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19. (9分)如图9,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ DAC$是$△ ABC$的一个外角。
实践与操作:根据要求尺规作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)。
(1)作$∠ DAC$的平分线$AM$。
(2)作线段$AC$的垂直平分线,与$AM$交于点$F$,与$BC$边交于点$E$,连接$AE$,$CF$。
猜想并证明:判断四边形$AECF$的形状并加以证明。
实践与操作:根据要求尺规作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)。
(1)作$∠ DAC$的平分线$AM$。
(2)作线段$AC$的垂直平分线,与$AM$交于点$F$,与$BC$边交于点$E$,连接$AE$,$CF$。
猜想并证明:判断四边形$AECF$的形状并加以证明。
答案
实践与操作：按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，标注对应字母即可。
猜想：四边形$AECF$是菱形。
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$。
$\because ∠ DAC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DAC=∠ B+∠ ACB=2∠ ACB$。
$\because AM$平分$∠ DAC$，
$\therefore ∠ DAC=2∠ CAM$，
$\therefore ∠ CAM=∠ ACB$，
$\therefore AF// BC$，即$AF// EC$。
设$EF$交$AC$于点$O$，
$\because EF$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore OA=OC$，$AE=CE$，$AF=CF$。
在$△ AOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ OAF=∠ OCE \\OA=OC \\∠ AOF=∠ COE\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AF=CE$。
又$\because AF// CE$，
$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形。
又$\because AE=CE$，
$\therefore$ 平行四边形$AECF$是菱形。
猜想：四边形$AECF$是菱形。
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$。
$\because ∠ DAC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DAC=∠ B+∠ ACB=2∠ ACB$。
$\because AM$平分$∠ DAC$，
$\therefore ∠ DAC=2∠ CAM$，
$\therefore ∠ CAM=∠ ACB$，
$\therefore AF// BC$，即$AF// EC$。
设$EF$交$AC$于点$O$，
$\because EF$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore OA=OC$，$AE=CE$，$AF=CF$。
在$△ AOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ OAF=∠ OCE \\OA=OC \\∠ AOF=∠ COE\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AF=CE$。
又$\because AF// CE$，
$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形。
又$\because AE=CE$，
$\therefore$ 平行四边形$AECF$是菱形。
解析
【分析】
本题分为尺规作图和几何证明两部分：①作图部分：作角平分线时，以点A为圆心适当长度为半径画弧交AD、AC于两点，再分别以这两点为圆心大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交点与A的连线即为AM；作AC垂直平分线时，分别以A、C为圆心大于AC一半长度为半径画弧，过两弧的两个交点作直线，即为AC的垂直平分线，按要求标注交点和连线即可。②证明部分：先利用等腰三角形性质和外角性质推导AM与BC平行，再结合垂直平分线的性质得到边相等的关系，通过证三角形全等得到一组对边平行且相等，先判定为平行四边形，再结合邻边相等即可判定为菱形。
【解析】
实践与操作
按尺规作图要求完成∠DAC的平分线AM、AC的垂直平分线的绘制，标注对应交点F、E，连接AE、CF，保留作图痕迹即可。
猜想与证明
猜想：四边形$AECF$是菱形，证明如下：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$。
$\because ∠ DAC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DAC=∠ B+∠ ACB=2∠ ACB$。
$\because AM$平分$∠ DAC$，
$\therefore ∠ DAC=2∠ CAM$，
$\therefore ∠ CAM=∠ ACB$，
$\therefore AF// BC$，即$AF// EC$。
设$EF$交$AC$于点$O$，
$\because EF$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore OA=OC$，$AE=CE$，$AF=CF$。
在$△ AOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ OAF=∠ OCE \\OA=OC \\∠ AOF=∠ COE\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AF=CE$。
又$\because AF// CE$，
$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形。
又$\because AE=CE$，
$\therefore$ 平行四边形$AECF$是菱形。
【答案】
按要求完成尺规作图；四边形$AECF$是菱形，证明过程如上。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 菱形的判定
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查了基础作图能力和几何证明逻辑，需要熟练掌握角平分线、垂直平分线的作图方法，同时灵活运用等腰三角形性质、全等三角形判定、特殊四边形判定定理逐步推导，是一道兼顾基础与综合应用的典型习题。
【难度系数】
0.65
本题分为尺规作图和几何证明两部分：①作图部分：作角平分线时，以点A为圆心适当长度为半径画弧交AD、AC于两点，再分别以这两点为圆心大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交点与A的连线即为AM；作AC垂直平分线时，分别以A、C为圆心大于AC一半长度为半径画弧，过两弧的两个交点作直线，即为AC的垂直平分线，按要求标注交点和连线即可。②证明部分：先利用等腰三角形性质和外角性质推导AM与BC平行，再结合垂直平分线的性质得到边相等的关系，通过证三角形全等得到一组对边平行且相等，先判定为平行四边形，再结合邻边相等即可判定为菱形。
【解析】
实践与操作
按尺规作图要求完成∠DAC的平分线AM、AC的垂直平分线的绘制，标注对应交点F、E，连接AE、CF，保留作图痕迹即可。
猜想与证明
猜想：四边形$AECF$是菱形，证明如下：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$。
$\because ∠ DAC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DAC=∠ B+∠ ACB=2∠ ACB$。
$\because AM$平分$∠ DAC$，
$\therefore ∠ DAC=2∠ CAM$，
$\therefore ∠ CAM=∠ ACB$，
$\therefore AF// BC$，即$AF// EC$。
设$EF$交$AC$于点$O$，
$\because EF$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore OA=OC$，$AE=CE$，$AF=CF$。
在$△ AOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ OAF=∠ OCE \\OA=OC \\∠ AOF=∠ COE\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AF=CE$。
又$\because AF// CE$，
$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形。
又$\because AE=CE$，
$\therefore$ 平行四边形$AECF$是菱形。
【答案】
按要求完成尺规作图；四边形$AECF$是菱形，证明过程如上。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 菱形的判定
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查了基础作图能力和几何证明逻辑，需要熟练掌握角平分线、垂直平分线的作图方法，同时灵活运用等腰三角形性质、全等三角形判定、特殊四边形判定定理逐步推导，是一道兼顾基础与综合应用的典型习题。
【难度系数】
0.65
20.(9分)某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图10所示。
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
答案
解：(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(2,120)$和$(4,140)$代入表达式，得
$\begin{cases}2k + b = 120 \\4k + b = 140\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=10 \\b=100\end{cases}$
∴ y与x之间的函数表达式为$y=10x+100\quad(0＜x＜20)$。
(2) 根据题意，列方程得：
$(60-40-x)(10x+100)=2090$
整理得：
$x^2 -10x +9=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=9$。
∵ 要让顾客得到更大的实惠，且$0＜x＜20$，
∴ 取$x=9$。
答：这种干果每千克应降价9元。
将点$(2,120)$和$(4,140)$代入表达式，得
$\begin{cases}2k + b = 120 \\4k + b = 140\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=10 \\b=100\end{cases}$
∴ y与x之间的函数表达式为$y=10x+100\quad(0＜x＜20)$。
(2) 根据题意，列方程得：
$(60-40-x)(10x+100)=2090$
整理得：
$x^2 -10x +9=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=9$。
∵ 要让顾客得到更大的实惠，且$0＜x＜20$，
∴ 取$x=9$。
答：这种干果每千克应降价9元。
解析
【分析】
（1）已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中提取两组对应坐标$(2,120)$和$(4,140)$，代入解析式得到二元一次方程组，解出k、b的值即可得到函数表达式，同时标注x的取值范围。
（2）根据销售利润的等量关系“总利润=每千克利润×销售量”列方程：每千克利润为原售价减去进价再减去降价金额，即$(60-40-x)$元，销售量为第一问求出的y的表达式，结合总利润为2090元列一元二次方程求解，最后根据“让顾客得到更大实惠”的要求，选择数值更大的降价金额作为最终结果。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(2,120)$和$(4,140)$代入表达式，得
$\begin{cases}2k + b = 120 \\4k + b = 140\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=10 \\b=100\end{cases}$
∴ y与x之间的函数表达式为$y=10x+100\quad(0＜x＜20)$。
(2) 根据总利润的计算逻辑列方程得：
$(60-40-x)(10x+100)=2090$
整理得：
$x^2 -10x +9=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=9$。
∵ 要让顾客得到更大的实惠，且$0＜x＜20$，
∴ 选择降价更多的方案，取$x=9$。
【答案】
(1) $y=10x+100\quad(0＜x＜20)$；(2) 9元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；销售利润问题
【点评】
本题结合函数图像考查一次函数与一元二次方程的实际应用，需要学生具备从图像中提取有效信息的能力，解题时要注意题干的限制条件，避免出现多解未取舍的错误，体现了数学知识在实际经营场景中的应用价值。
【难度系数】
0.7
（1）已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中提取两组对应坐标$(2,120)$和$(4,140)$，代入解析式得到二元一次方程组，解出k、b的值即可得到函数表达式，同时标注x的取值范围。
（2）根据销售利润的等量关系“总利润=每千克利润×销售量”列方程：每千克利润为原售价减去进价再减去降价金额，即$(60-40-x)$元，销售量为第一问求出的y的表达式，结合总利润为2090元列一元二次方程求解，最后根据“让顾客得到更大实惠”的要求，选择数值更大的降价金额作为最终结果。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(2,120)$和$(4,140)$代入表达式，得
$\begin{cases}2k + b = 120 \\4k + b = 140\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=10 \\b=100\end{cases}$
∴ y与x之间的函数表达式为$y=10x+100\quad(0＜x＜20)$。
(2) 根据总利润的计算逻辑列方程得：
$(60-40-x)(10x+100)=2090$
整理得：
$x^2 -10x +9=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=9$。
∵ 要让顾客得到更大的实惠，且$0＜x＜20$，
∴ 选择降价更多的方案，取$x=9$。
【答案】
(1) $y=10x+100\quad(0＜x＜20)$；(2) 9元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；销售利润问题
【点评】
本题结合函数图像考查一次函数与一元二次方程的实际应用，需要学生具备从图像中提取有效信息的能力，解题时要注意题干的限制条件，避免出现多解未取舍的错误，体现了数学知识在实际经营场景中的应用价值。
【难度系数】
0.7
