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1.(2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是 （）
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等
答案
A
解析
【分析】
拿到本题，首先需回忆矩形、菱形的性质，二者均属于特殊的平行四边形，先明确二者的共有性质和独有性质，再逐一比对选项：首先平行四边形的共有性质是对角线互相平分、对角相等、对边平行且相等，这类性质是二者都具备的，可先排除对应选项；再对比二者独有性质：矩形独有性质为对角线相等、四个角均为直角，菱形独有性质为四条边相等、对角线互相垂直、对角线平分每组内角，由此即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们先分别明确矩形和菱形的性质：
1. 矩形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，四个角都是直角；
2. 菱形的性质：对角相等，对边平行，四条边都相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
接下来逐一分析选项：
选项A：对角线相等，是矩形具有而普通菱形不具有的性质，符合题意；
选项B：对角线互相平分，是矩形和菱形作为平行四边形共有的性质，不符合题意；
选项C：对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，不符合题意；
选项D：对角相等，是矩形和菱形共有的性质，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质、特殊平行四边形辨析
【点评】
本题考查矩形与菱形的性质差异，属于基础题，解题的核心是熟记两类特殊平行四边形的性质，清晰区分共有性质和独有性质，避免概念混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到本题，首先需回忆矩形、菱形的性质，二者均属于特殊的平行四边形，先明确二者的共有性质和独有性质，再逐一比对选项：首先平行四边形的共有性质是对角线互相平分、对角相等、对边平行且相等，这类性质是二者都具备的，可先排除对应选项；再对比二者独有性质：矩形独有性质为对角线相等、四个角均为直角，菱形独有性质为四条边相等、对角线互相垂直、对角线平分每组内角，由此即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们先分别明确矩形和菱形的性质：
1. 矩形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，四个角都是直角；
2. 菱形的性质：对角相等，对边平行，四条边都相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
接下来逐一分析选项：
选项A：对角线相等，是矩形具有而普通菱形不具有的性质，符合题意；
选项B：对角线互相平分，是矩形和菱形作为平行四边形共有的性质，不符合题意；
选项C：对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，不符合题意；
选项D：对角相等，是矩形和菱形共有的性质，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质、特殊平行四边形辨析
【点评】
本题考查矩形与菱形的性质差异，属于基础题，解题的核心是熟记两类特殊平行四边形的性质，清晰区分共有性质和独有性质，避免概念混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. (2025·北京)若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则实数$a$的值为 ()
A.-4
B.-1
C.1
D.4
A.-4
B.-1
C.1
D.4
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目给出的是一元二次方程，首先要满足二次项系数不为0的隐含条件；其次，一元二次方程有两个相等的实数根，对应根的判别式Δ=0，我们只需代入对应系数列方程求解，最后验证结果满足二次项系数不为0的要求即可。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$2^2 - 4 × a × 1 = 0$，
即$4 - 4a = 0$，
解得$a=1$，
经检验，$a=1 ≠ 0$，符合要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确题目给出的是一元二次方程，首先要满足二次项系数不为0的隐含条件；其次，一元二次方程有两个相等的实数根，对应根的判别式Δ=0，我们只需代入对应系数列方程求解，最后验证结果满足二次项系数不为0的要求即可。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$2^2 - 4 × a × 1 = 0$，
即$4 - 4a = 0$，
解得$a=1$，
经检验，$a=1 ≠ 0$，符合要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
3. (2024·辽宁)如图1,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB= ()
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$120°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$120°$
答案
C
解析
【分析】
解题时可先结合矩形的性质得到对边平行的关系，再利用平行线的内错角相等将待求角∠AEB转化为等边三角形的内角∠EBC，最后结合等边三角形的内角特征即可求出角度。具体思考步骤：第一步回忆矩形的性质，确定AD与BC的位置关系；第二步回忆等边三角形的内角特点；第三步利用平行线的角度关系建立待求角和已知角的联系，代入计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC（矩形的对边互相平行），
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵△EBC是等边三角形，
∴∠EBC=60°（等边三角形的三个内角均为60°），
∴∠AEB=60°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将矩形与等边三角形的性质结合考查，只要熟练掌握常见基本图形的性质，就能快速找到角度关系完成求解。
【难度系数】
0.8
解题时可先结合矩形的性质得到对边平行的关系，再利用平行线的内错角相等将待求角∠AEB转化为等边三角形的内角∠EBC，最后结合等边三角形的内角特征即可求出角度。具体思考步骤：第一步回忆矩形的性质，确定AD与BC的位置关系；第二步回忆等边三角形的内角特点；第三步利用平行线的角度关系建立待求角和已知角的联系，代入计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC（矩形的对边互相平行），
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵△EBC是等边三角形，
∴∠EBC=60°（等边三角形的三个内角均为60°），
∴∠AEB=60°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将矩形与等边三角形的性质结合考查，只要熟练掌握常见基本图形的性质，就能快速找到角度关系完成求解。
【难度系数】
0.8
4. 已知方程$x^2 -6x + q=0$配方后是$(x-p)^2=7$，那么方程$x^2 +6x + q=0$配方后是（）
A.$(x-3)^2=5$
B.$(x+3)^2=5$
C.$(x-3)^2=9$
D.$(x+3)^2=7$
A.$(x-3)^2=5$
B.$(x+3)^2=5$
C.$(x-3)^2=9$
D.$(x+3)^2=7$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先回忆配方法的操作步骤：先移项，再在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方。我们可以先对第一个已知方程配方，和题目给出的配方形式对比求出参数q的值，再把q代入第二个待求方程，按配方法步骤完成配方，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：求参数q的值
对已知方程$x^2 -6x + q=0$进行配方：
移项得：$x^2 -6x = -q$
两边同时加一次项系数$-6$一半的平方$3^2=9$，可得：
$x^2 -6x +9 = 9 - q$，即$\boldsymbol{(x-3)^2 = 9 - q}$
已知该方程配方后是$(x-p)^2=7$，对应可得$9 - q =7$，解得$q=2$。
第二步：对目标方程$x^2 +6x + q=0$配方
把$q=2$代入目标方程，得$x^2 +6x +2=0$
移项得：$x^2 +6x = -2$
两边同时加一次项系数$6$一半的平方$3^2=9$，可得：
$x^2 +6x +9 = -2 +9$
整理得：$\boldsymbol{(x+3)^2=7}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.代数式恒等变形
【点评】
本题主要考查配方法的应用，解题关键是先通过已知的配方形式求出参数q的值，再对目标方程进行配方计算，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先回忆配方法的操作步骤：先移项，再在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方。我们可以先对第一个已知方程配方，和题目给出的配方形式对比求出参数q的值，再把q代入第二个待求方程，按配方法步骤完成配方，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：求参数q的值
对已知方程$x^2 -6x + q=0$进行配方：
移项得：$x^2 -6x = -q$
两边同时加一次项系数$-6$一半的平方$3^2=9$，可得：
$x^2 -6x +9 = 9 - q$，即$\boldsymbol{(x-3)^2 = 9 - q}$
已知该方程配方后是$(x-p)^2=7$，对应可得$9 - q =7$，解得$q=2$。
第二步：对目标方程$x^2 +6x + q=0$配方
把$q=2$代入目标方程，得$x^2 +6x +2=0$
移项得：$x^2 +6x = -2$
两边同时加一次项系数$6$一半的平方$3^2=9$，可得：
$x^2 +6x +9 = -2 +9$
整理得：$\boldsymbol{(x+3)^2=7}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.代数式恒等变形
【点评】
本题主要考查配方法的应用，解题关键是先通过已知的配方形式求出参数q的值，再对目标方程进行配方计算，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. (2024·海南)，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是 ()
A.1
B.$1-\sqrt{3}$
C.0
D.$3-2\sqrt{3}$
A.1
B.$1-\sqrt{3}$
C.0
D.$3-2\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，需先明确解题逻辑：已知点E表示的数，要求点A表示的数，只需要求出A、E两点的距离，再结合数轴上点的位置关系推导即可。由旋转的性质可知AE=AC，因此核心是先求出对角线AC的长度。我们可以利用菱形的边长相等得到△ABC是等腰三角形，结合已知的∠ABC=120°，通过作高构造直角三角形，用勾股定理算出AC的长度，后续就能顺利求出A点对应的数。
【解析】
1. 连接AC，过点B作BF⊥AC于点F。
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为2，
∴ AB=BC=2，
又
∵ ∠ABC=120°，等腰△ABC中BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=60°，∠BAF=30°，
在Rt△ABF中，30°角对的直角边等于斜边的一半，因此BF=$\frac{1}{2}$AB=1，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2 - BF^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴ $AC=2AF=2\sqrt{3}$。
2. 由旋转的性质可得：$AE=AC=2\sqrt{3}$。
3. 设点A表示的数为x，由顺时针旋转可知点E在点A的右侧，因此点E表示的数为$x+AE$，
已知点E表示的数为3，列方程得：
$x + 2\sqrt{3} = 3$
解得$x=3 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何与数轴结合的典型题型，解题关键是通过菱形和旋转的性质将未知的线段AE转化为可求的线段AC，再结合数轴的特点计算即可，整体解题思路清晰，考查的都是基础性质的综合应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先明确解题逻辑：已知点E表示的数，要求点A表示的数，只需要求出A、E两点的距离，再结合数轴上点的位置关系推导即可。由旋转的性质可知AE=AC，因此核心是先求出对角线AC的长度。我们可以利用菱形的边长相等得到△ABC是等腰三角形，结合已知的∠ABC=120°，通过作高构造直角三角形，用勾股定理算出AC的长度，后续就能顺利求出A点对应的数。
【解析】
1. 连接AC，过点B作BF⊥AC于点F。
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为2，
∴ AB=BC=2，
又
∵ ∠ABC=120°，等腰△ABC中BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=60°，∠BAF=30°，
在Rt△ABF中，30°角对的直角边等于斜边的一半，因此BF=$\frac{1}{2}$AB=1，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2 - BF^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴ $AC=2AF=2\sqrt{3}$。
2. 由旋转的性质可得：$AE=AC=2\sqrt{3}$。
3. 设点A表示的数为x，由顺时针旋转可知点E在点A的右侧，因此点E表示的数为$x+AE$，
已知点E表示的数为3，列方程得：
$x + 2\sqrt{3} = 3$
解得$x=3 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何与数轴结合的典型题型，解题关键是通过菱形和旋转的性质将未知的线段AE转化为可求的线段AC，再结合数轴的特点计算即可，整体解题思路清晰，考查的都是基础性质的综合应用。
【难度系数】
0.6
6. (2025·绥化)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个夹角为$60°$，则这个矩形的面积是 ()
A.25
B.$25\sqrt{3}$
C.$25\sqrt{5}$
D.$50\sqrt{3}$
A.25
B.$25\sqrt{3}$
C.$25\sqrt{5}$
D.$50\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合矩形对角线的性质思考：矩形对角线相等且互相平分，因此两条对角线将矩形分割为4个等腰三角形，已知对角线总长为10，可先算出半条对角线的长度为5；再结合对角线夹角为60°的条件，可判定夹60°角的两条半对角线和矩形短边构成等边三角形，由此得到矩形短边的长度；最后利用勾股定理求出长边长度，代入矩形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵四边形是矩形，对角线长为10
∴矩形对角线相等且互相平分，可得半条对角线的长度为$10÷2=5$
∵两条对角线的一个夹角为$60°$，夹这个角的两条半对角线长度相等，均为5
∴该夹角对应的三角形为等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），即矩形的短边长为5
根据勾股定理，矩形的长边长为$\sqrt{10^2 - 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$
矩形面积 = 长×宽 = $5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$
故选B
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的基础题，解题核心是通过对角线的性质和特殊角度确定矩形短边的长度，再结合勾股定理完成计算，掌握特殊几何图形的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形对角线的性质思考：矩形对角线相等且互相平分，因此两条对角线将矩形分割为4个等腰三角形，已知对角线总长为10，可先算出半条对角线的长度为5；再结合对角线夹角为60°的条件，可判定夹60°角的两条半对角线和矩形短边构成等边三角形，由此得到矩形短边的长度；最后利用勾股定理求出长边长度，代入矩形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵四边形是矩形，对角线长为10
∴矩形对角线相等且互相平分，可得半条对角线的长度为$10÷2=5$
∵两条对角线的一个夹角为$60°$，夹这个角的两条半对角线长度相等，均为5
∴该夹角对应的三角形为等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），即矩形的短边长为5
根据勾股定理，矩形的长边长为$\sqrt{10^2 - 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$
矩形面积 = 长×宽 = $5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$
故选B
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的基础题，解题核心是通过对角线的性质和特殊角度确定矩形短边的长度，再结合勾股定理完成计算，掌握特殊几何图形的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x$的一元二次方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
答案
C
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①回忆菱形面积公式：面积等于两条对角线乘积的一半，结合已知面积可先求出两条对角线的乘积；②已知两条对角线是给定一元二次方程的两个实根，根据韦达定理（根与系数的关系）可直接得到两条对角线的和；③菱形对角线互相垂直平分，因此边长可通过勾股定理，结合两条对角线的一半计算，计算时可利用完全平方公式将对角线平方和转化为两根和、两根积的形式，代入数值即可求出边长。
【解析】
设该菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
1. 根据菱形面积公式可得：$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
2. 因为$a$、$b$是一元二次方程$x^2-10x+m=0$的两个实数根，由根与系数的关系得：$a+b=10$，$ab=m$，结合$ab=22$可知$m=22$。
3. 菱形的对角线互相垂直平分，因此菱形边长$l$满足勾股定理：
$l=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}$
对根号内的式子变形：
$(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+b^2}{4}=\frac{(a+b)^2-2ab}{4}$
将$a+b=10$、$ab=22$代入得：
$\frac{10^2-2×22}{4}=\frac{100-44}{4}=14$
因此$l=\sqrt{14}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题是几何与代数的基础综合题，解题的核心是熟练掌握菱形的相关性质，同时能灵活运用完全平方公式对代数式进行变形，将方程根的关系和几何计算结合起来。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①回忆菱形面积公式：面积等于两条对角线乘积的一半，结合已知面积可先求出两条对角线的乘积；②已知两条对角线是给定一元二次方程的两个实根，根据韦达定理（根与系数的关系）可直接得到两条对角线的和；③菱形对角线互相垂直平分，因此边长可通过勾股定理，结合两条对角线的一半计算，计算时可利用完全平方公式将对角线平方和转化为两根和、两根积的形式，代入数值即可求出边长。
【解析】
设该菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
1. 根据菱形面积公式可得：$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
2. 因为$a$、$b$是一元二次方程$x^2-10x+m=0$的两个实数根，由根与系数的关系得：$a+b=10$，$ab=m$，结合$ab=22$可知$m=22$。
3. 菱形的对角线互相垂直平分，因此菱形边长$l$满足勾股定理：
$l=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}$
对根号内的式子变形：
$(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+b^2}{4}=\frac{(a+b)^2-2ab}{4}$
将$a+b=10$、$ab=22$代入得：
$\frac{10^2-2×22}{4}=\frac{100-44}{4}=14$
因此$l=\sqrt{14}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题是几何与代数的基础综合题，解题的核心是熟练掌握菱形的相关性质，同时能灵活运用完全平方公式对代数式进行变形，将方程根的关系和几何计算结合起来。
【难度系数】
0.7
8. 定义:给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍,则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”。当已知矩形的长和宽分别为2 cm和1 cm时,设其“加倍矩形”的一边长为x cm,则根据题意列出的方程是 ()
A.$x[2×(2+1)-x]=2×2×1$
B.$x[(2+1)-x]=2×2×1$
C.$x[2×(2+1)-x]=2×1$
D.$x[(2+1)-x]=2×1$
A.$x[2×(2+1)-x]=2×2×1$
B.$x[(2+1)-x]=2×2×1$
C.$x[2×(2+1)-x]=2×1$
D.$x[(2+1)-x]=2×1$
答案
A
解析
【分析】
首先要准确理解“加倍矩形”的定义：其周长是已知矩形周长的2倍，面积也是已知矩形面积的2倍。解题时先计算已知矩形的周长和面积，再根据“加倍”要求得到新矩形的周长和面积，最后结合新矩形的已知边长x，用周长公式表示出另一边长，利用面积相等的等量关系列出方程即可。
【解析】
第一步：计算已知矩形的周长和面积
已知原矩形长为2cm，宽为1cm，
则原矩形周长：$ C_{原}=2×(2+1)=6\mathrm{cm} $，
原矩形面积：$ S_{原}=2×1=2\mathrm{cm}^2 $。
第二步：计算“加倍矩形”的周长和面积
根据定义，“加倍矩形”的周长为原周长的2倍，面积为原面积的2倍，
所以$ C_{加}=2× C_{原}=12\mathrm{cm} $，$ S_{加}=2× S_{原}=4\mathrm{cm}^2 $。
第三步：表示“加倍矩形”的另一边长，列方程
设“加倍矩形”的一边长为x cm，根据矩形周长公式$ C=2×(长+宽) $，可得另一边长为$ \frac{C_{加}}{2}-x = 6 - x = 2×(2+1)-x $。
再根据矩形面积公式，可列方程：$ x[2×(2+1)-x]=2×2×1 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义问题，矩形周长与面积计算，列一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的含义，结合矩形的周长、面积公式找到等量关系，列方程时要注意不要混淆加倍前后的周长和面积。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解“加倍矩形”的定义：其周长是已知矩形周长的2倍，面积也是已知矩形面积的2倍。解题时先计算已知矩形的周长和面积，再根据“加倍”要求得到新矩形的周长和面积，最后结合新矩形的已知边长x，用周长公式表示出另一边长，利用面积相等的等量关系列出方程即可。
【解析】
第一步：计算已知矩形的周长和面积
已知原矩形长为2cm，宽为1cm，
则原矩形周长：$ C_{原}=2×(2+1)=6\mathrm{cm} $，
原矩形面积：$ S_{原}=2×1=2\mathrm{cm}^2 $。
第二步：计算“加倍矩形”的周长和面积
根据定义，“加倍矩形”的周长为原周长的2倍，面积为原面积的2倍，
所以$ C_{加}=2× C_{原}=12\mathrm{cm} $，$ S_{加}=2× S_{原}=4\mathrm{cm}^2 $。
第三步：表示“加倍矩形”的另一边长，列方程
设“加倍矩形”的一边长为x cm，根据矩形周长公式$ C=2×(长+宽) $，可得另一边长为$ \frac{C_{加}}{2}-x = 6 - x = 2×(2+1)-x $。
再根据矩形面积公式，可列方程：$ x[2×(2+1)-x]=2×2×1 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义问题，矩形周长与面积计算，列一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的含义，结合矩形的周长、面积公式找到等量关系，列方程时要注意不要混淆加倍前后的周长和面积。
【难度系数】
0.7
