登录
23. (2026·河北)(11分)如图13,二次函数$y=(x-t)(x-3t)$(其中$t＞0$)的图象与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧),与$y$轴交于点$C$,顶点为$P$。将点$B$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到点$D$。
(1)若$t=1$,求直线$PD$的函数表达式,并判断点$C$关于二次函数图象对称轴的对称点$C'$是否在直线$PD$上;
(2)当$3≤x≤6$时,二次函数的最大值为9,求$t$的值;
(3)连接$OP$,当点$D$不在直线$OP$上时,过点$D$作直线$DE// OP$,交$y$轴于点$E(0,m)$,请直接写出$m$的最小值。
(1)若$t=1$,求直线$PD$的函数表达式,并判断点$C$关于二次函数图象对称轴的对称点$C'$是否在直线$PD$上;
(2)当$3≤x≤6$时,二次函数的最大值为9,求$t$的值;
(3)连接$OP$,当点$D$不在直线$OP$上时,过点$D$作直线$DE// OP$,交$y$轴于点$E(0,m)$,请直接写出$m$的最小值。
答案
解：
(1) 当$t=1$时，二次函数解析式为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
令$y=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，故$A(1,0)$，$B(3,0)$。
配方得$y=(x-2)^2-1$，得顶点$P(2,-1)$。
由点$B$绕点$A$顺时针旋转$90°$，$AB=2$，得$D(1,-2)$。
设直线$PD$的解析式为$y=kx+b$，将$P(2,-1)$、$D(1,-2)$代入：
$\begin{cases}2k+b=-1\\k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$
故直线$PD$的函数表达式为$y=x-3$。
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$。二次函数对称轴为直线$x=2$，点$C$关于对称轴的对称点$C'$坐标为$(4,3)$。
将$x=4$代入$y=x-3$，得$y=1≠3$，因此点$C'$不在直线$PD$上。
(2) 二次函数$y=(x-t)(x-3t)=x^2-4tx+3t^2$，开口向上，对称轴为直线$x=2t$，区间$3≤ x≤6$上的最大值在端点处取得：
① 当$2t≤\frac{3+6}{2}$，即$0＜t≤\frac{9}{4}$时，最大值在$x=6$处取得：
代入得$(6-t)(6-3t)=9$，整理得$t^2-8t+9=0$，解得$t=4\pm\sqrt{7}$。
结合$0＜t≤\frac{9}{4}$，得$t=4-\sqrt{7}$。
② 当$2t＞\frac{3+6}{2}$，即$t＞\frac{9}{4}$时，最大值在$x=3$处取得：
代入得$(3-t)(3-3t)=9$，整理得$t^2-4t=0$，解得$t_1=0$（舍去），$t_2=4$。
综上，$t$的值为$4-\sqrt{7}$或$4$。
(3) $m$的最小值为$\boldsymbol{-2}$。
(1) 当$t=1$时，二次函数解析式为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
令$y=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，故$A(1,0)$，$B(3,0)$。
配方得$y=(x-2)^2-1$，得顶点$P(2,-1)$。
由点$B$绕点$A$顺时针旋转$90°$，$AB=2$，得$D(1,-2)$。
设直线$PD$的解析式为$y=kx+b$，将$P(2,-1)$、$D(1,-2)$代入：
$\begin{cases}2k+b=-1\\k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$
故直线$PD$的函数表达式为$y=x-3$。
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$。二次函数对称轴为直线$x=2$，点$C$关于对称轴的对称点$C'$坐标为$(4,3)$。
将$x=4$代入$y=x-3$，得$y=1≠3$，因此点$C'$不在直线$PD$上。
(2) 二次函数$y=(x-t)(x-3t)=x^2-4tx+3t^2$，开口向上，对称轴为直线$x=2t$，区间$3≤ x≤6$上的最大值在端点处取得：
① 当$2t≤\frac{3+6}{2}$，即$0＜t≤\frac{9}{4}$时，最大值在$x=6$处取得：
代入得$(6-t)(6-3t)=9$，整理得$t^2-8t+9=0$，解得$t=4\pm\sqrt{7}$。
结合$0＜t≤\frac{9}{4}$，得$t=4-\sqrt{7}$。
② 当$2t＞\frac{3+6}{2}$，即$t＞\frac{9}{4}$时，最大值在$x=3$处取得：
代入得$(3-t)(3-3t)=9$，整理得$t^2-4t=0$，解得$t_1=0$（舍去），$t_2=4$。
综上，$t$的值为$4-\sqrt{7}$或$4$。
(3) $m$的最小值为$\boldsymbol{-2}$。
解析
【分析】
(1) 当t=1时，先写出二次函数解析式，求出与x轴交点A、B的坐标，再将二次函数配方得到顶点P的坐标；根据旋转的性质，点B绕点A顺时针旋转90°，结合AB的长度得到D点坐标；用待定系数法求直线PD的解析式，再求出C点及其关于对称轴的对称点C'的坐标，代入直线解析式验证即可判断C'是否在直线PD上。
(2) 先整理二次函数的一般式，确定开口方向和对称轴，由于二次函数开口向上，定区间内的最大值在区间端点处取得，结合对称轴与区间中点的位置关系分两种情况讨论，分别代入端点值列方程求解，再结合t的取值范围取舍结果。
(3) 先表示出A、B、P的坐标，根据旋转性质得到D点坐标，求出直线OP的斜率，由DE//OP可得DE的斜率，结合D点坐标写出DE的解析式，得到m关于t的表达式，结合点D不在OP上的条件即可求出m的最小值。
【解析】
(1) 当$t=1$时，二次函数解析式为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
令$y=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，故$A(1,0)$，$B(3,0)$。
配方得$y=(x-2)^2-1$，得顶点$P(2,-1)$。
由点$B$绕点$A$顺时针旋转$90°$，$AB=2$，得$D(1,-2)$。
设直线$PD$的解析式为$y=kx+b$，将$P(2,-1)$、$D(1,-2)$代入：
$\begin{cases}2k+b=-1\\k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$
故直线$PD$的函数表达式为$y=x-3$。
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$。二次函数对称轴为直线$x=2$，点$C$关于对称轴的对称点$C'$坐标为$(4,3)$。
将$x=4$代入$y=x-3$，得$y=1≠3$，因此点$C'$不在直线$PD$上。
(2) 二次函数$y=(x-t)(x-3t)=x^2-4tx+3t^2$，开口向上，对称轴为直线$x=2t$，区间$3≤ x≤6$上的最大值在端点处取得：
① 当$2t≤\frac{3+6}{2}$，即$0＜t≤\frac{9}{4}$时，最大值在$x=6$处取得：
代入得$(6-t)(6-3t)=9$，整理得$t^2-8t+9=0$，解得$t=4\pm\sqrt{7}$。
结合$0＜t≤\frac{9}{4}$，得$t=4-\sqrt{7}$。
② 当$2t＞\frac{3+6}{2}$，即$t＞\frac{9}{4}$时，最大值在$x=3$处取得：
代入得$(3-t)(3-3t)=9$，整理得$t^2-4t=0$，解得$t_1=0$（舍去），$t_2=4$。
综上，$t$的值为$4-\sqrt{7}$或$4$。
(3) 易得$P(2t,-t^2)$，直线OP解析式为$y=-\frac{t}{2}x$；$A(t,0)$，$B(3t,0)$，旋转后得$D(t,-2t)$，DE//OP，设DE解析式为$y=-\frac{t}{2}x+b$，代入D点坐标得$-2t=-\frac{t}{2}· t +b$，解得$b=\frac{t^2}{2}-2t$，即$m=\frac{1}{2}(t-2)^2-2$，当$t=2$时，m取最小值-2，此时验证D不在直线OP上，符合条件，故m的最小值为-2。
【答案】
(1) 直线$PD$的函数表达式为$\boldsymbol{y=x-3}$，点$C'$不在直线$PD$上；
(2) $t$的值为$\boldsymbol{4-\sqrt{7}}$或$\boldsymbol{4}$；
(3) $m$的最小值为$\boldsymbol{-2}$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的应用，旋转变换的性质
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了图形旋转、一次函数解析式求解、二次函数区间最值等考点，需要运用分类讨论思想、数形结合思想分析问题，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 当t=1时，先写出二次函数解析式，求出与x轴交点A、B的坐标，再将二次函数配方得到顶点P的坐标；根据旋转的性质，点B绕点A顺时针旋转90°，结合AB的长度得到D点坐标；用待定系数法求直线PD的解析式，再求出C点及其关于对称轴的对称点C'的坐标，代入直线解析式验证即可判断C'是否在直线PD上。
(2) 先整理二次函数的一般式，确定开口方向和对称轴，由于二次函数开口向上，定区间内的最大值在区间端点处取得，结合对称轴与区间中点的位置关系分两种情况讨论，分别代入端点值列方程求解，再结合t的取值范围取舍结果。
(3) 先表示出A、B、P的坐标，根据旋转性质得到D点坐标，求出直线OP的斜率，由DE//OP可得DE的斜率，结合D点坐标写出DE的解析式，得到m关于t的表达式，结合点D不在OP上的条件即可求出m的最小值。
【解析】
(1) 当$t=1$时，二次函数解析式为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
令$y=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，故$A(1,0)$，$B(3,0)$。
配方得$y=(x-2)^2-1$，得顶点$P(2,-1)$。
由点$B$绕点$A$顺时针旋转$90°$，$AB=2$，得$D(1,-2)$。
设直线$PD$的解析式为$y=kx+b$，将$P(2,-1)$、$D(1,-2)$代入：
$\begin{cases}2k+b=-1\\k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$
故直线$PD$的函数表达式为$y=x-3$。
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$。二次函数对称轴为直线$x=2$，点$C$关于对称轴的对称点$C'$坐标为$(4,3)$。
将$x=4$代入$y=x-3$，得$y=1≠3$，因此点$C'$不在直线$PD$上。
(2) 二次函数$y=(x-t)(x-3t)=x^2-4tx+3t^2$，开口向上，对称轴为直线$x=2t$，区间$3≤ x≤6$上的最大值在端点处取得：
① 当$2t≤\frac{3+6}{2}$，即$0＜t≤\frac{9}{4}$时，最大值在$x=6$处取得：
代入得$(6-t)(6-3t)=9$，整理得$t^2-8t+9=0$，解得$t=4\pm\sqrt{7}$。
结合$0＜t≤\frac{9}{4}$，得$t=4-\sqrt{7}$。
② 当$2t＞\frac{3+6}{2}$，即$t＞\frac{9}{4}$时，最大值在$x=3$处取得：
代入得$(3-t)(3-3t)=9$，整理得$t^2-4t=0$，解得$t_1=0$（舍去），$t_2=4$。
综上，$t$的值为$4-\sqrt{7}$或$4$。
(3) 易得$P(2t,-t^2)$，直线OP解析式为$y=-\frac{t}{2}x$；$A(t,0)$，$B(3t,0)$，旋转后得$D(t,-2t)$，DE//OP，设DE解析式为$y=-\frac{t}{2}x+b$，代入D点坐标得$-2t=-\frac{t}{2}· t +b$，解得$b=\frac{t^2}{2}-2t$，即$m=\frac{1}{2}(t-2)^2-2$，当$t=2$时，m取最小值-2，此时验证D不在直线OP上，符合条件，故m的最小值为-2。
【答案】
(1) 直线$PD$的函数表达式为$\boldsymbol{y=x-3}$，点$C'$不在直线$PD$上；
(2) $t$的值为$\boldsymbol{4-\sqrt{7}}$或$\boldsymbol{4}$；
(3) $m$的最小值为$\boldsymbol{-2}$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的应用，旋转变换的性质
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了图形旋转、一次函数解析式求解、二次函数区间最值等考点，需要运用分类讨论思想、数形结合思想分析问题，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
