2. 如图10,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线。设AC,BC的中点分别为M,N。若MN=3 m,则AB= ()

A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m

B

【分析】
解题时先抓取关键条件：M、N分别是AC、BC的中点。看到三角形两边中点的连线，首先可以联想到三角形中位线的相关性质，中位线长度等于第三边的一半，直接通过MN的长度推导AB的长度；也可以通过相似三角形的判定规则，证明△CMN与△CAB相似，利用相似比求出AB的长度，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可知：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，即$MN=\frac{1}{2}AB$，
已知$MN=3\mathrm{m}$，代入得：
$AB=2MN=2×3=6\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查中点相关的几何性质，只要抓住“中点连线为中位线”这个核心结论，就能快速得出答案，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8

3. 如图11，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB。如果OA∶OC=OB∶OD=3，且量得CD=3 cm，则零件的厚度x为 ()

A.0.3 cm
B.0.5 cm
C.0.7 cm
D.1 cm

B

【分析】
解题时首先观察题干给出的边的比例关系，结合交叉卡钳形成的对顶角相等，可利用相似三角形的判定定理证明△AOB与△COD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质求出内孔直径AB的长度；最后根据“外径=2×零件厚度+内孔直径”的等量关系列方程，即可求出厚度x。
【解析】
解：
∵OA:OC=OB:OD=3，∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴△AOB∽△COD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=3$
已知CD=3cm，代入得$AB=3× CD=3×3=9\mathrm{cm}$
由零件外径为10cm，可得等量关系：$2x + AB =10$
将AB=9cm代入得：$2x +9=10$
解得：$x=0.5\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题关键是准确找到相似三角形，利用相似性质求出内孔直径后结合外径关系求解，是几何与实际应用结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8

4. 凸透镜成像的原理如图12所示，AD//HG//BC，若焦点$F_1$到物体的距离与焦点$F_1$到凸透镜中心线DB的距离之比为5：2，则物体被缩小到原来的。

解：
由题意得 $HF_1:F_1O=5:2$，
$\because AH⊥ HG$，$BO⊥ HG$，
$\therefore AH// BO$，
$\therefore △ AHF_1 ∽ △ BOF_1$，
$\therefore \frac{AH}{BO}=\frac{HF_1}{F_1O}=\frac{5}{2}$。
$\because DO⊥ HG$，$CG⊥ HG$，
$\therefore DO// CG$，
$\therefore △ DOF_2 ∽ △ CGF_2$。
又$\because AD// HG$，$AD⊥ DO$，
$\therefore$ 四边形$AHOD$是矩形，得$AH=DO$。
由凸透镜成像性质可知$OF_1=OF_2$，且过焦点的入射光线经凸透镜折射后平行于主光轴，即$BC// HG$，因此$CG=OB$。
代入得 $\frac{AH}{CG}=\frac{5}{2}$，即 $\frac{CG}{AH}=\frac{2}{5}$。
故物体被缩小到原来的 $\boldsymbol{\frac{2}{5}}$。

【分析】
解题时先结合题目给出的线段比例、平行和垂直条件寻找相似三角形：首先观察到AH与BO都垂直于主光轴HG，可得AH平行于BO，能判定△AHF₁与△BOF₁相似，得到物高AH与BO的比值等于HF₁:F₁O=5:2；再观察凸透镜右侧，DO与CG都垂直于HG，可得DO平行于CG，能判定△DOF₂与△CGF₂相似；接着结合AD平行于HG可判定四边形AHOD是矩形，得到AH=DO，同时根据凸透镜的性质，左右两侧焦距相等即OF₁=OF₂，且可得CG=BO，完成边长代换后就能求出像高与物高的比值，也就是物体缩小的比例。
【解析】
由题意得 $HF_1:F_1O=5:2$，
$\because AH⊥ HG$，$BO⊥ HG$，
$\therefore AH// BO$，
$\therefore △ AHF_1 ∽ △ BOF_1$，
$\therefore \frac{AH}{BO}=\frac{HF_1}{F_1O}=\frac{5}{2}$。
$\because DO⊥ HG$，$CG⊥ HG$，
$\therefore DO// CG$，
$\therefore △ DOF_2 ∽ △ CGF_2$。
又$\because AD// HG$，$AD⊥ DO$，
$\therefore$ 四边形$AHOD$是矩形，得$AH=DO$。
由凸透镜成像性质可知$OF_1=OF_2$，且过焦点的入射光线经凸透镜折射后平行于主光轴，即$BC// HG$，因此$CG=OB$。
代入得 $\frac{AH}{CG}=\frac{5}{2}$，即 $\frac{CG}{AH}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像的物理背景考查几何知识的应用，解题的关键是从平行、垂直条件中定位相似三角形，结合相关性质完成边长的代换，能够很好地考查学生知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

5. 某科学小组进行了小孔成像相关实验探究,装置如图13所示,物体$AB⊥BC$,幕布$EC⊥BC$,光线经小孔$O$成像,物体成像后的顶端与$E$重合,底端落在点$D$处。
(1)求证:$△ DEO ∽ △ ABO$;
(2)已知$EC=1.6\ \mathrm{m},DC=1\ \mathrm{m},AO=2DO$,求物体$AB$的高度(即线段$AB$的长)。

(1) 证明：
∵ $AB ⊥ BC$，$EC ⊥ BC$，
∴ $AB // DE$，
∴ $∠ BAO = ∠ EDO$，$∠ ABO = ∠ DEO$，
又∵ $∠ AOB = ∠ DOE$（对顶角相等），
∴ $△ DEO ∽ △ ABO$。
(2) 解：
∵ 点$D$在$EC$上，$EC=1.6\ \mathrm{m}$，$DC=1\ \mathrm{m}$，
∴ $DE = EC - DC = 1.6 - 1 = 0.6\ \mathrm{m}$。
∵ $△ DEO ∽ △ ABO$，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{AO}{DO}$。
又∵ $AO=2DO$，即$\frac{AO}{DO}=2$，
∴ $AB = 2 × DE = 2 × 0.6 = 1.2\ \mathrm{m}$。
答：物体$AB$的高度为$1.2\ \mathrm{m}$。

【分析】
(1) 要证明$△ DEO ∽ △ ABO$，首先根据已知的$AB ⊥ BC$、$EC ⊥ BC$，可推出$AB$和$DE$平行，进而得到两组内错角相等，再结合对顶角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
(2) 求$AB$的长度时，首先根据$EC$和$DC$的长度计算出$DE$的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的$AO$与$DO$的数量关系，代入数值计算即可得到$AB$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB ⊥ BC$，$EC ⊥ BC$，
∴ $AB // DE$，
∴ $∠ BAO = ∠ EDO$，$∠ ABO = ∠ DEO$，
又
∵ $∠ AOB = ∠ DOE$（对顶角相等），
∴ $△ DEO ∽ △ ABO$。
(2) 解：
∵ 点$D$在$EC$上，$EC=1.6\ \mathrm{m}$，$DC=1\ \mathrm{m}$，
∴ $DE = EC - DC = 1.6 - 1 = 0.6\ \mathrm{m}$。
∵ $△ DEO ∽ △ ABO$，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{AO}{DO}$。
又
∵ $AO=2DO$，即$\frac{AO}{DO}=2$，
∴ $AB = 2 × DE = 2 × 0.6 = 1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $△ DEO ∽ △ ABO$得证；(2) $\boxed{1.2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合小孔成像的实际场景考查相似三角形的相关知识，解题的关键是准确证明三角形相似并找准对应边的比例关系，是数学知识应用于实际生活的典型基础题。
【难度系数】
0.7