5 \, \mathrm{s} $，因此$ t $的取值范围是$ 0≤ t≤ 3.5 $。
(1) 由运动规律可得$ AP = t \, \mathrm{cm} $，$ PB=(5-t) \, \mathrm{cm} $，$ BQ=2t \, \mathrm{cm} $。
根据三角形面积公式得$ S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} · PB · BQ $，代入$ S_{△ PBQ}=4 \, \mathrm{cm}^2 $，得：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t = 4$
整理得：$ t^2 -5t +4=0 $，
解得$ t_1=1 $，$ t_2=4 $。
$\because 0≤ t≤ 3.5$，$\therefore t=4$不符合题意，舍去。
(2) 在$ \mathrm{Rt}△ PBQ $中，由勾股定理得$ PB^2 + BQ^2 = PQ^2 $，代入$ PQ=5 \, \mathrm{cm} $得：
$(5-t)^2 + (2t)^2 = 5^2$
整理得：$ 5t^2 -10t=0 $，
解得$ t_1=0 $，$ t_2=2 $。
$\because t=0$为初始时刻，不符合题意，舍去，且$ t=2 $在取值范围内。
(3) 假设$△ PBQ$的面积能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $，根据面积公式列方程得：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t =7$
整理得：$ t^2 -5t +7=0 $，
该方程的判别式$ \Delta=(-5)^2 -4×1×7=-3＜0 $，此方程无实数根，因此$△ PBQ$的面积不能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1) 出发1秒时，$△ PBQ$的面积为$ 4 \, \mathrm{cm}^2 $；
(2) 出发2秒时，$ PQ $的长度为$ 5 \, \mathrm{cm} $；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是动点与几何的综合题，重点考查动态过程中变量的表示方法，需要结合几何图形的性质列方程求解，解题时要注意方程的解必须符合实际运动的取值范围，同时要掌握利用根的判别式判断方程是否有实根来解决存在性问题的方法。
【难度系数】
0.7
这是一道动点结合一元二次方程的几何应用问题，解题思路如下：1. 先确定运动时间的取值范围：先计算两个点各自到达终点的时间，取较小值作为t的最大值，明确t的合理范围；2. 第(1)问求三角形面积问题：△PBQ是直角三角形，两条直角边PB、BQ都可以用含t的代数式表示，结合三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去不符合t范围的根即可；3. 第(2)问求线段长度问题：在Rt△PBQ中利用勾股定理，代入PQ、PB、BQ的关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的根；4. 第(3)问存在性问题：先假设面积能为7cm²，按面积公式列方程，通过判断一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，即可得出结论。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意可知点Q到达终点C所需时间为$ 7÷2=3.5 \, \mathrm{s} $，点P到达终点B所需时间为$ 5÷1=5 \, \mathrm{s} $，因此$ t $的取值范围是$ 0≤ t≤ 3.5 $。
(1) 由运动规律可得$ AP = t \, \mathrm{cm} $，$ PB=(5-t) \, \mathrm{cm} $，$ BQ=2t \, \mathrm{cm} $。
根据三角形面积公式得$ S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} · PB · BQ $，代入$ S_{△ PBQ}=4 \, \mathrm{cm}^2 $，得：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t = 4$
整理得：$ t^2 -5t +4=0 $，
解得$ t_1=1 $，$ t_2=4 $。
$\because 0≤ t≤ 3.5$，$\therefore t=4$不符合题意，舍去。
(2) 在$ \mathrm{Rt}△ PBQ $中，由勾股定理得$ PB^2 + BQ^2 = PQ^2 $，代入$ PQ=5 \, \mathrm{cm} $得：
$(5-t)^2 + (2t)^2 = 5^2$
整理得：$ 5t^2 -10t=0 $，
解得$ t_1=0 $，$ t_2=2 $。
$\because t=0$为初始时刻，不符合题意，舍去，且$ t=2 $在取值范围内。
(3) 假设$△ PBQ$的面积能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $，根据面积公式列方程得：
$\frac{1}{2} · (5-t) · 2t =7$
整理得：$ t^2 -5t +7=0 $，
该方程的判别式$ \Delta=(-5)^2 -4×1×7=-3＜0 $，此方程无实数根，因此$△ PBQ$的面积不能为$ 7 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1) 出发1秒时，$△ PBQ$的面积为$ 4 \, \mathrm{cm}^2 $；
(2) 出发2秒时，$ PQ $的长度为$ 5 \, \mathrm{cm} $；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是动点与几何的综合题，重点考查动态过程中变量的表示方法，需要结合几何图形的性质列方程求解，解题时要注意方程的解必须符合实际运动的取值范围，同时要掌握利用根的判别式判断方程是否有实根来解决存在性问题的方法。
【难度系数】
0.7
