6. 如图4,在平面直角坐标系中,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=$\frac{3}{5}$。
(1)求点B的坐标;
(2)求cos∠BAO的值。

解：
(1) 过点B作BH⊥x轴，垂足为H。
在Rt△BOH中，∠OHB=90°，BO=5，
由$\sin∠ BOA=\frac{BH}{BO}=\frac{3}{5}$，得：
$BH = BO · \sin∠ BOA = 5 × \frac{3}{5} = 3$，
由勾股定理得：
$OH = \sqrt{BO^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
因为点B在第一象限，所以点B的坐标为$(4,3)$。
(2) 已知点A坐标为$(10,0)$，所以$OA=10$，
$AH = OA - OH = 10 - 4 = 6$，
在Rt△ABH中，$∠ AHB=90°$，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}$，
所以$\cos∠ BAO = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

【分析】
(1) 求点B的坐标时，因点B在第一象限，横纵坐标均为正数，因此考虑过B作x轴的垂线BH构造直角三角形，BH即为B点纵坐标，OH即为B点横坐标。在Rt△BOH中，已知BO长度和sin∠BOA的值，先利用正弦定义求出BH，再用勾股定理算出OH，即可得到B点坐标。
(2) 求cos∠BAO的值时，首先明确∠BAO是直角三角形ABH的内角，先根据A点坐标求出OA长度，进而算出AH的长度，再用勾股定理求出AB长度，最后根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边/斜边）代入计算即可。
【解析】
(1) 过点B作BH⊥x轴，垂足为H。
在Rt△BOH中，∠OHB=90°，BO=5，
由$\sin∠BOA=\frac{BH}{BO}=\frac{3}{5}$，得：
$BH = BO · \sin∠BOA = 5 × \frac{3}{5} = 3$，
由勾股定理得：
$OH = \sqrt{BO^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
因为点B在第一象限，所以点B的坐标为$(4,3)$。
(2) 已知点A坐标为$(10,0)$，所以$OA=10$，
$AH = OA - OH = 10 - 4 = 6$，
在Rt△ABH中，$∠AHB=90°$，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}$，
所以$\cos∠BAO = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,3)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，作高构造直角三角形是平面直角坐标系中求解边角问题的常用辅助线方法，解题时需结合三角函数定义和勾股定理逐步推导，注意三角函数结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7

1. (2025·天津)$\tan45°-\sqrt{2}\cos45°$的值等于（）

A.0
B.1
C.$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1-\sqrt{2}$

A

【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路如下：首先回忆并确定45°角的正切值和余弦值，再将数值代入原式，按照先算乘法、后算减法的实数运算顺序计算，最终匹配选项即可。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\tan45°=1$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}\tan45°-\sqrt{2}\cos45°&=1 - \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=1 - \frac{(\sqrt{2})^2}{2}\\&=1 - \frac{2}{2}\\&=1 - 1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，运算量小，熟练掌握30°、45°、60°的三角函数值是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 若一个三角形三个内角度数的比为$1:2:3$，则这个三角形最小角的正切值为（）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C

【分析】
要解决这道题，首先我们需要结合三角形内角和定理求出三个内角的具体度数，再找到最小内角计算它的正切值。具体思路如下：第一步，已知三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法表示三个角的度数；第二步，利用三角形内角和为180°的性质列方程，求解得到各角的度数；第三步，确定最小的内角，结合特殊角的三角函数值得到最终结果。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$。
根据三角形内角和定理，三个内角之和为180°，可列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
因此三个内角分别为$30°$、$60°$、$90°$，最小的角是$30°$。
根据特殊角的三角函数值，$\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，比例的应用
【点评】
本题是基础常考题，解题关键是先利用角度比例关系和内角和定理求出最小角的度数，再结合特殊角的三角函数值求解，主要考查基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$30°$,腰长为$a$,则其底边上的高是 ()

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
B.$a$
C.$\frac{1}{2}a$
D.$\frac{1}{2}a$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

D

【分析】
解题时需对等腰三角形的类型进行分类讨论：腰上的高的位置随三角形是锐角或钝角发生变化，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部。先根据高与腰的夹角计算出对应顶角的度数，再结合等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值，分别计算两种情况下底边上的高即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
在高与腰构成的直角三角形中，已知高与另一腰的夹角为30°，可得顶角为$90°-30°=60°$。
顶角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，边长均为$a$，则底边上的高$h_1=a·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
在高与腰的延长线构成的直角三角形中，已知高与另一腰的夹角为30°，可得顶角的邻补角为$90°-30°=60°$，因此顶角为$180°-60°=120°$。
等腰三角形底边上的高平分顶角，将原三角形分为两个含60°角的直角三角形，因此底边上的高$h_2=a·\cos60°=\frac{1}{2}a$。
综上，底边上的高是$\frac{1}{2}a$或$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略等腰三角形的分类，漏掉高在三角形外部的情况。解题时要先结合图形梳理所有可能的情况，再利用特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.6

4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\frac{1}{2}$，则$\cos B=$。

$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

【分析】
解题时首先结合直角三角形的性质，明确两个锐角∠A和∠B互余，即∠A+∠B=90°。我们可以有两种解题思路：思路一，先根据$\sin A=\frac{1}{2}$求出∠A的度数，再求出∠B的度数，最后代入计算$\cos B$的值；思路二，直接利用互余角的三角函数关系：若两个锐角$α+β=90°$，则$\cosα=\sinβ$，直接代入求值即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
解法1：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$
∵ $\sin A = \frac{1}{2}$，且$∠ A$为锐角
∴ $∠ A = 30°$
∴ $∠ B = 90° - 30° = 60°$
∴ $\cos B = \cos60° = \frac{1}{2}$
解法2：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ B = 90° - ∠ A$
根据互余角的三角函数性质：$\cos(90°-α)=\sinα$
可得$\cos B = \cos(90°-∠ A) = \sin A = \frac{1}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；特殊角的三角函数值；互余角的三角函数关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，两种解题方法都较为常规，熟练掌握特殊角的三角函数值、理解互余锐角的三角函数对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

5. 定义一种运算：$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$，$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$。例如：当$α=45°$，$β=30°$时，$\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，则$\sin15°$的值为。

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

【分析】
解题的核心思路是将非特殊角15°转化为我们已知三角函数值的两个特殊角的差，结合题目给出的正弦差角运算公式进行计算。首先思考15°可以拆分为45°-30°（也可拆为60°-45°），确定α和β的取值后，代入给定公式，再代入特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
我们可以将15°表示为45°-30°，根据题目给出的运算公式$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$，令$α=45°$，$β=30°$，代入得：
$\begin{aligned}\sin15°&=\sin(45°-30°)\\&=\sin45°\cos30°-\cos45°\sin30°\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}\\&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
新定义运算、特殊角的三角函数值、二次根式运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是将所求角度拆分为两个特殊角的差，准确套用给定的运算公式，同时牢记特殊角的三角函数值，计算时注意二次根式的运算规则即可。
【难度系数】
0.8

6. 计算：
(1) $2\cos^2 30° - 2\sin 60° · \cos 45°$；
(2) $2\sin 30° - 3\tan 45° + 4\cos 60°$。

解：
(1) 原式$=2×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=2×\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2}$
$=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}$
$=\frac{3-\sqrt{6}}{2}$
(2) 原式$=2×\frac{1}{2} - 3×1 + 4×\frac{1}{2}$
$=1 - 3 + 2$
$=0$

【分析】
本题是特殊角三角函数的混合运算题，解题思路清晰：首先要准确记忆30°、45°、60°对应的正弦、余弦、正切值，再将对应值代入原式，按照实数运算顺序，先算乘方、乘法，再算加减，最后化简得到结果即可。计算时要注意根式乘法的运算规则，避免符号或计算失误。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$：
原式$=2×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
先计算乘方和乘法运算：
$=2×\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2}$
$=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}$
合并得最终结果：
$=\frac{3-\sqrt{6}}{2}$
(2) 代入特殊角的三角函数值$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$，$\cos60°=\frac{1}{2}$：
原式$=2×\frac{1}{2} - 3×1 + 4×\frac{1}{2}$
先计算乘法运算：
$=1 - 3 + 2$
再计算加减运算得最终结果：
$=0$
【答案】
(1) $\frac{3-\sqrt{6}}{2}$；(2) $0$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度和基础运算能力，只要牢记特殊角的三角函数值，严格遵循运算顺序计算，注意根式运算的准确性，即可顺利得分。
【难度系数】
0.85