22. (10分)(2025·达州)为弘扬达州地方文化,让更多游客了解巴人故里,某文旅公司推出多款文创产品。已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元,当售价为40元时,每天可以售出60件。经调查发现,售价每降价1元,每天可以多售出10件。
(1)设该款吉祥物降价x元,则每天售出的数量是件。
(2)为让利于游客,该款吉祥物应该降价多少元,文旅公司每天的利润是630元?
(3)文旅公司每天售卖该款吉祥物的利润为W元,当售价为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少?

解：
(1) $\boldsymbol{60+10x}$
(2) 根据总利润=单件利润×销售数量，列方程：
$(40 - 30 - x)(60 + 10x) = 630$
整理得：
$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-3)=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=3$。
∵ 要让利于游客，应选择更大的降价幅度，
∴ $x=3$。
答：该款吉祥物应该降价3元。
(3) 由题意得：
$\begin{aligned}W&=(40 - 30 - x)(60 + 10x)\\&=-10x^2 + 40x + 600\\&=-10(x-2)^2 + 640\end{aligned}$
∵ $-10＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当$x=2$时，W取得最大值，最大值为640。
此时售价为 $40 - 2 = 38$ 元。
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。

【分析】
1. 第(1)问：根据题目给出的销量变化规律，原销量为60件，每降价1元多售出10件，降价x元时多售出10x件，将原销量和新增销量相加即可得到总销量。
2. 第(2)问：销售类问题核心公式为“总利润=单件利润×销售数量”，先表示出降价x元后的单件利润（原售价-成本-降价金额），再结合第(1)问的销量表达式列一元二次方程，求解后根据“让利于游客”的要求，选择降价幅度更大的解即可。
3. 第(3)问：先根据利润公式写出总利润W关于x的二次函数表达式，将其整理为顶点式，结合二次项系数的正负判断函数开口方向，开口向下时顶点对应函数最大值，求出对应x值后再计算此时的售价和最大利润。
【解析】
(1) 原销量为60件，降价x元时新增销量为10x件，因此每天售出的数量是$60+10x$件。
(2) 根据总利润公式列方程：
$(40 - 30 - x)(60 + 10x) = 630$
整理得：$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=3$。
∵要让利于游客，需选择更大的降价幅度，
∴$x=3$。
答：该款吉祥物应该降价3元。
(3) 由题意得：
$\begin{aligned}W&=(40 - 30 - x)(60 + 10x)\\&=-10x^2 + 40x + 600\\&=-10(x-2)^2 + 640\end{aligned}$
∵$-10＜0$，二次函数图象开口向下，
∴当$x=2$时，W取得最大值，最大值为640。
此时售价为 $40 - 2 = 38$ 元。
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60+10x}$
(2) 3元
(3) 售价为38元时，最大利润为640元
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，销售利润问题
【点评】
本题结合实际文旅场景考查销售类应用题，需要熟练掌握售价、成本、销量、利润之间的数量关系，解题时注意题目中的限定条件避免漏解，同时要掌握二次函数顶点式求最值的方法。
【难度系数】
0.7

23. (11分)如图14,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC=3\sqrt{2}$,$P$是$△ ABC$内部一点,过点$P$分别作$PM ⊥ BC$,$PF ⊥ AB$,$PG ⊥ AC$,垂足分别为点$M,F,G$,$PM=1$。
(1)设$BM$的长为$x(1＜x＜5)$,则$PF$的长可以用含$x$的式子表示为,PG的长可以用含$x$的式子表示为;
(2)连接$MF$,$MG$,当$△ PMF$与$△ PMG$相似时,求$BM$的长。

(1) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)}$；$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}(5-x)}$
(2) $BM$的长为$3$，$3+\sqrt{2}$或$3-\sqrt{2}$。

【分析】
(1) 先判断△ABC是等腰直角三角形，计算得BC长为6，可通过建立平面直角坐标系确定各点位置，结合PM⊥BC得到P点坐标，再利用点到直线的距离公式即可推导PF、PG的表达式；也可借助等腰直角三角形45°角的性质，结合垂线的距离关系推导。
(2) 先证明△PMF和△PMG中都有45°的角（∠MPF=∠MPG=45°），两三角形相似需分两种对应情况讨论：①45°角为对应角，夹边成比例即PF=PG；②45°角的夹边交叉成比例即PM²=PF·PG，分别列方程求解后验证解是否在取值范围内即可。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=$3\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=6$，且$∠ B=∠ C=45°$。
设$B(0,0)$，$C(6,0)$，$A(3,3)$，则AB直线解析式为$y=x$，AC直线解析式为$y=-x+6$。
$\because BM=x$，$PM⊥ BC$，$PM=1$，$\therefore P$点坐标为$(x,1)$。
PF为点P到AB的距离，由点到直线距离公式得：$PF=\frac{|x-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$，$\because 1＜x＜5$，$\therefore PF=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)$。
PG为点P到AC的距离，同理得：$PG=\frac{|x+1-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(5-x)$。
(2) 由垂线的角度关系可推得$∠ MPF=∠ MPG=45°$，两三角形相似分两种情况：
① 当$△ PMF ∽ △ PMG$时，对应边比例为$\frac{PM}{PM}=\frac{PF}{PG}$，即$PF=PG$：
$\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}(5-x)$，解得$x=3$，符合$1＜x＜5$。
② 当$△ PMF ∽ △ PGM$时，对应边比例为$\frac{PM}{PG}=\frac{PF}{PM}$，即$PM^2=PF· PG$：
$\because PM=1$，$\therefore 1=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)· \frac{\sqrt{2}}{2}(5-x)$，
化简得：$x^2-6x+7=0$，解得$x=3\pm\sqrt{2}$，均满足$1＜x＜5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)}$；$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}(5-x)}$
(2) $BM$的长为$3$，$3+\sqrt{2}$或$3-\sqrt{2}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质；相似三角形的判定与性质；点到直线的距离
【点评】
本题综合考查等腰直角三角形和相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形分类讨论的思路，避免漏解，通过坐标法可以简化距离类表达式的推导过程。
【难度系数】
0.6