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20. (9分)如图13,E是矩形ABCD中CD边上一点,将$△ ADE$沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处。
(1)写出图中一定相似的三角形,并证明;
(2)若图中的相似三角形超过2对,试求这样的矩形两邻边,即$\frac{AB}{BC}$的值。
(1)写出图中一定相似的三角形,并证明;
(2)若图中的相似三角形超过2对,试求这样的矩形两邻边,即$\frac{AB}{BC}$的值。
答案
解：(1) 图中一定相似的三角形是$△ ABF ∽ △ FCE$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ BAF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ AFE = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ CFE = 180° - ∠ AFE = 90°$，
∴ $∠ BAF = ∠ CFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ FCE$。
(2) 由折叠性质得$△ ADE ≌ △ AFE$，全等是特殊的相似，即$△ ADE ∽ △ AFE$，结合(1)中$△ ABF ∽ △ FCE$，已有2对相似三角形。
若相似三角形超过2对，则必有$△ ABF$与$△ AFE$相似。
∵ $∠ AFE = ∠ B = 90°$，
∴ 对应角相等可得$∠ BAF = ∠ FAE$，
结合折叠性质$∠ FAE = ∠ DAE$，得$∠ BAF = ∠ FAE = ∠ DAE$。
∵ $∠ BAF + ∠ FAE + ∠ DAE = ∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ BAF = 30°$。
设$BC = AD = AF = a$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中：
$BF = \frac{1}{2}AF = \frac{a}{2}$，
$AB = \sqrt{AF^2 - BF^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ BAF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ AFE = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ CFE = 180° - ∠ AFE = 90°$，
∴ $∠ BAF = ∠ CFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ FCE$。
(2) 由折叠性质得$△ ADE ≌ △ AFE$，全等是特殊的相似，即$△ ADE ∽ △ AFE$，结合(1)中$△ ABF ∽ △ FCE$，已有2对相似三角形。
若相似三角形超过2对，则必有$△ ABF$与$△ AFE$相似。
∵ $∠ AFE = ∠ B = 90°$，
∴ 对应角相等可得$∠ BAF = ∠ FAE$，
结合折叠性质$∠ FAE = ∠ DAE$，得$∠ BAF = ∠ FAE = ∠ DAE$。
∵ $∠ BAF + ∠ FAE + ∠ DAE = ∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ BAF = 30°$。
设$BC = AD = AF = a$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中：
$BF = \frac{1}{2}AF = \frac{a}{2}$，
$AB = \sqrt{AF^2 - BF^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要确定图中一定相似的三角形，先结合矩形的性质得到内角均为直角，再根据折叠的性质得到∠AFE=90°，利用同角的余角相等推导两组角对应相等，即可证明相似；这组相似不受矩形边长的影响，是一定成立的。
(2) 首先由折叠可知△ADE≌△AFE，全等属于特殊的相似，此时已有2对相似三角形；若相似三角形超过2对，则需△ABF与△AFE相似，结合直角相等的条件，可推导三个角∠BAF、∠FAE、∠DAE相等，结合∠BAD=90°得到每个角为30°，再利用直角三角形的性质和勾股定理计算边长，即可求出两邻边的比值。
【解析】
(1) 图中一定相似的三角形是$△ ABF ∽ △ FCE$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ BAF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ AFE = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ CFE = 180° - ∠ AFE = 90°$，
∴ $∠ BAF = ∠ CFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ FCE$。
(2) 由折叠性质得$△ ADE ≌ △ AFE$，全等是特殊的相似，即$△ ADE ∽ △ AFE$，结合(1)中$△ ABF ∽ △ FCE$，已有2对相似三角形。
若相似三角形超过2对，则必有$△ ABF$与$△ AFE$相似。
∵ $∠ AFE = ∠ B = 90°$，
∴ 对应角相等可得$∠ BAF = ∠ FAE$，
结合折叠性质$∠ FAE = ∠ DAE$，得$∠ BAF = ∠ FAE = ∠ DAE$。
∵ $∠ BAF + ∠ FAE + ∠ DAE = ∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ BAF = 30°$。
设$BC = AD = AF = a$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中：
$BF = \frac{1}{2}AF = \frac{a}{2}$，
$AB = \sqrt{AF^2 - BF^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $△ ABF ∽ △ FCE$；(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合折叠变换考察几何核心知识，第一问难度较低，掌握相似三角形的判定定理即可求解；第二问需要先明确相似三角形的对数要求，再推导对应角的数量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定图中一定相似的三角形，先结合矩形的性质得到内角均为直角，再根据折叠的性质得到∠AFE=90°，利用同角的余角相等推导两组角对应相等，即可证明相似；这组相似不受矩形边长的影响，是一定成立的。
(2) 首先由折叠可知△ADE≌△AFE，全等属于特殊的相似，此时已有2对相似三角形；若相似三角形超过2对，则需△ABF与△AFE相似，结合直角相等的条件，可推导三个角∠BAF、∠FAE、∠DAE相等，结合∠BAD=90°得到每个角为30°，再利用直角三角形的性质和勾股定理计算边长，即可求出两邻边的比值。
【解析】
(1) 图中一定相似的三角形是$△ ABF ∽ △ FCE$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ BAF + ∠ AFB = 90°$。
由折叠的性质得$∠ AFE = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ AFB + ∠ CFE = 180° - ∠ AFE = 90°$，
∴ $∠ BAF = ∠ CFE$，
∴ $△ ABF ∽ △ FCE$。
(2) 由折叠性质得$△ ADE ≌ △ AFE$，全等是特殊的相似，即$△ ADE ∽ △ AFE$，结合(1)中$△ ABF ∽ △ FCE$，已有2对相似三角形。
若相似三角形超过2对，则必有$△ ABF$与$△ AFE$相似。
∵ $∠ AFE = ∠ B = 90°$，
∴ 对应角相等可得$∠ BAF = ∠ FAE$，
结合折叠性质$∠ FAE = ∠ DAE$，得$∠ BAF = ∠ FAE = ∠ DAE$。
∵ $∠ BAF + ∠ FAE + ∠ DAE = ∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ BAF = 30°$。
设$BC = AD = AF = a$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中：
$BF = \frac{1}{2}AF = \frac{a}{2}$，
$AB = \sqrt{AF^2 - BF^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $△ ABF ∽ △ FCE$；(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合折叠变换考察几何核心知识，第一问难度较低，掌握相似三角形的判定定理即可求解；第二问需要先明确相似三角形的对数要求，再推导对应角的数量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
21. (10分)(1)已知$P(-1,3),Q(3,1)$为平面直角坐标系中的两点,二次函数$y=ax^2 -2x +3(a＜0)$的图象与线段$PQ$有两个不同的交点,求$a$的取值范围。
(2)若抛物线$y=ax^2 -2x +3(a＜0)$经过点$A(-3,0),M(m,y_1),N(m+2,y_2)$为二次函数$y=ax^2 -2x +3$图象上的两点,试判断是否存在实数$m$使得$y_1 +2y_2=10$。若存在,求出$m$的值;若不存在,请说明理由。
(2)若抛物线$y=ax^2 -2x +3(a＜0)$经过点$A(-3,0),M(m,y_1),N(m+2,y_2)$为二次函数$y=ax^2 -2x +3$图象上的两点,试判断是否存在实数$m$使得$y_1 +2y_2=10$。若存在,求出$m$的值;若不存在,请说明理由。
答案
解：(1) 设线段PQ对应的直线解析式为$y=kx+b$，将$P(-1,3)$、$Q(3,1)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{5}{2} \end{cases}$，
因此线段PQ的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2} \quad (-1≤ x≤ 3)$。
联立二次函数与直线方程：
$ax^2 -2x +3 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$
整理得：$2ax^2 -3x +1 = 0$。
由题意，该方程在区间$[-1,3]$上有两个不同的实数根，且$a＜0$。
设$f(x)=2ax^2 -3x +1$，其开口向下：
① 判别式$\Delta=9-8a$，因$a＜0$，故$\Delta=9-8a＞9＞0$，方程恒有两个不同实根；
② 端点处函数值满足：
$f(-1)=2a+4≤0$，解得$a≤-2$；
$f(3)=18a-8≤0$，因$a＜0$，该不等式恒成立；
③ 对称轴$x=\dfrac{3}{4a}$，因$a＜0$，要使两根都落在$[-1,3]$内，需$\dfrac{3}{4a}＞-1$，结合$a＜0$解得$a＜-\dfrac{3}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$\boldsymbol{a≤-2}$。
(2) 将点$A(-3,0)$代入抛物线$y=ax^2-2x+3$得：
$0=9a +6 +3$，解得$a=-1$，
因此抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$。
由题意得：
$y_1=-m^2-2m+3$，
$y_2=-(m+2)^2-2(m+2)+3=-m^2-6m-5$。
代入$y_1+2y_2=10$得：
$(-m^2-2m+3)+2(-m^2-6m-5)=10$
整理得：$3m^2+14m+17=0$。
该一元二次方程的判别式$\Delta=14^2-4×3×17=196-204=-8＜0$，方程无实数根。
答：不存在实数$m$使得$y_1+2y_2=10$。
$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{5}{2} \end{cases}$，
因此线段PQ的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2} \quad (-1≤ x≤ 3)$。
联立二次函数与直线方程：
$ax^2 -2x +3 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$
整理得：$2ax^2 -3x +1 = 0$。
由题意，该方程在区间$[-1,3]$上有两个不同的实数根，且$a＜0$。
设$f(x)=2ax^2 -3x +1$，其开口向下：
① 判别式$\Delta=9-8a$，因$a＜0$，故$\Delta=9-8a＞9＞0$，方程恒有两个不同实根；
② 端点处函数值满足：
$f(-1)=2a+4≤0$，解得$a≤-2$；
$f(3)=18a-8≤0$，因$a＜0$，该不等式恒成立；
③ 对称轴$x=\dfrac{3}{4a}$，因$a＜0$，要使两根都落在$[-1,3]$内，需$\dfrac{3}{4a}＞-1$，结合$a＜0$解得$a＜-\dfrac{3}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$\boldsymbol{a≤-2}$。
(2) 将点$A(-3,0)$代入抛物线$y=ax^2-2x+3$得：
$0=9a +6 +3$，解得$a=-1$，
因此抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$。
由题意得：
$y_1=-m^2-2m+3$，
$y_2=-(m+2)^2-2(m+2)+3=-m^2-6m-5$。
代入$y_1+2y_2=10$得：
$(-m^2-2m+3)+2(-m^2-6m-5)=10$
整理得：$3m^2+14m+17=0$。
该一元二次方程的判别式$\Delta=14^2-4×3×17=196-204=-8＜0$，方程无实数根。
答：不存在实数$m$使得$y_1+2y_2=10$。
解析
【分析】
(1) 要解决二次函数图象与线段PQ有两个不同交点的问题，首先需要求出线段PQ对应的一次函数解析式，明确x的取值范围为[-1,3]；再联立二次函数和一次函数解析式，整理得到关于x的一元二次方程，结合a＜0的条件，从判别式、端点函数值符号、对称轴位置三个维度列不等式，最终取所有不等式的交集得到a的取值范围。
(2) 先将点A坐标代入抛物线解析式求出a的值，得到具体的二次函数表达式；再用含m的式子分别表示出y₁和y₂，代入y₁+2y₂=10得到关于m的一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有实根，即可确定是否存在符合条件的m。
【解析】
(1) 设线段PQ对应的直线解析式为$y=kx+b$，将$P(-1,3)$、$Q(3,1)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{5}{2} \end{cases}$，
因此线段PQ的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2} \quad (-1≤ x≤ 3)$。
联立二次函数与直线方程：
$ax^2 -2x +3 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$
整理得：$2ax^2 -3x +1 = 0$。
由题意，该方程在区间$[-1,3]$上有两个不同的实数根，且$a＜0$，设$f(x)=2ax^2 -3x +1$，其图象开口向下：
① 判别式$\Delta=9-8a$，因$a＜0$，故$\Delta=9-8a＞9＞0$，方程恒有两个不同实根；
② 端点处函数值满足：
$f(-1)=2a+4≤0$，解得$a≤-2$；
$f(3)=18a-8≤0$，因$a＜0$，该不等式恒成立；
③ 对称轴$x=\dfrac{3}{4a}$，因$a＜0$，要使两根都落在$[-1,3]$内，需$\dfrac{3}{4a}＞-1$，结合$a＜0$解得$a＜-\dfrac{3}{4}$。
综上，取所有条件的交集，得$a$的取值范围是$a≤-2$。
(2) 将点$A(-3,0)$代入抛物线$y=ax^2-2x+3$得：
$0=9a +6 +3$，解得$a=-1$，
因此抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$。
由题意得：
$y_1=-m^2-2m+3$，
$y_2=-(m+2)^2-2(m+2)+3=-m^2-6m-5$。
代入$y_1+2y_2=10$得：
$(-m^2-2m+3)+2(-m^2-6m-5)=10$
整理得：$3m^2+14m+17=0$。
该一元二次方程的判别式$\Delta=14^2-4×3×17=196-204=-8＜0$，方程无实数根。
故不存在实数$m$使得$y_1+2y_2=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a≤-2}$；(2) 不存在符合条件的实数$m$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数与线段交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于代数综合题型，既考查了函数解析式求解、函数图象交点的转化方法，也考查了一元二次方程根的判定。第一问的易错点是容易忽略交点在线段上的限制，仅通过判别式判断根的个数，遗漏自变量取值范围的相关约束，解题时要注意区分“与直线相交”和“与线段相交”的差异。
【难度系数】
0.4
(1) 要解决二次函数图象与线段PQ有两个不同交点的问题，首先需要求出线段PQ对应的一次函数解析式，明确x的取值范围为[-1,3]；再联立二次函数和一次函数解析式，整理得到关于x的一元二次方程，结合a＜0的条件，从判别式、端点函数值符号、对称轴位置三个维度列不等式，最终取所有不等式的交集得到a的取值范围。
(2) 先将点A坐标代入抛物线解析式求出a的值，得到具体的二次函数表达式；再用含m的式子分别表示出y₁和y₂，代入y₁+2y₂=10得到关于m的一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有实根，即可确定是否存在符合条件的m。
【解析】
(1) 设线段PQ对应的直线解析式为$y=kx+b$，将$P(-1,3)$、$Q(3,1)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{5}{2} \end{cases}$，
因此线段PQ的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2} \quad (-1≤ x≤ 3)$。
联立二次函数与直线方程：
$ax^2 -2x +3 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$
整理得：$2ax^2 -3x +1 = 0$。
由题意，该方程在区间$[-1,3]$上有两个不同的实数根，且$a＜0$，设$f(x)=2ax^2 -3x +1$，其图象开口向下：
① 判别式$\Delta=9-8a$，因$a＜0$，故$\Delta=9-8a＞9＞0$，方程恒有两个不同实根；
② 端点处函数值满足：
$f(-1)=2a+4≤0$，解得$a≤-2$；
$f(3)=18a-8≤0$，因$a＜0$，该不等式恒成立；
③ 对称轴$x=\dfrac{3}{4a}$，因$a＜0$，要使两根都落在$[-1,3]$内，需$\dfrac{3}{4a}＞-1$，结合$a＜0$解得$a＜-\dfrac{3}{4}$。
综上，取所有条件的交集，得$a$的取值范围是$a≤-2$。
(2) 将点$A(-3,0)$代入抛物线$y=ax^2-2x+3$得：
$0=9a +6 +3$，解得$a=-1$，
因此抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$。
由题意得：
$y_1=-m^2-2m+3$，
$y_2=-(m+2)^2-2(m+2)+3=-m^2-6m-5$。
代入$y_1+2y_2=10$得：
$(-m^2-2m+3)+2(-m^2-6m-5)=10$
整理得：$3m^2+14m+17=0$。
该一元二次方程的判别式$\Delta=14^2-4×3×17=196-204=-8＜0$，方程无实数根。
故不存在实数$m$使得$y_1+2y_2=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a≤-2}$；(2) 不存在符合条件的实数$m$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数与线段交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于代数综合题型，既考查了函数解析式求解、函数图象交点的转化方法，也考查了一元二次方程根的判定。第一问的易错点是容易忽略交点在线段上的限制，仅通过判别式判断根的个数，遗漏自变量取值范围的相关约束，解题时要注意区分“与直线相交”和“与线段相交”的差异。
【难度系数】
0.4
