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9. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，下列说法:①若$a+b+c=0$,则$b^2-4ac≥0$;②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根;③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立。其中正确的有 ()
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
A
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程根的定义和根的判别式，对三个说法逐一验证：
1. 验证①：若a+b+c=0，说明x=1是方程$ax^2+bx+c=0$的实根，存在实根的一元二次方程判别式必然大于等于0，可判断①正确；
2. 验证②：先由方程$ax^2+c=0$有两个不相等实根得出判别式的取值，再代入原方程的判别式分析取值，即可判断②是否正确；
3. 验证③：将x=c代入原方程，因式分解后分情况讨论，可判断③是否一定成立。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析①：当x=1时，代入方程$ax^2+bx+c=0$可得$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c=0$，说明x=1是方程的一个实根，因此一元二次方程有实根，故判别式$b^2-4ac≥0$，①正确；
2. 分析②：方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，其判别式$\Delta_1=0^2 - 4ac = -4ac ＞ 0$。对于方程$ax^2+bx+c=0$，它的判别式$\Delta_2=b^2 - 4ac$，由于$b^2≥0$，且$-4ac＞0$，因此$\Delta_2=b^2 + (-4ac) ＞ 0$，故方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，②正确；
3. 分析③：若c是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，将x=c代入方程得：$a·c^2 + b·c + c = 0$，提取公因式c得$c(ac + b + 1)=0$，因此有两种情况：$c=0$或$ac+b+1=0$，并非一定有$ac+b+1=0$，③错误。
综上，正确的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，需要学生熟练掌握一元二次方程根的性质和判别式的应用，易错点为分析第三个说法时容易忽略c=0的特殊情况，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7
本题需结合一元二次方程根的定义和根的判别式，对三个说法逐一验证：
1. 验证①：若a+b+c=0，说明x=1是方程$ax^2+bx+c=0$的实根，存在实根的一元二次方程判别式必然大于等于0，可判断①正确；
2. 验证②：先由方程$ax^2+c=0$有两个不相等实根得出判别式的取值，再代入原方程的判别式分析取值，即可判断②是否正确；
3. 验证③：将x=c代入原方程，因式分解后分情况讨论，可判断③是否一定成立。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析①：当x=1时，代入方程$ax^2+bx+c=0$可得$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c=0$，说明x=1是方程的一个实根，因此一元二次方程有实根，故判别式$b^2-4ac≥0$，①正确；
2. 分析②：方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，其判别式$\Delta_1=0^2 - 4ac = -4ac ＞ 0$。对于方程$ax^2+bx+c=0$，它的判别式$\Delta_2=b^2 - 4ac$，由于$b^2≥0$，且$-4ac＞0$，因此$\Delta_2=b^2 + (-4ac) ＞ 0$，故方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，②正确；
3. 分析③：若c是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，将x=c代入方程得：$a·c^2 + b·c + c = 0$，提取公因式c得$c(ac + b + 1)=0$，因此有两种情况：$c=0$或$ac+b+1=0$，并非一定有$ac+b+1=0$，③错误。
综上，正确的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，需要学生熟练掌握一元二次方程根的性质和判别式的应用，易错点为分析第三个说法时容易忽略c=0的特殊情况，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7
10. 如图3,在菱形ABCD中,E是边CD的中点,EF垂直AB交AB的延长线于点F,若$BF:CE=1:2$,$EF=\sqrt{7}$,则菱形ABCD的边长是 ()
A.3
B.4
C.5
D.$\dfrac{4}{5}\sqrt{7}$
A.3
B.4
C.5
D.$\dfrac{4}{5}\sqrt{7}$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对边平行。我们可以通过设未知数简化计算：设$BF=x$，由$BF:CE=1:2$得$CE=2x$，结合E是CD中点，可得菱形边长为$4x$。接下来构造辅助线：过E作$EM// AD$交AB于M，由$CD// AB$可证四边形AMED是平行四边形，得到$EM=$边长$=4x$，$AM=DE=2x$，进而算出$MF=MB+BF=3x$。最后在$Rt△ EMF$中利用勾股定理列方程求解x，即可得到菱形边长。
【解析】
设$BF=x$，
$\because BF:CE=1:2$，$\therefore CE=2x$，
$\because$ 四边形ABCD是菱形，$\therefore AB=BC=CD=DA$，$CD// AB$，
$\because$ E是CD的中点，$\therefore CD=2CE=4x$，即菱形ABCD的边长为$4x$，$DE=CE=2x$。
过点E作$EM// AD$，交AF于点M，
$\because CD// AB$，$EM// AD$，$\therefore$ 四边形AMED是平行四边形，
$\therefore AM=DE=2x$，$EM=AD=4x$。
$\therefore MB=AB-AM=4x-2x=2x$，
$\therefore MF=MB+BF=2x+x=3x$，
$\because EF⊥ AB$，$\therefore △ EMF$是直角三角形，
由勾股定理得：$MF^2 + EF^2 = EM^2$，
代入$MF=3x$，$EF=\sqrt{7}$，$EM=4x$，得：
$(3x)^2 + (\sqrt{7})^2 = (4x)^2$，
$9x^2 +7=16x^2$，
$7x^2=7$，
解得$x=1$（边长为正，舍去负根），
$\therefore$ 菱形ABCD的边长为$4x=4$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是菱形与直角三角形结合的常规计算题，解题关键是通过构造平行四边形将分散的边长条件集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对边平行。我们可以通过设未知数简化计算：设$BF=x$，由$BF:CE=1:2$得$CE=2x$，结合E是CD中点，可得菱形边长为$4x$。接下来构造辅助线：过E作$EM// AD$交AB于M，由$CD// AB$可证四边形AMED是平行四边形，得到$EM=$边长$=4x$，$AM=DE=2x$，进而算出$MF=MB+BF=3x$。最后在$Rt△ EMF$中利用勾股定理列方程求解x，即可得到菱形边长。
【解析】
设$BF=x$，
$\because BF:CE=1:2$，$\therefore CE=2x$，
$\because$ 四边形ABCD是菱形，$\therefore AB=BC=CD=DA$，$CD// AB$，
$\because$ E是CD的中点，$\therefore CD=2CE=4x$，即菱形ABCD的边长为$4x$，$DE=CE=2x$。
过点E作$EM// AD$，交AF于点M，
$\because CD// AB$，$EM// AD$，$\therefore$ 四边形AMED是平行四边形，
$\therefore AM=DE=2x$，$EM=AD=4x$。
$\therefore MB=AB-AM=4x-2x=2x$，
$\therefore MF=MB+BF=2x+x=3x$，
$\because EF⊥ AB$，$\therefore △ EMF$是直角三角形，
由勾股定理得：$MF^2 + EF^2 = EM^2$，
代入$MF=3x$，$EF=\sqrt{7}$，$EM=4x$，得：
$(3x)^2 + (\sqrt{7})^2 = (4x)^2$，
$9x^2 +7=16x^2$，
$7x^2=7$，
解得$x=1$（边长为正，舍去负根），
$\therefore$ 菱形ABCD的边长为$4x=4$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是菱形与直角三角形结合的常规计算题，解题关键是通过构造平行四边形将分散的边长条件集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.如果一个矩形的长和宽是一元二次方程$x^2 -10x +20=0$的两个根,那么这个矩形的周长为。
11.如果一个矩形的长和宽是一元二次方程$x^2 -10x +20=0$的两个根,那么这个矩形的周长为。
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
【分析】
要求矩形的周长，首先回忆矩形周长公式：周长=2×(长+宽)。题目已知矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，因此不需要求出两个根的具体数值，只需要利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，再代入周长公式计算即可，能有效简化计算过程。
【解析】
设矩形的长为$x_1$，宽为$x_2$，由题可知$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 -10x +20=0$的两个根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2 -10x +20=0$中，$a=1$，$b=-10$，因此$x_1+x_2=-\frac{-10}{1}=10$。
代入矩形周长公式可得：周长$=2×(x_1+x_2)=2×10=20$。
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、矩形周长计算
【点评】
本题属于基础运算题，既可以通过解方程求出长和宽的具体值再计算周长，也可以利用韦达定理整体代入求解，后者能避免求解根式的繁琐过程，减少计算失误，解题时优先选择整体代入的思路效率更高。
【难度系数】
0.8
要求矩形的周长，首先回忆矩形周长公式：周长=2×(长+宽)。题目已知矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，因此不需要求出两个根的具体数值，只需要利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，再代入周长公式计算即可，能有效简化计算过程。
【解析】
设矩形的长为$x_1$，宽为$x_2$，由题可知$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 -10x +20=0$的两个根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2 -10x +20=0$中，$a=1$，$b=-10$，因此$x_1+x_2=-\frac{-10}{1}=10$。
代入矩形周长公式可得：周长$=2×(x_1+x_2)=2×10=20$。
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、矩形周长计算
【点评】
本题属于基础运算题，既可以通过解方程求出长和宽的具体值再计算周长，也可以利用韦达定理整体代入求解，后者能避免求解根式的繁琐过程，减少计算失误，解题时优先选择整体代入的思路效率更高。
【难度系数】
0.8
12. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根，且$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，则实数$m=$。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
首先，题目明确该方程是有两个不相等实数根的一元二次方程，因此首先要联想到根的判别式Δ＞0，可先求出m的取值范围；其次已知两根之和与两根之积的数量关系，需要用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出x₁+x₂和x₁x₂关于m的表达式，代入已知等式求解m的可能值，最后结合判别式得到的取值范围，筛选出符合条件的m即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2m$，常数项$c=m^2 - m + 2$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta = b^2 - 4ac &= (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) ＞ 0\\4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 &＞ 0\\4m - 8 &＞ 0\end{aligned}$
解得$m＞2$。
2. 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$
将上述两式代入$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，得：
$\begin{aligned}-2m + m^2 - m + 2 &= 2\\m^2 - 3m &= 0\\m(m-3)&=0\end{aligned}$
解得$m=0$或$m=3$。
3. 结合第一步求出的$m＞2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去，因此$m=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的综合应用，易错点是求出参数的可能值后，容易忽略根的判别式的限制条件，未舍去不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
首先，题目明确该方程是有两个不相等实数根的一元二次方程，因此首先要联想到根的判别式Δ＞0，可先求出m的取值范围；其次已知两根之和与两根之积的数量关系，需要用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出x₁+x₂和x₁x₂关于m的表达式，代入已知等式求解m的可能值，最后结合判别式得到的取值范围，筛选出符合条件的m即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2m$，常数项$c=m^2 - m + 2$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta = b^2 - 4ac &= (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) ＞ 0\\4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 &＞ 0\\4m - 8 &＞ 0\end{aligned}$
解得$m＞2$。
2. 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$
将上述两式代入$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，得：
$\begin{aligned}-2m + m^2 - m + 2 &= 2\\m^2 - 3m &= 0\\m(m-3)&=0\end{aligned}$
解得$m=0$或$m=3$。
3. 结合第一步求出的$m＞2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去，因此$m=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的综合应用，易错点是求出参数的可能值后，容易忽略根的判别式的限制条件，未舍去不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
13. 如图4,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的面积是。
图4 图5 图6
图4 图5 图6
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，首先连接正方形的另一条对角线BD交AC于点O，根据正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质，可得AC⊥BD，且BD=AC=8。再结合已知的AE、CF长度，求出四边形BEDF的另一条对角线EF的长度，最后利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：连接BD，交AC于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=4$，$BD=AC=8$。
∵ $AE=CF=2$，
∴ $EF=AC - AE - CF = 8 - 2 - 2 = 4$。
∵ AC⊥BD，即四边形BEDF的两条对角线互相垂直，
∴ $S_{\mathrm{四边形BEDF}} = \frac{1}{2} × BD × EF = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
正方形的性质，特殊四边形面积计算
【点评】
本题是正方形性质的基础应用考题，解题关键是通过连接对角线将所求四边形转化为对角线垂直的特殊四边形，利用对角线乘积快速计算面积，避免了逐一计算小三角形面积的繁琐步骤。
【难度系数】
0.75
解题时先从正方形的性质入手，首先连接正方形的另一条对角线BD交AC于点O，根据正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质，可得AC⊥BD，且BD=AC=8。再结合已知的AE、CF长度，求出四边形BEDF的另一条对角线EF的长度，最后利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：连接BD，交AC于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=4$，$BD=AC=8$。
∵ $AE=CF=2$，
∴ $EF=AC - AE - CF = 8 - 2 - 2 = 4$。
∵ AC⊥BD，即四边形BEDF的两条对角线互相垂直，
∴ $S_{\mathrm{四边形BEDF}} = \frac{1}{2} × BD × EF = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
正方形的性质，特殊四边形面积计算
【点评】
本题是正方形性质的基础应用考题，解题关键是通过连接对角线将所求四边形转化为对角线垂直的特殊四边形，利用对角线乘积快速计算面积，避免了逐一计算小三角形面积的繁琐步骤。
【难度系数】
0.75
14.如图5,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,G是AD的中点,线段EF在边AB上左右滑动。若EF=1,则GE+CF的最小值为。
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
解析
【分析】
本题属于将军饮马模型的变形类最短路径问题，解题思路如下：1. 处理固定长度的动线段EF：因为EF长度为1且沿AB滑动，可通过平移将CF转化为与其相等的线段，消去动线段EF的影响，将GE+CF转化为共端点的两条线段之和；2. 利用对称将两条线段转化到直线AB的异侧，根据两点之间线段最短，可知两条线段共线时和最小，最后计算线段长度即可。
【解析】
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
由矩形ABCD中AB=4，BC=2，得各点坐标：A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)；
∵G是AD中点，
∴G(0,1)。
将点C沿BA方向向左平移1个单位（即EF的长度），得点C'(3,2)，
∵EF=CC'=1且EF//CC'，
∴四边形EFC'C是平行四边形，故CF=EC'。
作点G关于AB（x轴）的对称点G''，则G''(0,-1)，且GE=G''E，
因此GE+CF = G''E + EC'。
根据两点之间线段最短，当G''、E、C'三点共线时，G''E+EC'取得最小值，即为线段G''C'的长度：
$G''C'=\sqrt{(3-0)^2+[2-(-1)]^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；矩形的性质
【点评】
本题考查了几何变换在最短路径问题中的应用，解题的核心是通过平移消去固定动线段的干扰，结合对称将问题转化为两点间距离的计算，对学生的模型转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题属于将军饮马模型的变形类最短路径问题，解题思路如下：1. 处理固定长度的动线段EF：因为EF长度为1且沿AB滑动，可通过平移将CF转化为与其相等的线段，消去动线段EF的影响，将GE+CF转化为共端点的两条线段之和；2. 利用对称将两条线段转化到直线AB的异侧，根据两点之间线段最短，可知两条线段共线时和最小，最后计算线段长度即可。
【解析】
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
由矩形ABCD中AB=4，BC=2，得各点坐标：A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)；
∵G是AD中点，
∴G(0,1)。
将点C沿BA方向向左平移1个单位（即EF的长度），得点C'(3,2)，
∵EF=CC'=1且EF//CC'，
∴四边形EFC'C是平行四边形，故CF=EC'。
作点G关于AB（x轴）的对称点G''，则G''(0,-1)，且GE=G''E，
因此GE+CF = G''E + EC'。
根据两点之间线段最短，当G''、E、C'三点共线时，G''E+EC'取得最小值，即为线段G''C'的长度：
$G''C'=\sqrt{(3-0)^2+[2-(-1)]^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；矩形的性质
【点评】
本题考查了几何变换在最短路径问题中的应用，解题的核心是通过平移消去固定动线段的干扰，结合对称将问题转化为两点间距离的计算，对学生的模型转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
15. 如图6,将矩形ABCD沿着GE,EC,GF翻折,使得点A,B,D恰好都落在点O处,且点G,O,C在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,那么GF与EC的位置关系是,AB与AD的数量关系是。
答案
$GF// EC$；$AB=\sqrt{2}AD$
解析
【分析】
解决本题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。①判断GF与EC的位置关系：优先考虑平行或垂直，要证平行可通过证明内错角相等推导，先结合折叠性质得出∠FGC=½∠DGC、∠ECG=½∠BCG，再利用矩形对边平行得到∠DGC=∠BCG，即可推出内错角相等，得到平行关系；②求AB与AD的数量关系：先根据折叠性质推出G是AD中点，OC=BC=AD，得到Rt△GDC的三边长度关系，再利用勾股定理列等式即可推导出两边的数量关系。
【解析】
1. 由折叠的性质可得：
$GD=GO$，$AG=GO$，$∠ DGF=∠ OGF$，因此G为AD中点，且$∠ FGC=\frac{1}{2}∠ DGC$；
同理可得$BC=OC$，$∠ BCE=∠ OCE$，因此$∠ ECG=\frac{1}{2}∠ BCG$。
2. 证明位置关系：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ DGC=∠ BCG$，
∴ $∠ FGC=∠ ECG$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$GF// EC$。
3. 推导边的数量关系：
设$AD=x$，则$GD=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$，$OC=BC=AD=x$，
又
∵ 点G、O、C共线，
∴ $GC=GO+OC=\frac{x}{2}+x=\frac{3x}{2}$。
矩形中$∠ D=90°$，在$Rt△ GDC$中，由勾股定理得：
$GD^2 + DC^2 = GC^2$，其中$DC=AB$，代入得：
$(\frac{x}{2})^2 + AB^2 = (\frac{3x}{2})^2$
整理得：$AB^2 = \frac{9x^2}{4}-\frac{x^2}{4}=2x^2$，因此$AB=\sqrt{2}x=\sqrt{2}AD$。
【答案】
$GF// EC$；$AB=\sqrt{2}AD$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题型，解题的核心是熟练运用折叠的性质得到边、角的对应相等关系，再结合平行线的判定定理和勾股定理求解，能有效考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。①判断GF与EC的位置关系：优先考虑平行或垂直，要证平行可通过证明内错角相等推导，先结合折叠性质得出∠FGC=½∠DGC、∠ECG=½∠BCG，再利用矩形对边平行得到∠DGC=∠BCG，即可推出内错角相等，得到平行关系；②求AB与AD的数量关系：先根据折叠性质推出G是AD中点，OC=BC=AD，得到Rt△GDC的三边长度关系，再利用勾股定理列等式即可推导出两边的数量关系。
【解析】
1. 由折叠的性质可得：
$GD=GO$，$AG=GO$，$∠ DGF=∠ OGF$，因此G为AD中点，且$∠ FGC=\frac{1}{2}∠ DGC$；
同理可得$BC=OC$，$∠ BCE=∠ OCE$，因此$∠ ECG=\frac{1}{2}∠ BCG$。
2. 证明位置关系：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ DGC=∠ BCG$，
∴ $∠ FGC=∠ ECG$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$GF// EC$。
3. 推导边的数量关系：
设$AD=x$，则$GD=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$，$OC=BC=AD=x$，
又
∵ 点G、O、C共线，
∴ $GC=GO+OC=\frac{x}{2}+x=\frac{3x}{2}$。
矩形中$∠ D=90°$，在$Rt△ GDC$中，由勾股定理得：
$GD^2 + DC^2 = GC^2$，其中$DC=AB$，代入得：
$(\frac{x}{2})^2 + AB^2 = (\frac{3x}{2})^2$
整理得：$AB^2 = \frac{9x^2}{4}-\frac{x^2}{4}=2x^2$，因此$AB=\sqrt{2}x=\sqrt{2}AD$。
【答案】
$GF// EC$；$AB=\sqrt{2}AD$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题型，解题的核心是熟练运用折叠的性质得到边、角的对应相等关系，再结合平行线的判定定理和勾股定理求解，能有效考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
