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1. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$。若把 $Rt△ ABC$ 的各边的长都缩小为原来的 $\frac{1}{4}$，则 $∠ A$ 的正切值 （）
A.缩小为原来的 $\frac{1}{4}$
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的 $\frac{1}{2}$
D.不变
A.缩小为原来的 $\frac{1}{4}$
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的 $\frac{1}{2}$
D.不变
答案
D
解析
【分析】
解题时可从两个角度思考：①从正切的定义出发，先写出∠A正切值的表达式，再计算边长缩小后的正切值，对比两个值是否变化；②从锐角三角函数的本质出发，锐角的三角函数值仅与角的大小有关，判断边长缩放后∠A的大小是否变化，即可得到正切值的变化情况。各边按相同比例缩小后，新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此正切值不变。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
将$Rt△ABC$各边的长都缩小为原来的$\frac{1}{4}$后，新三角形的对应边长为$\frac{1}{4}BC$、$\frac{1}{4}AC$、$\frac{1}{4}AB$，此时∠A的正切值为：
$\tan A' = \frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{1}{4}AC} = \frac{BC}{AC} = \tan A$
同时，各边按比例缩放后得到的三角形与原三角形相似，∠A的大小不发生改变，而锐角的三角函数值仅由角的大小决定，因此∠A的正切值不变。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；相似三角形的性质；锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，解题时要明确：锐角的三角函数值只和角的大小有关，与对应边的长短无关，不要被边长缩放的条件误导。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个角度思考：①从正切的定义出发，先写出∠A正切值的表达式，再计算边长缩小后的正切值，对比两个值是否变化；②从锐角三角函数的本质出发，锐角的三角函数值仅与角的大小有关，判断边长缩放后∠A的大小是否变化，即可得到正切值的变化情况。各边按相同比例缩小后，新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此正切值不变。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
将$Rt△ABC$各边的长都缩小为原来的$\frac{1}{4}$后，新三角形的对应边长为$\frac{1}{4}BC$、$\frac{1}{4}AC$、$\frac{1}{4}AB$，此时∠A的正切值为：
$\tan A' = \frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{1}{4}AC} = \frac{BC}{AC} = \tan A$
同时，各边按比例缩放后得到的三角形与原三角形相似，∠A的大小不发生改变，而锐角的三角函数值仅由角的大小决定，因此∠A的正切值不变。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；相似三角形的性质；锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，解题时要明确：锐角的三角函数值只和角的大小有关，与对应边的长短无关，不要被边长缩放的条件误导。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:BC=1:\sqrt{3}$，则$\sin B$的值为（）
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。已知直角三角形两条直角边的比例，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度，最后代入正弦的定义即可求出$\sin B$的值，解题时要注意找准$∠ B$的对边，避免混淆对边和邻边。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:BC=1:\sqrt{3}$
$\therefore$ 可设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=\sqrt{3}k$
根据勾股定理，斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(\sqrt{3}k)^2}=\sqrt{k^2+3k^2}=\sqrt{4k^2}=2k$
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
代入数值可得：$\sin B=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
3. 比例参数法
【点评】
本题是基础类题型，核心考查直角三角形中锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，通过设参数处理边长比例问题是常用的解题技巧，只要准确掌握锐角正弦的定义，理清直角三角形各边与对应角的关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。已知直角三角形两条直角边的比例，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度，最后代入正弦的定义即可求出$\sin B$的值，解题时要注意找准$∠ B$的对边，避免混淆对边和邻边。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:BC=1:\sqrt{3}$
$\therefore$ 可设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=\sqrt{3}k$
根据勾股定理，斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(\sqrt{3}k)^2}=\sqrt{k^2+3k^2}=\sqrt{4k^2}=2k$
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
代入数值可得：$\sin B=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
3. 比例参数法
【点评】
本题是基础类题型，核心考查直角三角形中锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，通过设参数处理边长比例问题是常用的解题技巧，只要准确掌握锐角正弦的定义，理清直角三角形各边与对应角的关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 图1是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则$\cosα$的值为（）
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
D
解析
【分析】
首先根据正方形面积公式可分别求出大、小正方形的边长；再结合弦图的结构特征，四个直角三角形全等，可知直角三角形较长直角边与较短直角边的差等于小正方形的边长，结合勾股定理即可求出直角三角形两条直角边的长度；最后根据较小锐角α的邻边和斜边，代入余弦的定义即可求出$\cosα$的值。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为25，
∴大正方形的边长为$\sqrt{25}=5$，即直角三角形的斜边长为5。
∵小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$。
设直角三角形较短的直角边长为$x$，则较长的直角边长为$x+1$，
根据勾股定理可得：
$x^2 + (x+1)^2 = 5^2$
整理得$x^2+x-12=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-4$（边长为正数，舍去），
∴直角三角形较短直角边长为3，较长直角边长为$3+1=4$。
∵α是直角三角形中较小的锐角，
∴α的邻边为较长的直角边4，斜边为5，
根据余弦的定义可得：$\cosα=\frac{邻边}{斜边}=\frac{4}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，余弦的定义，正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，结合了几何图形性质与锐角三角函数计算的考查，需要学生准确提取图形中的边长关系，是经典的基础综合题，可很好的考查学生的读图能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形面积公式可分别求出大、小正方形的边长；再结合弦图的结构特征，四个直角三角形全等，可知直角三角形较长直角边与较短直角边的差等于小正方形的边长，结合勾股定理即可求出直角三角形两条直角边的长度；最后根据较小锐角α的邻边和斜边，代入余弦的定义即可求出$\cosα$的值。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为25，
∴大正方形的边长为$\sqrt{25}=5$，即直角三角形的斜边长为5。
∵小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$。
设直角三角形较短的直角边长为$x$，则较长的直角边长为$x+1$，
根据勾股定理可得：
$x^2 + (x+1)^2 = 5^2$
整理得$x^2+x-12=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-4$（边长为正数，舍去），
∴直角三角形较短直角边长为3，较长直角边长为$3+1=4$。
∵α是直角三角形中较小的锐角，
∴α的邻边为较长的直角边4，斜边为5，
根据余弦的定义可得：$\cosα=\frac{邻边}{斜边}=\frac{4}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，余弦的定义，正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，结合了几何图形性质与锐角三角函数计算的考查，需要学生准确提取图形中的边长关系，是经典的基础综合题，可很好的考查学生的读图能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图2,方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点。若△ABC的顶点都在方格的格点上,则sinA=。
答案
解：
过点B作BD⊥AC于点D。
由每个小正方形边长为1，可得：
$AB=2$，
$AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 2=\frac{1}{2}×2×2=2$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BD$，代入得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}× BD=2$，
解得$BD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
$\sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
过点B作BD⊥AC于点D。
由每个小正方形边长为1，可得：
$AB=2$，
$AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 2=\frac{1}{2}×2×2=2$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BD$，代入得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}× BD=2$，
解得$BD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
$\sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要求sinA，首先回忆正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，因此需要先构造∠A所在的直角三角形。我们可以过点B作BD⊥AC于D，得到Rt△ABD，此时sinA=BD/AB。其中AB的长度可直接数格得到，BD是△ABC中AC边上的高，可先通过格点计算△ABC的面积和AC的长度，再利用三角形面积公式反求BD，最后代入公式计算即可。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D。
∵每个小正方形边长为1，
∴AB的长度为2个单位，即$AB=2$；
由勾股定理得$AC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
△ABC以AB为底时，高为2个单位，因此面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×2=\frac{1}{2}×2×2=2$；
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD$，将AC和面积代入得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×BD=2$，解得$BD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
在Rt△ABD中，$∠ADB=90°$，
∴$\sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合面积法求出所需高的长度，解题过程中要注意勾股定理的正确应用和二次根式的化简。
【难度系数】
0.7
要求sinA，首先回忆正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，因此需要先构造∠A所在的直角三角形。我们可以过点B作BD⊥AC于D，得到Rt△ABD，此时sinA=BD/AB。其中AB的长度可直接数格得到，BD是△ABC中AC边上的高，可先通过格点计算△ABC的面积和AC的长度，再利用三角形面积公式反求BD，最后代入公式计算即可。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D。
∵每个小正方形边长为1，
∴AB的长度为2个单位，即$AB=2$；
由勾股定理得$AC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
△ABC以AB为底时，高为2个单位，因此面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×2=\frac{1}{2}×2×2=2$；
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD$，将AC和面积代入得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×BD=2$，解得$BD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
在Rt△ABD中，$∠ADB=90°$，
∴$\sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合面积法求出所需高的长度，解题过程中要注意勾股定理的正确应用和二次根式的化简。
【难度系数】
0.7
5. 如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=20,S_{△ ABC}=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$,求sinB,cosB及tanB的值。
答案
解：过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×20 = 10$。
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}·BC·AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
代入BC=20得：$\frac{1}{2}×20×AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
解得$AD = \frac{10\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 + 10^2} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$。
∴$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{2}$，
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{10}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×20 = 10$。
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}·BC·AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
代入BC=20得：$\frac{1}{2}×20×AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
解得$AD = \frac{10\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 + 10^2} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$。
∴$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{2}$，
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{10}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
解析
【分析】
要求∠B的锐角三角函数值，需先将∠B放在直角三角形中研究。首先结合等腰三角形AB=AC的特征，利用“三线合一”的性质，过点A作AD⊥BC于D，即可得到Rt△ABD，且可先求出BD的长度；再结合已知的三角形面积和BC的长度，用三角形面积公式求出高AD的长度；接着在Rt△ABD中用勾股定理求出斜边AB的长度；最后根据锐角三角函数的定义，分别代入对应边长计算即可得到sinB、cosB、tanB的值。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×20 = 10$。
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}·BC·AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
代入BC=20得：$\frac{1}{2}×20×AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
解得$AD = \frac{10\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 + 10^2} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$。
∴$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{2}$，
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{10}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\sin B=\frac{1}{2}$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造出包含∠B的直角三角形，再结合面积公式、勾股定理求得直角三角形各边长，最后代入三角函数定义计算即可，计算过程中注意二次根式的化简，避免出错。
【难度系数】
0.7
要求∠B的锐角三角函数值，需先将∠B放在直角三角形中研究。首先结合等腰三角形AB=AC的特征，利用“三线合一”的性质，过点A作AD⊥BC于D，即可得到Rt△ABD，且可先求出BD的长度；再结合已知的三角形面积和BC的长度，用三角形面积公式求出高AD的长度；接着在Rt△ABD中用勾股定理求出斜边AB的长度；最后根据锐角三角函数的定义，分别代入对应边长计算即可得到sinB、cosB、tanB的值。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×20 = 10$。
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}·BC·AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
代入BC=20得：$\frac{1}{2}×20×AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，
解得$AD = \frac{10\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 + 10^2} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$。
∴$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{2}$，
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{10}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\sin B=\frac{1}{2}$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造出包含∠B的直角三角形，再结合面积公式、勾股定理求得直角三角形各边长，最后代入三角函数定义计算即可，计算过程中注意二次根式的化简，避免出错。
【难度系数】
0.7
