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2. (2024·重庆改编)若两个相似三角形的相似比是$\frac{1}{3}$,则这两个相似三角形的面积的比是 ()
A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:9$
A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:9$
答案
D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先明确题目已知两个相似三角形的相似比为$\frac{1}{3}$，要求二者的面积比，回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，因此只需将给定的相似比做平方运算，即可得到面积比，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知两个相似三角形的相似比为$\frac{1}{3}$，因此它们的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}=1:9$。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对相似三角形核心性质的识记与简单应用，只要熟记相似三角形面积比和相似比的关系，就能快速得出答案，是相似三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先明确题目已知两个相似三角形的相似比为$\frac{1}{3}$，要求二者的面积比，回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，因此只需将给定的相似比做平方运算，即可得到面积比，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知两个相似三角形的相似比为$\frac{1}{3}$，因此它们的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}=1:9$。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对相似三角形核心性质的识记与简单应用，只要熟记相似三角形面积比和相似比的关系，就能快速得出答案，是相似三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
3. (2024·河南)如图5,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点,EF//AB交BC于点F。若AB=4,则EF的长为 ()
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC与AC的数量关系；再结合E是OC中点，求出CE与AC的比值；然后由EF//AB可判定△CEF与△CAB相似，最后根据相似三角形对应边成比例，代入已知AB的长度即可求出EF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴ OA = OC，即$OC = \frac{1}{2}AC$
∵ E为OC的中点
∴ $CE = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC = \frac{1}{4}AC$，即$\frac{CE}{CA}=\frac{1}{4}$
∵ EF//AB
∴ ∠CEF = ∠CAB，又
∵ ∠C是公共角
∴ △CEF ∽ △CAB
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{1}{4}$
已知AB=4，代入得：$EF = 4×\frac{1}{4}=1$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合平行四边形的性质得到相似三角形的相似比，再利用相似三角形的性质求解线段长度，是对基础知识点的常规综合考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC与AC的数量关系；再结合E是OC中点，求出CE与AC的比值；然后由EF//AB可判定△CEF与△CAB相似，最后根据相似三角形对应边成比例，代入已知AB的长度即可求出EF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴ OA = OC，即$OC = \frac{1}{2}AC$
∵ E为OC的中点
∴ $CE = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC = \frac{1}{4}AC$，即$\frac{CE}{CA}=\frac{1}{4}$
∵ EF//AB
∴ ∠CEF = ∠CAB，又
∵ ∠C是公共角
∴ △CEF ∽ △CAB
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{1}{4}$
已知AB=4，代入得：$EF = 4×\frac{1}{4}=1$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合平行四边形的性质得到相似三角形的相似比，再利用相似三角形的性质求解线段长度，是对基础知识点的常规综合考查。
【难度系数】
0.7
4. 如图6，AB//EF//CD，E为AD与BC的交点，点F在BD上。若AB=2，CD=5，则EF=。
答案
$\boldsymbol{\frac{10}{7}}$
解析
【分析】
本题可利用平行线推导相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质求解：首先由AB//EF可证△DEF∽△DAB，得到EF与AB的比等于DF与BD的比；再由EF//CD可证△BEF∽△BCD，得到EF与CD的比等于BF与BD的比；将两个比例式相加，利用DF+BF=BD消去BD相关项，代入已知边长即可计算出EF的长度。
【解析】
解：
∵AB//EF，
∴△DEF∽△DAB（平行于三角形一边的直线截另两边，所得三角形与原三角形相似），
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①；
∵EF//CD，
∴△BEF∽△BCD（平行于三角形一边的直线截另两边，所得三角形与原三角形相似），
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②；
将①+②可得：
$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}$，
又
∵DF+BF=BD，
∴$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=1$，
代入AB=2，CD=5得：
$\frac{EF}{2}+\frac{EF}{5}=1$，
通分整理得$\frac{7EF}{10}=1$，
解得$EF=\frac{10}{7}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{10}{7}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，核心解题技巧是通过两组平行线得到两对相似三角形，将得到的比例式相加消去未知线段，避免单独求解BF、DF的长度，简化了计算过程，考查了对相似三角形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
本题可利用平行线推导相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质求解：首先由AB//EF可证△DEF∽△DAB，得到EF与AB的比等于DF与BD的比；再由EF//CD可证△BEF∽△BCD，得到EF与CD的比等于BF与BD的比；将两个比例式相加，利用DF+BF=BD消去BD相关项，代入已知边长即可计算出EF的长度。
【解析】
解：
∵AB//EF，
∴△DEF∽△DAB（平行于三角形一边的直线截另两边，所得三角形与原三角形相似），
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①；
∵EF//CD，
∴△BEF∽△BCD（平行于三角形一边的直线截另两边，所得三角形与原三角形相似），
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②；
将①+②可得：
$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}$，
又
∵DF+BF=BD，
∴$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=1$，
代入AB=2，CD=5得：
$\frac{EF}{2}+\frac{EF}{5}=1$，
通分整理得$\frac{7EF}{10}=1$，
解得$EF=\frac{10}{7}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{10}{7}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，核心解题技巧是通过两组平行线得到两对相似三角形，将得到的比例式相加消去未知线段，避免单独求解BF、DF的长度，简化了计算过程，考查了对相似三角形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图7,点C在∠AOB的内部,∠OCA=∠OCB,∠OCA与∠AOB互补。若AC=1.5,BC=2,则OC=。
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据互补的性质得到∠OCA与∠AOB的和为180°，再结合三角形内角和为180°以及∠AOB=∠AOC+∠COB，推导得出∠A=∠COB；结合已知∠OCA=∠OCB，可判定△OCA和△BCO相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出OC的长度。
【解析】
∵ ∠OCA与∠AOB互补，
∴ ∠OCA + ∠AOB = 180°，
∵ 在△OCA中，∠OCA + ∠A + ∠AOC = 180°，
∴ ∠AOB = ∠A + ∠AOC，
又
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠COB，
∴ ∠A = ∠COB，
又
∵ ∠OCA = ∠OCB，
∴ △OCA ∽ △BCO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{OC}{BC}=\frac{AC}{OC}$，即 $OC^2=AC· BC$，
将AC=1.5，BC=2代入得：
$OC^2=1.5×2=3$，
∵ OC为线段长度，大于0，
∴ $OC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，补角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是中档几何题，解题的关键是通过角的等量代换得到相等的角，进而证明三角形相似，再利用相似的性质建立边长关系求解，侧重考察学生对相似三角形判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
首先根据互补的性质得到∠OCA与∠AOB的和为180°，再结合三角形内角和为180°以及∠AOB=∠AOC+∠COB，推导得出∠A=∠COB；结合已知∠OCA=∠OCB，可判定△OCA和△BCO相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出OC的长度。
【解析】
∵ ∠OCA与∠AOB互补，
∴ ∠OCA + ∠AOB = 180°，
∵ 在△OCA中，∠OCA + ∠A + ∠AOC = 180°，
∴ ∠AOB = ∠A + ∠AOC，
又
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠COB，
∴ ∠A = ∠COB，
又
∵ ∠OCA = ∠OCB，
∴ △OCA ∽ △BCO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{OC}{BC}=\frac{AC}{OC}$，即 $OC^2=AC· BC$，
将AC=1.5，BC=2代入得：
$OC^2=1.5×2=3$，
∵ OC为线段长度，大于0，
∴ $OC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，补角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是中档几何题，解题的关键是通过角的等量代换得到相等的角，进而证明三角形相似，再利用相似的性质建立边长关系求解，侧重考察学生对相似三角形判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
6. 如图8,已知$DB=2AD$,$EC=2AE$。
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ABC$;
(2)若$C_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}$,求$C_{△ ADE}$。
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ABC$;
(2)若$C_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}$,求$C_{△ ADE}$。
答案
(1) 证明：
∵ DB=2AD，
∴ AB = AD + DB = AD + 2AD = 3AD，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ EC=2AE，
∴ AC = AE + EC = AE + 2AE = 3AE，即 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又∵ ∠A = ∠A（公共角），
∴ △ADE∽△ABC。
(2) 解：
∵ △ADE∽△ABC，相似比为 $\frac{1}{3}$，
∴ 相似三角形周长比等于相似比，即 $\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$。
∵ $C_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}$，
∴ $C_{△ ADE}=\frac{1}{3}×27=9\ \mathrm{cm}$。
答：$C_{△ ADE}$ 为9cm。
∵ DB=2AD，
∴ AB = AD + DB = AD + 2AD = 3AD，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ EC=2AE，
∴ AC = AE + EC = AE + 2AE = 3AE，即 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又∵ ∠A = ∠A（公共角），
∴ △ADE∽△ABC。
(2) 解：
∵ △ADE∽△ABC，相似比为 $\frac{1}{3}$，
∴ 相似三角形周长比等于相似比，即 $\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$。
∵ $C_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}$，
∴ $C_{△ ADE}=\frac{1}{3}×27=9\ \mathrm{cm}$。
答：$C_{△ ADE}$ 为9cm。
解析
【分析】
（1）要证明$△ ADE ∽ △ ABC$，首先观察到两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，只需证明夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。结合已知$DB=2AD$、$EC=2AE$，分别计算$AD$与$AB$的比值、$AE$与$AC$的比值，验证二者相等，即可完成证明。
（2）要求$△ ADE$的周长，由相似三角形的性质可知，相似三角形的周长比等于相似比，已经得到两个三角形的相似比为$\frac{1}{3}$，结合已知$△ ABC$的周长，直接按比例计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because DB=2AD$，
$\therefore AB = AD + DB = AD + 2AD = 3AD$，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
$\because EC=2AE$，
$\therefore AC = AE + EC = AE + 2AE = 3AE$，即 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又$\because ∠ A = ∠ A$（公共角），
$\therefore △ ADE∽△ ABC$。
(2) 解：
$\because △ ADE∽△ ABC$，相似比为 $\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 相似三角形周长比等于相似比，即 $\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$。
$\because C_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}$，
$\therefore C_{△ ADE}=\frac{1}{3}×27=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $△ ADE∽△ ABC$得证；
(2) $C_{△ADE}=9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形相关的基础常规题，重点考查相似判定定理和周长性质的应用，解题逻辑清晰，掌握相似的判定方法和周长比与相似比的关系即可顺利解答，是巩固相似三角形基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.75
（1）要证明$△ ADE ∽ △ ABC$，首先观察到两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，只需证明夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。结合已知$DB=2AD$、$EC=2AE$，分别计算$AD$与$AB$的比值、$AE$与$AC$的比值，验证二者相等，即可完成证明。
（2）要求$△ ADE$的周长，由相似三角形的性质可知，相似三角形的周长比等于相似比，已经得到两个三角形的相似比为$\frac{1}{3}$，结合已知$△ ABC$的周长，直接按比例计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because DB=2AD$，
$\therefore AB = AD + DB = AD + 2AD = 3AD$，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
$\because EC=2AE$，
$\therefore AC = AE + EC = AE + 2AE = 3AE$，即 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又$\because ∠ A = ∠ A$（公共角），
$\therefore △ ADE∽△ ABC$。
(2) 解：
$\because △ ADE∽△ ABC$，相似比为 $\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 相似三角形周长比等于相似比，即 $\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$。
$\because C_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}$，
$\therefore C_{△ ADE}=\frac{1}{3}×27=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $△ ADE∽△ ABC$得证；
(2) $C_{△ADE}=9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形相关的基础常规题，重点考查相似判定定理和周长性质的应用，解题逻辑清晰，掌握相似的判定方法和周长比与相似比的关系即可顺利解答，是巩固相似三角形基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.75
1.《周髀》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度。如图9，点A,B,Q在同一水平线上，$∠ ABC=∠ AQP=90°$,AP与BC 
图9
相交于点D。测得$AB=40\ \mathrm{cm},BD=20\ \mathrm{cm},AQ=12\ \mathrm{m}$,则树高为 ()
A.$24\ \mathrm{m}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$60\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{m}$
图9相交于点D。测得$AB=40\ \mathrm{cm},BD=20\ \mathrm{cm},AQ=12\ \mathrm{m}$,则树高为 ()
A.$24\ \mathrm{m}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$60\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{m}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，找到两个含公共角∠A的直角三角形：△ABD和△AQP。根据两角分别相等可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式计算即可，注意计算前要统一长度单位。
【解析】
∵∠ABD=∠AQP=90°，∠A是△ABD和△AQP的公共角，
∴△ABD∽△AQP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$。
先统一单位：$AB=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$，$BD=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，
将$AB=0.4\ \mathrm{m}$，$BD=0.2\ \mathrm{m}$，$AQ=12\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{0.4}{12}=\frac{0.2}{PQ}$，
解得$PQ=\frac{0.2×12}{0.4}=6\ \mathrm{m}$，即树高为6m。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是准确识别相似三角形，计算时注意统一单位即可顺利求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，找到两个含公共角∠A的直角三角形：△ABD和△AQP。根据两角分别相等可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式计算即可，注意计算前要统一长度单位。
【解析】
∵∠ABD=∠AQP=90°，∠A是△ABD和△AQP的公共角，
∴△ABD∽△AQP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$。
先统一单位：$AB=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$，$BD=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，
将$AB=0.4\ \mathrm{m}$，$BD=0.2\ \mathrm{m}$，$AQ=12\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{0.4}{12}=\frac{0.2}{PQ}$，
解得$PQ=\frac{0.2×12}{0.4}=6\ \mathrm{m}$，即树高为6m。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是准确识别相似三角形，计算时注意统一单位即可顺利求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
