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6. 如图14，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B=90°，BC=6 cm，AB=8 cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图14所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长。
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
---
计算方案①的正方形边长
设方案①中正方形$BDEF$的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$BDEF$是正方形，
$\therefore EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$。
又$\because AE=AB-BE=8-x$，$EF=x$，代入得：
$\dfrac{8-x}{8}=\dfrac{x}{6}$
解得：$6(8-x)=8x$，$48-6x=8x$，$14x=48$，$x=\dfrac{24}{7}$。
---
计算方案②的正方形边长
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，交$DE$于点$M$。
由$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· BC=\dfrac{1}{2}AC· BH$，得：
$BH=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
设方案②中正方形$DEGF$的边长为$y\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGF$是正方形，
$\therefore DE// AC$，$DE=y$，$BM⊥ DE$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BM}{BH}$。
又$\because BM=BH-y=\dfrac{24}{5}-y$，代入得：
$\dfrac{y}{10}=\dfrac{\dfrac{24}{5}-y}{\dfrac{24}{5}}$
化简得：$24y=10(24-5y)$，$24y=240-50y$，$74y=240$，$y=\dfrac{120}{37}$。
答：方案①的正方形边长为$\dfrac{24}{7}\ \mathrm{cm}$，方案②的正方形边长为$\dfrac{120}{37}\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
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计算方案①的正方形边长
设方案①中正方形$BDEF$的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$BDEF$是正方形，
$\therefore EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$。
又$\because AE=AB-BE=8-x$，$EF=x$，代入得：
$\dfrac{8-x}{8}=\dfrac{x}{6}$
解得：$6(8-x)=8x$，$48-6x=8x$，$14x=48$，$x=\dfrac{24}{7}$。
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计算方案②的正方形边长
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，交$DE$于点$M$。
由$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· BC=\dfrac{1}{2}AC· BH$，得：
$BH=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
设方案②中正方形$DEGF$的边长为$y\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGF$是正方形，
$\therefore DE// AC$，$DE=y$，$BM⊥ DE$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BM}{BH}$。
又$\because BM=BH-y=\dfrac{24}{5}-y$，代入得：
$\dfrac{y}{10}=\dfrac{\dfrac{24}{5}-y}{\dfrac{24}{5}}$
化简得：$24y=10(24-5y)$，$24y=240-50y$，$74y=240$，$y=\dfrac{120}{37}$。
答：方案①的正方形边长为$\dfrac{24}{7}\ \mathrm{cm}$，方案②的正方形边长为$\dfrac{120}{37}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度。对于方案①：正方形BDEF的边分别在AB、BC上，由EF//BC可证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例的性质，设正方形边长为x，将对应边长代入比例式列方程求解即可。对于方案②：正方形DEGF的边在AC上，先过点B作AC边上的高BH，用三角形面积的等积计算法求出BH的长度，再由DE//AC可证△BDE∽△BCA，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，设正方形边长为y，将对应量代入比例式列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
计算方案①的正方形边长
设方案①中正方形$BDEF$的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$BDEF$是正方形，
$\therefore EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$。
又$\because AE=AB-BE=8-x$，$EF=x$，代入得：
$\dfrac{8-x}{8}=\dfrac{x}{6}$
解得：$6(8-x)=8x$，$48-6x=8x$，$14x=48$，$x=\dfrac{24}{7}$。
计算方案②的正方形边长
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，交$DE$于点$M$。
由$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· BC=\dfrac{1}{2}AC· BH$，得：
$BH=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
设方案②中正方形$DEGF$的边长为$y\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGF$是正方形，
$\therefore DE// AC$，$DE=y$，$BM⊥ DE$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BM}{BH}$。
又$\because BM=BH-y=\dfrac{24}{5}-y$，代入得：
$\dfrac{y}{10}=\dfrac{\dfrac{24}{5}-y}{\dfrac{24}{5}}$
化简得：$24y=10(24-5y)$，$24y=240-50y$，$74y=240$，$y=\dfrac{120}{37}$。
【答案】
方案①的正方形边长为$\boldsymbol{\dfrac{24}{7}\ \mathrm{cm}}$，方案②的正方形边长为$\boldsymbol{\dfrac{120}{37}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形解决几何内接图形问题的典型题，解题关键是结合正方形对边平行的性质构造相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，解题时要注意区分两种方案的相似对应关系，第二种方案要准确找到相似三角形的对应高，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度。对于方案①：正方形BDEF的边分别在AB、BC上，由EF//BC可证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例的性质，设正方形边长为x，将对应边长代入比例式列方程求解即可。对于方案②：正方形DEGF的边在AC上，先过点B作AC边上的高BH，用三角形面积的等积计算法求出BH的长度，再由DE//AC可证△BDE∽△BCA，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，设正方形边长为y，将对应量代入比例式列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
计算方案①的正方形边长
设方案①中正方形$BDEF$的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$BDEF$是正方形，
$\therefore EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$。
又$\because AE=AB-BE=8-x$，$EF=x$，代入得：
$\dfrac{8-x}{8}=\dfrac{x}{6}$
解得：$6(8-x)=8x$，$48-6x=8x$，$14x=48$，$x=\dfrac{24}{7}$。
计算方案②的正方形边长
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，交$DE$于点$M$。
由$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· BC=\dfrac{1}{2}AC· BH$，得：
$BH=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
设方案②中正方形$DEGF$的边长为$y\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGF$是正方形，
$\therefore DE// AC$，$DE=y$，$BM⊥ DE$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BM}{BH}$。
又$\because BM=BH-y=\dfrac{24}{5}-y$，代入得：
$\dfrac{y}{10}=\dfrac{\dfrac{24}{5}-y}{\dfrac{24}{5}}$
化简得：$24y=10(24-5y)$，$24y=240-50y$，$74y=240$，$y=\dfrac{120}{37}$。
【答案】
方案①的正方形边长为$\boldsymbol{\dfrac{24}{7}\ \mathrm{cm}}$，方案②的正方形边长为$\boldsymbol{\dfrac{120}{37}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形解决几何内接图形问题的典型题，解题关键是结合正方形对边平行的性质构造相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，解题时要注意区分两种方案的相似对应关系，第二种方案要准确找到相似三角形的对应高，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
1. 下列图形不是位似图形的是（）
答案
D
解析
【分析】
要判断是否为位似图形，需先明确位似图形的判定条件：第一，两个图形是相似图形；第二，两个图形的对应顶点连线相交于同一点，且对应边互相平行（或在同一条直线上）。解题时只需逐个验证四个选项是否同时满足上述两个条件，不满足的即为本题答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
1. 选项A：两个同心圆，所有圆都是相似图形，且两个圆的对应点连线均经过共同的圆心，满足位似图形的条件，是位似图形，不符合题意。
2. 选项B：两个三角形形状相同，属于相似图形，对应顶点的连线交于左侧同一点，且对应边互相平行，满足位似图形的条件，是位似图形，不符合题意。
3. 选项C：左右两个图形形状相似，对应顶点的连线交于中间的同一点，且对应边互相平行，满足位似图形的条件，是位似图形，不符合题意。
4. 选项D：两个箭头图形的对应顶点连线无法交于同一点，不满足位似图形的判定条件，不是位似图形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的判定、相似图形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确把握位似图形的判定要素，避免因漏看“对应顶点连线共点”“对应边平行（共线）”的条件而出错。
【难度系数】
0.7
要判断是否为位似图形，需先明确位似图形的判定条件：第一，两个图形是相似图形；第二，两个图形的对应顶点连线相交于同一点，且对应边互相平行（或在同一条直线上）。解题时只需逐个验证四个选项是否同时满足上述两个条件，不满足的即为本题答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
1. 选项A：两个同心圆，所有圆都是相似图形，且两个圆的对应点连线均经过共同的圆心，满足位似图形的条件，是位似图形，不符合题意。
2. 选项B：两个三角形形状相同，属于相似图形，对应顶点的连线交于左侧同一点，且对应边互相平行，满足位似图形的条件，是位似图形，不符合题意。
3. 选项C：左右两个图形形状相似，对应顶点的连线交于中间的同一点，且对应边互相平行，满足位似图形的条件，是位似图形，不符合题意。
4. 选项D：两个箭头图形的对应顶点连线无法交于同一点，不满足位似图形的判定条件，不是位似图形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的判定、相似图形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确把握位似图形的判定要素，避免因漏看“对应顶点连线共点”“对应边平行（共线）”的条件而出错。
【难度系数】
0.7
