7. 已知鸟卵孵化后,雏鸟为雌与为雄的概率相同。如果3枚鸟卵全部成功孵化,那么3只雏鸟都为雄鸟的概率为。

$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$

【分析】
本题考查概率的基础计算，可通过两种思路求解：①列举法：先列出3枚鸟卵孵化后所有等可能的性别组合，统计总结果数和3只都为雄鸟的结果数，再根据“概率=所求情况数÷总情况数”计算；②独立事件概率公式：每只雏鸟的性别互不影响，属于独立事件，多个独立事件同时发生的概率等于各事件单独发生概率的乘积，已知单枚鸟卵孵出雄鸟的概率为$\frac{1}{2}$，代入公式即可算出结果。
【解析】
方法一：列举法
3枚鸟卵孵化的所有等可能结果为：（雄，雄，雄）、（雄，雄，雌）、（雄，雌，雄）、（雌，雄，雄）、（雄，雌，雌）、（雌，雄，雌）、（雌，雌，雄）、（雌，雌，雌），共8种，其中3只雏鸟都为雄鸟的结果只有1种，
因此$P(3只都为雄鸟)=\frac{1}{8}$。
方法二：独立事件概率计算
已知每枚鸟卵孵化出雄鸟的概率为$\frac{1}{2}$，且3枚鸟卵的孵化结果相互独立、互不影响，
因此3只雏鸟都为雄鸟的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$
【知识点】
等可能事件概率；独立事件概率计算；列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，既可以通过列举所有等可能结果直观求解，也可以利用独立事件的概率规律快速计算，解题时注意确认事件是否相互独立即可。
【难度系数】
0.8

8.若4张奖券中有2张是有奖的且奖品不同,甲、乙先后各抽一张(不放回),回答下列问题。
(1)甲中奖的概率是多少?
(2)试用画树状图或列表的方法求甲、乙都中奖的概率。

解：
(1) 4张奖券中任意抽取1张，共有4种等可能的结果，其中中奖的结果共2种，
因此甲中奖的概率为 $P(甲中奖)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 记2张有奖的奖券为A、B，2张无奖的奖券为C、D，列表如下：
| 甲抽取 | 乙可抽取的结果 |
| ---- | ---- |
| A | B、C、D |
| B | A、C、D |
| C | A、B、D |
| D | A、B、C |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙都中奖的结果为(A,B)、(B,A)，共2种，
因此甲、乙都中奖的概率为 $P(甲、乙都中奖)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

【分析】
（1）第一问属于简单古典概型问题，解题时先明确甲抽奖时所有等可能的总结果数，再找出甲中奖的结果数，根据古典概型“概率=所求情况数÷总情况数”的公式直接计算即可。
（2）第二问是不放回的两步随机试验问题，适合用列表法列举所有等可能的结果，注意先后抽取是有序的，且不放回时乙无法抽到甲已抽走的奖券，列举完所有结果后，从中筛选出甲、乙都中奖的结果数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 4张奖券中甲任意抽取1张，共有4种等可能的结果，其中中奖的结果共2种，
因此甲中奖的概率为 $P(甲中奖)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 记2张有奖的奖券为A、B，2张无奖的奖券为C、D，列表如下：
| 甲抽取 | 乙可抽取的结果 |
| ---- | ---- |
| A | B、C、D |
| B | A、C、D |
| C | A、B、D |
| D | A、B、C |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙都中奖的结果为(A,B)、(B,A)，共2种，
因此甲、乙都中奖的概率为 $P(甲、乙都中奖)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算，列表法求概率，不放回试验概率
【点评】
本题是概率基础题型，既考查了古典概型概率公式的直接应用，也考查了用列表法解决两步随机试验概率问题的能力，解题时注意不放回试验结果不重复、抽取有序的特点，避免漏算或多算结果。
【难度系数】
0.75

9. 从1,2,3,4四个数字中无放回地任意抽取三个数字,求下列事件的概率:
(1)三个数字中含有3;
(2)三个数字中不含3。

解：
从1,2,3,4四个数字中无放回地任意抽取三个数字，所有等可能出现的结果为：(1,2,3)、(1,2,4)、(1,3,4)、(2,3,4)，共4种。
(1) 三个数字中含有3的结果共有3种，分别是(1,2,3)、(1,3,4)、(2,3,4)，
因此$P(\mathrm{三个数字中含有}3)=\frac{3}{4}$。
(2) 三个数字中不含3的结果只有1种，为(1,2,4)，
因此$P(\mathrm{三个数字中不含}3)=\frac{1}{4}$。

【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题可按以下思路推进：第一步先确定总事件数，由于是从4个数字中无放回抽3个，总数量较少，可用枚举法列出所有等可能的抽取结果，得到总结果数n；第二步分别统计“三个数字含3”和“三个数字不含3”对应的符合条件的结果数m；第三步代入古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}$即可计算出对应概率。也可以利用两个事件为对立事件的关系，算出第一问结果后直接推导第二问结果，简化计算。
【解析】
先枚举从1,2,3,4四个数字中无放回任意抽取三个数字的所有等可能结果，分别为：$(1,2,3)$、$(1,2,4)$、$(1,3,4)$、$(2,3,4)$，共4种等可能情况。
(1) 三个数字中含有3的结果有$(1,2,3)$、$(1,3,4)$、$(2,3,4)$，共3种，代入概率公式得：
$P(\mathrm{三个数字中含有}3)=\frac{3}{4}$
(2) 三个数字中不含3的结果只有$(1,2,4)$，共1种，代入概率公式得：
$P(\mathrm{三个数字中不含}3)=\frac{1}{4}$
（也可通过对立事件性质计算：$P(\mathrm{不含3})=1-P(\mathrm{含3})=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$）
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
古典概型概率计算，枚举法计数，对立事件概率关系
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查枚举法统计等可能事件数以及概率基本公式的应用，解题时要注意枚举结果做到不重复、不遗漏，熟练掌握对立事件的性质可进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.8

1. 为验证“掷一枚质地均匀的骰子,标有数字1的面朝上的概率是$\frac{1}{6}$”,某同学做了下面两个模拟试验:
①取一枚崭新的质地均匀的骰子,在平滑的地面上做反复投掷试验,计算标有数字1的面朝上的次数与总投掷次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份,并依次标上数字1,2,3,4,5,6,转动转盘,计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值(指针落在分界线不计)。
你认为下面说法正确的是 （）

A.试验①科学
B.试验②科学
C.两个试验都不科学
D.两个试验都科学

D

【分析】
要判断两个模拟试验是否科学，首先明确利用频率估计概率时，设计的模拟试验需要满足两个核心条件：一是试验中所有可能出现的结果是等可能的，二是目标事件发生的概率与原验证事件的概率相等。我们分别对照这两个条件分析两个试验是否符合要求，即可得出结论。
【解析】
先分析试验①：
试验①直接使用质地均匀的骰子开展投掷试验，和待验证的原事件完全一致。投掷骰子时，1~6每个面朝上的可能性相等，标有数字1的面朝上的概率恰好为$\frac{1}{6}$，大量重复投掷时，标1的面朝上的频率会逐渐稳定在$\frac{1}{6}$附近，可验证原结论，因此试验①科学。
再分析试验②：
试验②将质地均匀的圆形转盘平均分成6份，每个标有数字的区域面积相等，转动转盘时指针落在每个数字区域的可能性相等，指针落在标1区域的概率为$\frac{1}{6}$，和原事件的目标概率一致，大量重复转动时，对应的频率也会稳定在$\frac{1}{6}$附近，也可验证原结论，因此试验②科学。
综上，两个试验都科学。
【答案】
D
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 模拟试验合理性判断
3. 等可能事件概率
【点评】
本题考查模拟试验的设计原则，只要设计的试验满足所有结果等可能、目标事件概率与原事件一致，就可以用来通过频率估计概率，大家设计模拟试验时要注意保证事件的等可能性。
【难度系数】
0.8