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1. 一枚质地均匀的正方体骰子任意掷两次,下列说法正确的是
（）
A.得到的数字之和必然是偶数
B.得到的数字之和可能是奇数
C.得到的数字之和不可能是2
D.得到的数字之和可能是1
（）
A.得到的数字之和必然是偶数
B.得到的数字之和可能是奇数
C.得到的数字之和不可能是2
D.得到的数字之和可能是1
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确两次掷正方体骰子的点数和的取值范围，再结合事件的分类逐一判断各选项：第一步，先根据单次骰子的点数范围（1~6），计算两次点数和的最小值为1+1=2，最大值为6+6=12，可直接排除和的取值超出该范围的错误选项；第二步，根据有理数加法的奇偶性规律，判断和的奇偶性可能情况，最终选出正确选项。
【解析】
掷一次质地均匀的正方体骰子，点数为1、2、3、4、5、6的可能性均等，掷两次时：
1. 先确定点数和的取值范围：最小和为$1+1=2$，最大和为$6+6=12$，即点数和的所有可能值为2到12之间的整数。因此D选项“和可能是1”属于不可能事件，错误；C选项“和不可能是2”错误，两次都掷出1时和为2。
2. 再判断和的奇偶性：当两次掷出的点数一奇一偶时，和为奇数（如第一次1、第二次2，和为3）；当两次掷出的点数同奇或同偶时，和为偶数。因此和可能是奇数，也可能是偶数，A选项“必然是偶数”错误，B选项正确。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
事件的分类；随机事件判断；有理数加法运算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对事件可能性的判断能力，解题关键是先确定两次骰子点数和的取值范围，再结合奇偶性分析即可快速排除错误选项，容易掌握。
【难度系数】
0.9
解题时先明确两次掷正方体骰子的点数和的取值范围，再结合事件的分类逐一判断各选项：第一步，先根据单次骰子的点数范围（1~6），计算两次点数和的最小值为1+1=2，最大值为6+6=12，可直接排除和的取值超出该范围的错误选项；第二步，根据有理数加法的奇偶性规律，判断和的奇偶性可能情况，最终选出正确选项。
【解析】
掷一次质地均匀的正方体骰子，点数为1、2、3、4、5、6的可能性均等，掷两次时：
1. 先确定点数和的取值范围：最小和为$1+1=2$，最大和为$6+6=12$，即点数和的所有可能值为2到12之间的整数。因此D选项“和可能是1”属于不可能事件，错误；C选项“和不可能是2”错误，两次都掷出1时和为2。
2. 再判断和的奇偶性：当两次掷出的点数一奇一偶时，和为奇数（如第一次1、第二次2，和为3）；当两次掷出的点数同奇或同偶时，和为偶数。因此和可能是奇数，也可能是偶数，A选项“必然是偶数”错误，B选项正确。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
事件的分类；随机事件判断；有理数加法运算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对事件可能性的判断能力，解题关键是先确定两次骰子点数和的取值范围，再结合奇偶性分析即可快速排除错误选项，容易掌握。
【难度系数】
0.9
2. 从1,2,-3三个数中随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是（）
A.0
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
A.0
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
答案
B
解析
【分析】
要解决这道概率题，首先明确概率的计算公式：随机事件A发生的概率$P(A)=$事件A包含的等可能情况数÷所有等可能的总情况数。解题时第一步先列举出从三个数中随机抽取两个数的所有等可能组合，第二步根据有理数乘法法则计算每个组合的乘积，判断积是否为正数，统计符合要求的情况数，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
首先列举从1,2,-3中随机抽取两个数相乘的所有等可能情况：
1. 抽取1和2，乘积为：$1×2=2$，是正数；
2. 抽取1和-3，乘积为：$1×(-3)=-3$，是负数；
3. 抽取2和-3，乘积为：$2×(-3)=-6$，是负数。
综上，总共有3种等可能的情况，其中积为正数的情况有1种，因此积是正数的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率计算公式 2. 有理数乘法运算 3. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，结合有理数乘法的符号规律筛选出符合条件的结果，再代入概率公式求解，主要考查学生对基础概率知识和有理数运算的掌握程度。
【难度系数】
0.75
要解决这道概率题，首先明确概率的计算公式：随机事件A发生的概率$P(A)=$事件A包含的等可能情况数÷所有等可能的总情况数。解题时第一步先列举出从三个数中随机抽取两个数的所有等可能组合，第二步根据有理数乘法法则计算每个组合的乘积，判断积是否为正数，统计符合要求的情况数，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
首先列举从1,2,-3中随机抽取两个数相乘的所有等可能情况：
1. 抽取1和2，乘积为：$1×2=2$，是正数；
2. 抽取1和-3，乘积为：$1×(-3)=-3$，是负数；
3. 抽取2和-3，乘积为：$2×(-3)=-6$，是负数。
综上，总共有3种等可能的情况，其中积为正数的情况有1种，因此积是正数的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率计算公式 2. 有理数乘法运算 3. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，结合有理数乘法的符号规律筛选出符合条件的结果，再代入概率公式求解，主要考查学生对基础概率知识和有理数运算的掌握程度。
【难度系数】
0.75
3. (2024·菏泽)某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（）
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题时可先通过列举法找出所有等可能的结果总数，再找出甲、乙选择同一项活动的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可。第一步先算总等可能结果数：甲有3种选择，乙也有3种独立的选择，因此总结果数为3×3=9种；第二步算两人选同一项的结果数：两人同时选第一项、同时选第二项、同时选第三项，共3种；第三步代入公式计算概率。
【解析】
把跳绳、踢毽子、韵律操三项活动分别记为A、B、C，甲、乙各自选择活动的所有等可能结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
共9种等可能的结果。
其中两人选择同一项活动的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
因此他们选择同一项活动的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法求事件数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查用列举法梳理所有等可能事件，再代入概率公式求解的能力，解题时注意避免漏算或重复计算事件数即可。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算题，解题时可先通过列举法找出所有等可能的结果总数，再找出甲、乙选择同一项活动的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可。第一步先算总等可能结果数：甲有3种选择，乙也有3种独立的选择，因此总结果数为3×3=9种；第二步算两人选同一项的结果数：两人同时选第一项、同时选第二项、同时选第三项，共3种；第三步代入公式计算概率。
【解析】
把跳绳、踢毽子、韵律操三项活动分别记为A、B、C，甲、乙各自选择活动的所有等可能结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
共9种等可能的结果。
其中两人选择同一项活动的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
因此他们选择同一项活动的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法求事件数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查用列举法梳理所有等可能事件，再代入概率公式求解的能力，解题时注意避免漏算或重复计算事件数即可。
【难度系数】
0.8
4. 蓝色和红色混合在一起可以调配出紫色。小明制作了如图1所示的两个转盘，其中转盘A两部分的圆心角分别是120°和240°，转盘B两部分被平分成两份。分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域（若指向交线处，则重转）的颜色恰好能配成紫色的概率是 （）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确配成紫色的条件是两个转盘转出的颜色为一红一蓝（蓝色和红色混合得紫色）。解题步骤如下：第一步，利用几何概率的计算方法，根据区域圆心角占比求出转盘A转出每种颜色的概率，根据平分的特点求出转盘B转出每种颜色的概率；第二步，将配成紫色的情况拆分为“转盘A红+转盘B蓝”、“转盘A蓝+转盘B红”两种互斥的情况；第三步，分别计算两种情况的概率（独立事件同时发生的概率用乘法计算），再相加得到总概率即可。
【解析】
配成紫色的条件是两个指针指向的颜色为1个红色、1个蓝色。
1. 计算各转盘转出单种颜色的概率：
转盘A总圆心角为$360°$，两种颜色区域的圆心角分别为$120°$和$240°$，因此转出两种颜色的概率分别为：
$P_1=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P_2=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$；
转盘B被平均分成2份，因此转出两种颜色的概率均为$\frac{1}{2}$。
2. 计算配成紫色的总概率：
分两种符合条件的情况计算：
① 若转盘A转出红色（概率$\frac{1}{3}$），转盘B转出蓝色（概率$\frac{1}{2}$），此情况概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$；
② 若转盘A转出蓝色（概率$\frac{2}{3}$），转盘B转出红色（概率$\frac{1}{2}$），此情况概率为$\frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{2}{6}$；
因此配成紫色的总概率为$\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
几何概率计算；两步概率求解；互斥事件概率加法
【点评】
本题结合转盘模型考查概率的基础计算，解题的核心是明确配紫色的成立条件，正确拆分符合要求的情况，结合概率的乘法、加法规则计算即可，属于概率的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确配成紫色的条件是两个转盘转出的颜色为一红一蓝（蓝色和红色混合得紫色）。解题步骤如下：第一步，利用几何概率的计算方法，根据区域圆心角占比求出转盘A转出每种颜色的概率，根据平分的特点求出转盘B转出每种颜色的概率；第二步，将配成紫色的情况拆分为“转盘A红+转盘B蓝”、“转盘A蓝+转盘B红”两种互斥的情况；第三步，分别计算两种情况的概率（独立事件同时发生的概率用乘法计算），再相加得到总概率即可。
【解析】
配成紫色的条件是两个指针指向的颜色为1个红色、1个蓝色。
1. 计算各转盘转出单种颜色的概率：
转盘A总圆心角为$360°$，两种颜色区域的圆心角分别为$120°$和$240°$，因此转出两种颜色的概率分别为：
$P_1=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P_2=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$；
转盘B被平均分成2份，因此转出两种颜色的概率均为$\frac{1}{2}$。
2. 计算配成紫色的总概率：
分两种符合条件的情况计算：
① 若转盘A转出红色（概率$\frac{1}{3}$），转盘B转出蓝色（概率$\frac{1}{2}$），此情况概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$；
② 若转盘A转出蓝色（概率$\frac{2}{3}$），转盘B转出红色（概率$\frac{1}{2}$），此情况概率为$\frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{2}{6}$；
因此配成紫色的总概率为$\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
几何概率计算；两步概率求解；互斥事件概率加法
【点评】
本题结合转盘模型考查概率的基础计算，解题的核心是明确配紫色的成立条件，正确拆分符合要求的情况，结合概率的乘法、加法规则计算即可，属于概率的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图2,公园里的方桌旁有4个圆凳,甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上,则甲坐在乙对面的概率为 ()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题时可以利用座位的对称性简化运算：首先固定甲的座位（因为座位对称，甲坐任意位置不影响最终概率），此时剩余3个座位对乙来说是等可能选择的，只需统计其中是甲对面的座位数量，再结合概率公式即可求解；也可以通过计算总坐法数和符合条件的坐法数，用概率公式计算。
【解析】
方法1：利用对称性简化计算
由于4个座位是对称的，先固定甲的座位，此时乙可选择剩余3个座位，每个座位被选中的可能性相等，其中只有1个座位是甲的对面，因此甲坐在乙对面的概率为$\frac{1}{3}$。
方法2：枚举计数法
4人随机坐到4个圆凳上，总共有$4×3×2×1=24$种等可能的坐法。
其中甲坐在乙对面的情况：甲有4种座位选择，乙只能坐甲对面的1个座位，剩余丙、丁在剩下2个座位全排列，有$2×1=2$种坐法，符合条件的坐法共$4×1×2=8$种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，得所求概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率、概率计算公式、古典概型
【点评】
本题是典型的对称场景下的概率计算问题，通过固定其中一个元素的位置可以大幅降低计数难度，避免不必要的复杂排列计算，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
本题考查等可能事件的概率计算，解题时可以利用座位的对称性简化运算：首先固定甲的座位（因为座位对称，甲坐任意位置不影响最终概率），此时剩余3个座位对乙来说是等可能选择的，只需统计其中是甲对面的座位数量，再结合概率公式即可求解；也可以通过计算总坐法数和符合条件的坐法数，用概率公式计算。
【解析】
方法1：利用对称性简化计算
由于4个座位是对称的，先固定甲的座位，此时乙可选择剩余3个座位，每个座位被选中的可能性相等，其中只有1个座位是甲的对面，因此甲坐在乙对面的概率为$\frac{1}{3}$。
方法2：枚举计数法
4人随机坐到4个圆凳上，总共有$4×3×2×1=24$种等可能的坐法。
其中甲坐在乙对面的情况：甲有4种座位选择，乙只能坐甲对面的1个座位，剩余丙、丁在剩下2个座位全排列，有$2×1=2$种坐法，符合条件的坐法共$4×1×2=8$种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，得所求概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率、概率计算公式、古典概型
【点评】
本题是典型的对称场景下的概率计算问题，通过固定其中一个元素的位置可以大幅降低计数难度，避免不必要的复杂排列计算，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
6.(2024·安徽)不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球。从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是。
答案
解：分别记黄球为黄，白球为白，两个红球为红₁、红₂。
从袋中任取2个球，所有等可能的结果共6种，分别为：(黄,白)、(黄,红₁)、(黄,红₂)、(白,红₁)、(白,红₂)、(红₁,红₂)。
其中取出的2个球恰为2个红球的结果仅有1种。
因此所求概率$P=\frac{1}{6}$。
从袋中任取2个球，所有等可能的结果共6种，分别为：(黄,白)、(黄,红₁)、(黄,红₂)、(白,红₁)、(白,红₂)、(红₁,红₂)。
其中取出的2个球恰为2个红球的结果仅有1种。
因此所求概率$P=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，先给所有球做标记，保证列举结果时不会重复或遗漏；第二步，用列举法写出从袋中任取2个球的所有等可能结果，统计总结果数；第三步，找出“恰为2个红球”的符合条件的结果数，根据古典概型概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
分别记黄球为黄，白球为白，两个红球为红₁、红₂。
从袋中任取2个球，所有等可能的结果共6种，分别为：(黄,白)、(黄,红₁)、(黄,红₂)、(白,红₁)、(白,红₂)、(红₁,红₂)。
其中取出的2个球恰为2个红球的结果仅有1种。
因此所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型公式应用
【点评】
本题属于概率基础题型，考查对古典概型的理解和列举法的应用，解题关键是列举所有等可能结果时要将同色的不同球做区分，避免计数错误，掌握列举方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，先给所有球做标记，保证列举结果时不会重复或遗漏；第二步，用列举法写出从袋中任取2个球的所有等可能结果，统计总结果数；第三步，找出“恰为2个红球”的符合条件的结果数，根据古典概型概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
分别记黄球为黄，白球为白，两个红球为红₁、红₂。
从袋中任取2个球，所有等可能的结果共6种，分别为：(黄,白)、(黄,红₁)、(黄,红₂)、(白,红₁)、(白,红₂)、(红₁,红₂)。
其中取出的2个球恰为2个红球的结果仅有1种。
因此所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型公式应用
【点评】
本题属于概率基础题型，考查对古典概型的理解和列举法的应用，解题关键是列举所有等可能结果时要将同色的不同球做区分，避免计数错误，掌握列举方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
