7. 如图5,已知$∠ AOB=60°$,点$P$在边$OA$上,$OP=12$,点$M,N$在边$OB$上,$PM=PN$,$MN=2$,求$OM$。

解：过点P作PC⊥OB于点C。
在Rt△OPC中，∠AOB=60°，OP=12，
∴ $OC = OP·\cos60° = 12×\frac{1}{2}=6$。
∵ PM=PN，PC⊥MN，
∴ $MC = NC = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}×2=1$。
∴ $OM = OC - MC = 6 - 1 = 5$。

【分析】
要求OM的长度，我们可以通过作辅助线转化线段关系：首先过点P作OB的垂线，一方面可以构造出含60°角的直角三角形OPC，利用特殊角的三角函数求出OC的长度；另一方面，等腰△PMN中，底边上的高满足三线合一的性质，可求出MC的长度，最后用OC减去MC即可得到OM的长度。
【解析】
过点P作PC⊥OB于点C。
在Rt△OPC中，∠AOB=60°，OP=12，
∴ $OC = OP·\cos60° = 12×\frac{1}{2}=6$。
∵ PM=PN，PC⊥MN，
∴ $MC = NC = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}×2=1$。
∴ $OM = OC - MC = 6 - 1 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形性质，特殊角的三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是常见的几何线段计算类题目，解题核心是作垂线构造直角三角形，同时结合等腰三角形三线合一的性质转化线段关系，需要熟练掌握此类辅助线的构造思路，灵活运用几何性质和三角函数计算线段长度。
【难度系数】
0.7

1. (2024·云南)如图6,在$△ ABC$中,若$∠ B=90°$,$AB=3$,$BC=4$,则$\tan A=$ ()

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

C

【分析】
要计算直角三角形中锐角A的正切值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。首先确定∠A所在的直角三角形是Rt△ABC，∠B为直角，接下来找到∠A的对边和邻边，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AB}$
已知$AB=3$，$BC=4$，代入得：
$\tan A = \frac{4}{3}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角正切定义的理解与应用，解题的关键是准确区分对应角的对边和邻边，避免混淆二者导致计算错误。
【难度系数】
0.8

2. 等腰三角形中,腰和底的长分别是10和13,则三角形底角的度数约为(用科学计算器计算,结果精确到0.1°)。

$\boldsymbol{49.5°}$

【分析】
要求等腰三角形的底角度数，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的高构造直角三角形，把底角放在直角三角形中，结合锐角三角函数的定义求出底角的三角函数值，再用科学计算器计算出对应角度即可。具体思考路径：第一步作底边上的高，得到两个全等的直角三角形；第二步计算底边一半的长度，明确直角三角形中底角的邻边和斜边长度；第三步根据余弦定义写出底角的余弦值；第四步用计算器计算反余弦值，按要求精确角度。
【解析】
解：设等腰$△ ABC$中，腰$AB=AC=10$，底$BC=13$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
根据等腰三角形三线合一的性质，可得：$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{13}{2}=6.5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B$是等腰三角形的底角，由余弦的定义得：
$\cos B=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{AB}=\frac{6.5}{10}=0.65$
用科学计算器计算反余弦值，结果精确到$0.1°$，可得$∠ B\approx49.5°$。
【答案】
$\boldsymbol{49.5°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、余弦的定义、计算器求锐角角度
【点评】
本题属于三角函数基础应用类题目，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将等腰三角形的边角问题转化为直角三角形的边角问题求解，计算时注意按要求保留精度即可。
【难度系数】
0.7

3. (1)求满足下列条件的锐角∠A的度数(结果精确到1°):
①$\sin A=0.981\ 6$;
②$\tan A=0.189\ 0$。
(2)求下列各式的值(结果精确到0.000 1):
①$\tan63°27'$;
②$\cos18°59'27''$。

解：
(1) ① 使用计算器计算反三角函数，得$∠ A \approx \arcsin0.9816 \approx 79°$；
② 使用计算器计算反三角函数，得$∠ A \approx \arctan0.1890 \approx 11°$。
(2) ① 先将角度换算为小数度：$63°27' = 63° + \frac{27}{60}° = 63.45°$，使用计算器计算得$\tan63°27' \approx 2.0057$；
② 先将角度换算为小数度：$18°59'27'' = 18° + \frac{59}{60}° + \frac{27}{3600}° \approx 18.9908°$，使用计算器计算得$\cos18°59'27'' \approx 0.9456$。

【分析】
本题分为已知三角函数值求锐角度数、已知角度求三角函数值两类计算，解题思路如下：
1. 对于已知锐角的三角函数值求角度的问题，需使用计算器的反三角函数（反正弦、反正切）功能，结合题目要求的精确度取近似值即可，注意所求角度为锐角，直接取反三角函数的正值结果。
2. 对于已知度分秒形式的角度求三角函数值的问题，首先要根据度、分、秒60进制的换算规则，将度分秒换算为小数度，再用计算器计算对应三角函数值，最后按要求保留小数位数。
【解析】
(1) ① 已知$\sin A=0.9816$，$∠ A$为锐角，使用计算器计算反正弦值：
$∠ A = \arcsin0.9816 \approx 79°$
② 已知$\tan A=0.1890$，$∠ A$为锐角，使用计算器计算反正切值：
$∠ A = \arctan0.1890 \approx 11°$
(2) ① 先将$63°27'$换算为小数度：
$63°27' = 63° + \frac{27}{60}° = 63.45°$
使用计算器计算正切值：
$\tan63°27' = \tan63.45° \approx 2.0057$
② 先将$18°59'27''$换算为小数度：
$18°59'27'' = 18° + \frac{59}{60}° + \frac{27}{3600}° \approx 18.9908°$
使用计算器计算余弦值：
$\cos18°59'27'' = \cos18.9908° \approx 0.9456$
【答案】
(1) ①$\boxed{79°}$；②$\boxed{11°}$
(2) ①$\boxed{2.0057}$；②$\boxed{0.9456}$
【知识点】
反三角函数求角度；度分秒单位换算；三角函数值计算
【点评】
本题属于三角函数基础计算类题目，核心考查计算器的使用和度分秒换算规则，解题时需注意明确精确度要求，换算单位时要牢记度、分、秒的60进制关系，避免换算错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8

4. 某河堤横断面如图7所示，堤高$BC=5\ \mathrm{m}$，迎水坡$AB$的长为$8\ \mathrm{m}$，求迎水坡$AB$与水平面所夹的锐角的度数(结果精确到$0.1°$)。

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{8} = 0.625$，
利用计算器计算得∠A≈38.7°。
答：迎水坡AB与水平面所夹的锐角约为38.7°。

【分析】
首先明确所求锐角为迎水坡AB与水平面AC的夹角∠A，观察图形可得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。已知∠A的对边BC、斜边AB的长度，根据锐角三角函数的定义，对边与斜边的比值为∠A的正弦值，因此先求出sinA的数值，再借助计算器计算出∠A的度数，最后按要求精确到0.1°即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
由正弦函数的定义可得：$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{8} = 0.625$，
利用计算器计算得：$∠ A\approx38.7°$。
答：迎水坡AB与水平面所夹的锐角约为$38.7°$。
【答案】
$38.7°$
【知识点】
正弦函数定义、解直角三角形、计算器求锐角
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，结合生活实际场景，主要考查对锐角三角函数定义的掌握程度，以及运用计算器求解锐角角度的能力，找准直角三角形中角和对应边的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8