17. (9分)关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k-1)x+k^2-1=0$，其中$k＜0$。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
(2)当$k=-1$时,求该方程的根。

(1) 证明：
对于一元二次方程 $x^2-(2k-1)x+k^2-1=0$，
其根的判别式为：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2-1)\\&=4k^2-4k+1-4k^2+4\\&=-4k+5\end{aligned}$
已知 $k＜0$，则 $-4k＞0$，因此 $-4k+5＞5＞0$，即 $\Delta＞0$。
所以该方程有两个不相等的实数根。
---
(2) 解：
当 $k=-1$ 时，将 $k=-1$ 代入原方程：
$\begin{aligned}x^2 - [2×(-1)-1]x + (-1)^2 -1 &= 0\\x^2 +3x +1-1 &=0\\x^2+3x&=0\end{aligned}$
因式分解得：$x(x+3)=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=-3$。

【分析】
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，只需证明判别式Δ＞0即可。首先结合方程的各项系数写出Δ的表达式，化简后结合已知k＜0的条件判断Δ的正负性，即可完成证明。
(2) 求k=-1时方程的根，只需将k=-1代入原方程得到仅含x的一元二次方程，再用因式分解法求解即可。
【解析】
(1) 证明：
对于一元二次方程 $x^2-(2k-1)x+k^2-1=0$，
其根的判别式为：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2-1)\\&=4k^2-4k+1-4k^2+4\\&=-4k+5\end{aligned}$
已知 $k＜0$，则 $-4k＞0$，因此 $-4k+5＞5＞0$，即 $\Delta＞0$。
所以该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
当 $k=-1$ 时，将 $k=-1$ 代入原方程：
$\begin{aligned}x^2 - [2×(-1)-1]x + (-1)^2 -1 &= 0\\x^2 +3x +1-1 &=0\\x^2+3x&=0\end{aligned}$
因式分解得：$x(x+3)=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=-3$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根，得证；
(2) $x_1=0$，$x_2=-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规题，侧重考察对根的判别式的理解应用和基础运算能力，解题思路清晰，只要熟练掌握相关知识点就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.85

18.(9分)如图11,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF//BE，DF=BE。
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC平分∠BAD，判断四边形ABCD是什么特殊四边形，并说明理由。

(1) 证明：
∵ $DF// BE$，
∴ $∠ DFE = ∠ BEF$，
∴ $180°-∠ DFE = 180°-∠ BEF$，即 $∠ DFC = ∠ BEA$。
在$△ AEB$和$△ CFD$中：
$\begin{cases}AE = CF \\∠ BEA = ∠ DFC \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ AEB ≌ △ CFD$（SAS），
∴ $AB = CD$，$∠ BAE = ∠ DCF$，
∴ $AB// CD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
---
(2) 解：四边形$ABCD$是菱形，理由如下：
∵ $AC$平分$∠ BAD$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ DCA = ∠ BAC$，
∴ $∠ DAC = ∠ DCA$，
∴ $AD = CD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。

【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。已知DF//BE、AE=CF、DF=BE，先利用平行线的性质得到相等的角，再通过SAS证明△AEB≌△CFD，得到AB与CD平行且相等的关系，即可判定平行四边形。
(2) 已知AC平分∠BAD，结合(1)中已证的平行四边形，要判断特殊四边形，可根据菱形的判定定理，证明平行四边形有一组邻边相等。利用角平分线的性质和平行线的性质推导等角，再由等角对等边得到邻边相等，即可判定为菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DF// BE$，
∴ $∠ DFE = ∠ BEF$，
∴ $180°-∠ DFE = 180°-∠ BEF$，即 $∠ DFC = ∠ BEA$。
在$△ AEB$和$△ CFD$中：
$\begin{cases}AE = CF \\∠ BEA = ∠ DFC \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ AEB ≌ △ CFD$（SAS），
∴ $AB = CD$，$∠ BAE = ∠ DCF$，
∴ $AB// CD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：四边形$ABCD$是菱形，理由如下：
∵ $AC$平分$∠ BAD$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ DCA = ∠ BAC$，
∴ $∠ DAC = ∠ DCA$，
∴ $AD = CD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形；(2) 四边形ABCD是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础题，综合考查了全等三角形的证明、平行四边形和菱形的判定，解题的核心是熟练掌握特殊四边形的判定定理，能结合已知条件找到边角的等量关系完成推导。
【难度系数】
0.7

19.(9分)(2024·苏州)如图12,一个不透明的盒子里装有4张书签,分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节,书签除图案外都相同,将4张书签充分搅匀。

(1)若从盒子中任意抽取1张书签,恰好抽到“夏”的概率为;
(2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签,且这张书签不放回,再抽取1张书签),求抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”的概率。(请用画树状图或列表的方法说明理由)

解：
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
(2) 分别用“春”“夏”“秋”“冬”代表四张书签，列表如下：
| 第一次\第二次 | 春 | 夏 | 秋 | 冬 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 春 | — | (春,夏) | (春,秋) | (春,冬) |
| 夏 | (夏,春) | — | (夏,秋) | (夏,冬) |
| 秋 | (秋,春) | (秋,夏) | — | (秋,冬) |
| 冬 | (冬,春) | (冬,夏) | (冬,秋) | — |
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的2张书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果有2种。
因此所求概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

【分析】
(1) 第一问属于简单古典概型问题：4张书签除图案外完全相同，任意抽取1张时，4种结果出现的可能性相等，恰好抽到“夏”的结果仅1种，直接根据古典概型概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$即可计算。
(2) 第二问是不放回的两步抽样概率问题，需通过列表法枚举所有等可能结果：第一次抽取有4种可能，因抽取后不放回，第二次抽取仅剩3种可能，总计可得到所有等可能结果；再从中筛选出“1张春、1张秋”的结果，代入概率公式计算即可，枚举时注意不要重复、遗漏结果。
【解析】
(1) 任意抽取1张书签，总共有4种等可能的结果，其中抽到“夏”的结果有1种，因此恰好抽到“夏”的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 分别用“春”“夏”“秋”“冬”代表四张书签，不放回抽取的情况列表如下：
| 第一次\第二次 | 春 | 夏 | 秋 | 冬 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 春 | — | (春,夏) | (春,秋) | (春,冬) |
| 夏 | (夏,春) | — | (夏,秋) | (夏,冬) |
| 秋 | (秋,春) | (秋,夏) | — | (秋,冬) |
| 冬 | (冬,春) | (冬,夏) | (冬,秋) | — |
由列表可得，共有12种等可能的结果，其中恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果有2种，即(春,秋)、(秋,春)。
因此所求概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
古典概型，列表法求概率，概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，重点考察古典概型的理解与两步试验概率的求解能力，解题的核心是准确区分放回抽样和不放回抽样的差异，枚举结果时做到不重不漏。
【难度系数】
0.75