登录
2. 盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒子中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下试验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球估计有
（）
A.90个
B.70个
C.32个
D.24个
（）
A.90个
B.70个
C.32个
D.24个
答案
D
解析
【分析】
本题属于用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用摸出白球的频率近似代替摸出白球的概率；其次，结合概率的计算公式（概率=所求情况数与总情况数之比），设黄球个数为未知数，列方程求解即可得到黄球的估计数量。
【解析】
解：首先计算摸出白色乒乓球的频率：
试验共360次，摸出白色乒乓球90次，因此摸出白球的频率为$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$。
由于大量重复试验中，稳定的频率可近似等于事件发生的概率，因此摸出白色乒乓球的概率约为$\frac{1}{4}$。
设盒子中黄色乒乓球有$x$个，则盒子中乒乓球总个数为$(8+x)$个，根据概率公式可得：
$\frac{8}{8+x}=\frac{1}{4}$
交叉相乘解方程：
$8+x=8×4$
$8+x=32$
$x=32-8=24$
因此黄色乒乓球估计有24个。
【答案】
D
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率公式应用
【点评】
本题是概率的实际应用类基础题，解题核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式建立方程求解，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题属于用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用摸出白球的频率近似代替摸出白球的概率；其次，结合概率的计算公式（概率=所求情况数与总情况数之比），设黄球个数为未知数，列方程求解即可得到黄球的估计数量。
【解析】
解：首先计算摸出白色乒乓球的频率：
试验共360次，摸出白色乒乓球90次，因此摸出白球的频率为$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$。
由于大量重复试验中，稳定的频率可近似等于事件发生的概率，因此摸出白色乒乓球的概率约为$\frac{1}{4}$。
设盒子中黄色乒乓球有$x$个，则盒子中乒乓球总个数为$(8+x)$个，根据概率公式可得：
$\frac{8}{8+x}=\frac{1}{4}$
交叉相乘解方程：
$8+x=8×4$
$8+x=32$
$x=32-8=24$
因此黄色乒乓球估计有24个。
【答案】
D
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率公式应用
【点评】
本题是概率的实际应用类基础题，解题核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式建立方程求解，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 一个不透明的盒子中装有$a$个除颜色外其他完全相同的球，这$a$个球中只有3个红球。若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则$a$的值约为（）
A.12
B.15
C.18
D.21
A.12
B.15
C.18
D.21
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆用频率估计概率的相关知识：大量重复试验中，当事件发生的频率稳定到某个常数附近时，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。本题中摸到红球的频率稳定在20%，说明摸到红球的概率约为20%；再结合概率的计算公式：随机事件A的概率P(A)=事件A包含的结果数÷所有可能的结果总数，本题中摸到红球包含的结果数是红球的个数3，所有可能的结果总数是总球数a，代入数值列方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在20%左右
∴估计摸到红球的概率为$20\%=0.2$
根据概率公式可得：$\frac{3}{a}=0.2$
解得：$a=3÷0.2=15$
经检验，$a=15$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题是概率基础应用题，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式列式计算即可求解，掌握基础概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆用频率估计概率的相关知识：大量重复试验中，当事件发生的频率稳定到某个常数附近时，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。本题中摸到红球的频率稳定在20%，说明摸到红球的概率约为20%；再结合概率的计算公式：随机事件A的概率P(A)=事件A包含的结果数÷所有可能的结果总数，本题中摸到红球包含的结果数是红球的个数3，所有可能的结果总数是总球数a，代入数值列方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在20%左右
∴估计摸到红球的概率为$20\%=0.2$
根据概率公式可得：$\frac{3}{a}=0.2$
解得：$a=3÷0.2=15$
经检验，$a=15$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题是概率基础应用题，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式列式计算即可求解，掌握基础概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
4. 图3显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次试验的结果。
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此试验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45。
其中合理的是（）
A.①
B.②
C.①②
D.①③
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此试验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45。
其中合理的是（）
A.①
B.②
C.①②
D.①③
答案
B
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的相关知识，解题时首先要明确频率和概率的核心区别：概率是事件发生的固定理论值，频率是某次试验中事件发生的次数与总试验次数的比值，具有随机性；只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，此时可以用稳定的频率估计概率。解题时按照这个逻辑逐一判断三个推断是否合理即可：首先判断①，少量试验的频率不能直接等同于概率，所以①错误；再判断②，图中显示试验次数增加后，“正面向上”的频率稳定在0.5附近，符合用频率估计概率的要求，所以②正确；最后判断③，重复试验时频率是随机的，相同试验次数下频率不一定和之前一致，所以③错误，最终选出正确选项。
【解析】
结合频率与概率的关系对三个推断逐一分析：
1. 推断①：抛掷次数为100属于少量试验，此时得到的频率0.47具有随机性，不能直接将少量试验的频率等同于事件的概率，因此①不合理。
2. 推断②：从统计图可看出，随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，表现出稳定性，根据用频率估计概率的规则，此时可以估计“正面向上”的概率是0.5，因此②合理。
3. 推断③：随机试验的频率具有随机性，再次模拟该试验时，抛掷150次的“正面向上”频率不一定和本次试验结果相同，不一定是0.45，因此③不合理。
综上，只有②合理，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，频率与概率的区别
【点评】
本题围绕硬币抛掷试验的频率统计图出题，核心是要区分频率和概率的概念，牢记只有大量重复试验下的稳定频率才能用于估计概率，单次或少量试验的频率不能直接作为概率，且每次试验的频率是随机的，避免混淆二者的概念。
【难度系数】
0.8
这道题考查用频率估计概率的相关知识，解题时首先要明确频率和概率的核心区别：概率是事件发生的固定理论值，频率是某次试验中事件发生的次数与总试验次数的比值，具有随机性；只有当试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，此时可以用稳定的频率估计概率。解题时按照这个逻辑逐一判断三个推断是否合理即可：首先判断①，少量试验的频率不能直接等同于概率，所以①错误；再判断②，图中显示试验次数增加后，“正面向上”的频率稳定在0.5附近，符合用频率估计概率的要求，所以②正确；最后判断③，重复试验时频率是随机的，相同试验次数下频率不一定和之前一致，所以③错误，最终选出正确选项。
【解析】
结合频率与概率的关系对三个推断逐一分析：
1. 推断①：抛掷次数为100属于少量试验，此时得到的频率0.47具有随机性，不能直接将少量试验的频率等同于事件的概率，因此①不合理。
2. 推断②：从统计图可看出，随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，表现出稳定性，根据用频率估计概率的规则，此时可以估计“正面向上”的概率是0.5，因此②合理。
3. 推断③：随机试验的频率具有随机性，再次模拟该试验时，抛掷150次的“正面向上”频率不一定和本次试验结果相同，不一定是0.45，因此③不合理。
综上，只有②合理，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，频率与概率的区别
【点评】
本题围绕硬币抛掷试验的频率统计图出题，核心是要区分频率和概率的概念，牢记只有大量重复试验下的稳定频率才能用于估计概率，单次或少量试验的频率不能直接作为概率，且每次试验的频率是随机的，避免混淆二者的概念。
【难度系数】
0.8
5. (2024·扬州)数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后,整理的试验数据如下表:
| 累计抛掷次数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 500 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 5 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 盖面朝上次数 | 28 | 54 | 106 |
| 264 | 527 | 1 056 | 1 587 | 2 650 |
| 盖面朝上频率 | 0.560 | 0.540 | 0.530 | 0.523 | 0.528 | 0.527 | 0.528 | 0.529 | 0.530 |
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为。（精确到0.01）
| 累计抛掷次数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 500 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 5 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 盖面朝上次数 | 28 | 54 | 106 |
| 264 | 527 | 1 056 | 1 587 | 2 650 || 盖面朝上频率 | 0.560 | 0.540 | 0.530 | 0.523 | 0.528 | 0.527 | 0.528 | 0.529 | 0.530 |
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为。（精确到0.01）
答案
$\boldsymbol{0.53}$
解析
【分析】
解这道题首先要明确用频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。接下来观察表格中盖面朝上的频率变化：随着累计抛掷次数不断增大，频率从最初的0.560逐渐波动，后续稳定在0.527~0.530之间，结合题目要求精确到0.01，即可得出对应的概率估计值。
【解析】
根据用频率估计概率的规律：大量重复试验时，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。
观察表格数据可知，随着抛掷次数逐渐增加，“盖面朝上”的频率逐渐稳定在0.53附近，按照要求精确到0.01，因此估计“盖面朝上”的概率为0.53。
【答案】
0.53
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，解题关键是理解大量重复试验下频率和概率的关联，需要结合数据的变化趋势判断频率的稳定值，同时注意题目要求的精度。
【难度系数】
0.85
解这道题首先要明确用频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。接下来观察表格中盖面朝上的频率变化：随着累计抛掷次数不断增大，频率从最初的0.560逐渐波动，后续稳定在0.527~0.530之间，结合题目要求精确到0.01，即可得出对应的概率估计值。
【解析】
根据用频率估计概率的规律：大量重复试验时，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。
观察表格数据可知，随着抛掷次数逐渐增加，“盖面朝上”的频率逐渐稳定在0.53附近，按照要求精确到0.01，因此估计“盖面朝上”的概率为0.53。
【答案】
0.53
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，解题关键是理解大量重复试验下频率和概率的关联，需要结合数据的变化趋势判断频率的稳定值，同时注意题目要求的精度。
【难度系数】
0.85
