登录
三、解答题(共75分)
16. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx +6=0$。
(1)当$m=3$时,判断方程根的情况；
(2)当$m=6$时,求方程的根。
16. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx +6=0$。
(1)当$m=3$时,判断方程根的情况；
(2)当$m=6$时,求方程的根。
答案
解：
(1) 当$m=3$时，方程为$x^2 - 3x + 6 = 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=6$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×6 = 9 - 24 = -15 ＜ 0$，
∴ 此时方程没有实数根。
(2) 当$m=6$时，方程为$x^2 - 6x + 6 = 0$，
移项得：$x^2 - 6x = -6$，
配方得：$x^2 - 6x + 9 = -6 + 9$，即$(x-3)^2 = 3$，
开方得：$x-3 = \pm\sqrt{3}$，
解得：$x_1 = 3+\sqrt{3}$，$x_2 = 3-\sqrt{3}$。
(1) 当$m=3$时，方程为$x^2 - 3x + 6 = 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=6$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×6 = 9 - 24 = -15 ＜ 0$，
∴ 此时方程没有实数根。
(2) 当$m=6$时，方程为$x^2 - 6x + 6 = 0$，
移项得：$x^2 - 6x = -6$，
配方得：$x^2 - 6x + 9 = -6 + 9$，即$(x-3)^2 = 3$，
开方得：$x-3 = \pm\sqrt{3}$，
解得：$x_1 = 3+\sqrt{3}$，$x_2 = 3-\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：
(1) 判断一元二次方程根的情况需借助根的判别式：先将m=3代入原方程得到标准形式的一元二次方程，确定a、b、c的取值，再计算判别式Δ=b²-4ac的符号，根据Δ的符号即可对应判断根的情况；
(2) 求方程的根时，先将m=6代入原方程得到待解的一元二次方程，选择配方法（或公式法），按照解方程的规范步骤逐步运算即可求出方程的根。
【解析】
(1) 当$m=3$时，原方程化为$x^2 - 3x + 6 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=6$，
代入判别式公式得：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×6 = 9 - 24 = -15 ＜ 0$，
∴ 此时方程没有实数根。
(2) 当$m=6$时，原方程化为$x^2 - 6x + 6 = 0$，
移项得：$x^2 - 6x = -6$，
配方得：$x^2 - 6x + 9 = -6 + 9$，即$(x-3)^2 = 3$，
开方得：$x - 3 = \pm\sqrt{3}$，
解得：$x_1 = 3+\sqrt{3}$，$x_2 = 3-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 方程没有实数根；
(2) $x_1 = 3+\sqrt{3}$，$x_2 = 3-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规考题，主要考查根的判别式的应用和一元二次方程的求解能力，熟练掌握判别式和根的对应关系、解方程的基本步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路清晰：
(1) 判断一元二次方程根的情况需借助根的判别式：先将m=3代入原方程得到标准形式的一元二次方程，确定a、b、c的取值，再计算判别式Δ=b²-4ac的符号，根据Δ的符号即可对应判断根的情况；
(2) 求方程的根时，先将m=6代入原方程得到待解的一元二次方程，选择配方法（或公式法），按照解方程的规范步骤逐步运算即可求出方程的根。
【解析】
(1) 当$m=3$时，原方程化为$x^2 - 3x + 6 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=6$，
代入判别式公式得：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×6 = 9 - 24 = -15 ＜ 0$，
∴ 此时方程没有实数根。
(2) 当$m=6$时，原方程化为$x^2 - 6x + 6 = 0$，
移项得：$x^2 - 6x = -6$，
配方得：$x^2 - 6x + 9 = -6 + 9$，即$(x-3)^2 = 3$，
开方得：$x - 3 = \pm\sqrt{3}$，
解得：$x_1 = 3+\sqrt{3}$，$x_2 = 3-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 方程没有实数根；
(2) $x_1 = 3+\sqrt{3}$，$x_2 = 3-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规考题，主要考查根的判别式的应用和一元二次方程的求解能力，熟练掌握判别式和根的对应关系、解方程的基本步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
17. (9分)如图7,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC。若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，即AB//DF，
∴ ∠BAE = ∠CFE。
∵ E为BC的中点，
∴ BE = CE。
在△ABE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠CFE \\∠AEB = ∠FEC \\BE = CE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △FCE（AAS），
∴ AB = CF。
又∵ AB//CF，
∴ 四边形ABFC是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC。
又∵ AD = AF，
∴ BC = AF。
∴ 平行四边形ABFC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，即AB//DF，
∴ ∠BAE = ∠CFE。
∵ E为BC的中点，
∴ BE = CE。
在△ABE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠CFE \\∠AEB = ∠FEC \\BE = CE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △FCE（AAS），
∴ AB = CF。
又∵ AB//CF，
∴ 四边形ABFC是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC。
又∵ AD = AF，
∴ BC = AF。
∴ 平行四边形ABFC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
解析
【分析】
要证明四边形ABFC是矩形，可遵循“先证平行四边形，再证矩形”的思路：首先利用平行四边形的性质和E是BC中点的条件，证明△ABE和△FCE全等，得到AB与CF平行且相等，即可判定四边形ABFC是平行四边形；再结合平行四边形的性质和已知AD=AF，推导出平行四边形ABFC的对角线相等，即可根据矩形判定定理完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，即AB//DF，
∴ ∠BAE = ∠CFE。
∵ E为BC的中点，
∴ BE = CE。
在△ABE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠CFE \\∠AEB = ∠FEC \\BE = CE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △FCE（AAS），
∴ AB = CF。
又
∵ AB//CF，
∴ 四边形ABFC是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC。
又
∵ AD = AF，
∴ BC = AF。
∴ 平行四边形ABFC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
证明过程如上，四边形ABFC是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定
【点评】
本题属于几何证明的常规题型，重点考查特殊四边形的性质和判定的综合应用，解题时要理清逻辑顺序，先通过全等得到边的关系判定平行四边形，再结合已知条件推导对角线相等，即可完成证明，需要注意书写时步骤完整、逻辑严谨。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ABFC是矩形，可遵循“先证平行四边形，再证矩形”的思路：首先利用平行四边形的性质和E是BC中点的条件，证明△ABE和△FCE全等，得到AB与CF平行且相等，即可判定四边形ABFC是平行四边形；再结合平行四边形的性质和已知AD=AF，推导出平行四边形ABFC的对角线相等，即可根据矩形判定定理完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，即AB//DF，
∴ ∠BAE = ∠CFE。
∵ E为BC的中点，
∴ BE = CE。
在△ABE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠CFE \\∠AEB = ∠FEC \\BE = CE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △FCE（AAS），
∴ AB = CF。
又
∵ AB//CF，
∴ 四边形ABFC是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC。
又
∵ AD = AF，
∴ BC = AF。
∴ 平行四边形ABFC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
证明过程如上，四边形ABFC是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定
【点评】
本题属于几何证明的常规题型，重点考查特殊四边形的性质和判定的综合应用，解题时要理清逻辑顺序，先通过全等得到边的关系判定平行四边形，再结合已知条件推导对角线相等，即可完成证明，需要注意书写时步骤完整、逻辑严谨。
【难度系数】
0.7
18. (9分)如图8,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为$(x^2+17)\mathrm{cm}(x＞0)$,正六边形的边长为$(x^2+2x)\mathrm{cm}$,求这两段铁丝的总长。
答案
解：由题意可知两段铁丝长度相等，因此正五边形周长等于正六边形周长，列方程：
$5(x^2 + 17) = 6(x^2 + 2x)$
整理得：
$x^2 + 12x - 85 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+17)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-17$
因为$x＞0$，所以$x=5$。
单段铁丝的长度为：$5×(5^2 + 17) = 210\ \mathrm{cm}$
两段铁丝的总长为：$210× 2 = 420\ \mathrm{cm}$
答：这两段铁丝的总长为420cm。
$5(x^2 + 17) = 6(x^2 + 2x)$
整理得：
$x^2 + 12x - 85 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+17)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-17$
因为$x＞0$，所以$x=5$。
单段铁丝的长度为：$5×(5^2 + 17) = 210\ \mathrm{cm}$
两段铁丝的总长为：$210× 2 = 420\ \mathrm{cm}$
答：这两段铁丝的总长为420cm。
解析
【分析】
解题的核心是找到等量关系：两段铁丝等长，即正五边形的周长等于正六边形的周长。首先回忆正多边形周长公式：正n边形周长=边长×边数，据此分别表示出正五边形和正六边形的周长，列出关于x的一元二次方程；接下来解一元二次方程，结合x＞0的条件舍去不符合实际意义的根；最后将符合条件的x值代入周长公式算出单段铁丝长度，乘2即可得到两段铁丝的总长。
【解析】
解：由题意可知两段铁丝长度相等，因此正五边形周长等于正六边形周长，列方程：
$5(x^2 + 17) = 6(x^2 + 2x)$
整理得：
$x^2 + 12x - 85 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+17)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-17$
因为$x＞0$，所以$x=5$。
单段铁丝的长度为：$5×(5^2 + 17) = 210\ \mathrm{cm}$
两段铁丝的总长为：$210× 2 = 420\ \mathrm{cm}$
【答案】
这两段铁丝的总长为$\boxed{420\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
正多边形周长计算、一元二次方程求解、列方程解应用题
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，既考查了正多边形周长的计算，也考查了一元二次方程的解法，需要注意解出方程的根后，要结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解题的核心是找到等量关系：两段铁丝等长，即正五边形的周长等于正六边形的周长。首先回忆正多边形周长公式：正n边形周长=边长×边数，据此分别表示出正五边形和正六边形的周长，列出关于x的一元二次方程；接下来解一元二次方程，结合x＞0的条件舍去不符合实际意义的根；最后将符合条件的x值代入周长公式算出单段铁丝长度，乘2即可得到两段铁丝的总长。
【解析】
解：由题意可知两段铁丝长度相等，因此正五边形周长等于正六边形周长，列方程：
$5(x^2 + 17) = 6(x^2 + 2x)$
整理得：
$x^2 + 12x - 85 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+17)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-17$
因为$x＞0$，所以$x=5$。
单段铁丝的长度为：$5×(5^2 + 17) = 210\ \mathrm{cm}$
两段铁丝的总长为：$210× 2 = 420\ \mathrm{cm}$
【答案】
这两段铁丝的总长为$\boxed{420\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
正多边形周长计算、一元二次方程求解、列方程解应用题
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，既考查了正多边形周长的计算，也考查了一元二次方程的解法，需要注意解出方程的根后，要结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
