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5. 身高相同的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)：
| | 甲 | 乙 | 丙 |
| --- | --- | --- | --- |
| 放出风筝线长/m |
100 | 100 | 90 |
| 线与地面夹角/° | 40 | 45 | 60 |
问:三人所放风筝中,谁的最高?谁的最低?
| | 甲 | 乙 | 丙 |
| --- | --- | --- | --- |
| 放出风筝线长/m |
100 | 100 | 90 || 线与地面夹角/° | 40 | 45 | 60 |
问:三人所放风筝中,谁的最高?谁的最低?
答案
解：设三名同学的身高均为$h_0$，根据直角三角形中正弦的定义，分别计算三人风筝距离地面的总高度：
甲的风筝高度：
$h_甲 = 100·\sin40° + h_0 \approx 100×0.6428 + h_0 = 64.28 + h_0$
乙的风筝高度：
$h_乙 = 100·\sin45° + h_0 \approx 100×0.7071 + h_0 = 70.71 + h_0$
丙的风筝高度：
$h_丙 = 90·\sin60° + h_0 \approx 90×0.8660 + h_0 = 77.94 + h_0$
比较大小可得：$77.94 + h_0 ＞ 70.71 + h_0 ＞ 64.28 + h_0$。
答：三人所放风筝中，丙的最高，甲的最低。
甲的风筝高度：
$h_甲 = 100·\sin40° + h_0 \approx 100×0.6428 + h_0 = 64.28 + h_0$
乙的风筝高度：
$h_乙 = 100·\sin45° + h_0 \approx 100×0.7071 + h_0 = 70.71 + h_0$
丙的风筝高度：
$h_丙 = 90·\sin60° + h_0 \approx 90×0.8660 + h_0 = 77.94 + h_0$
比较大小可得：$77.94 + h_0 ＞ 70.71 + h_0 ＞ 64.28 + h_0$。
答：三人所放风筝中，丙的最高，甲的最低。
解析
【分析】
要比较三人风筝的高度，首先明确风筝总高度由两部分组成：同学的身高，以及风筝相对于同学手部的竖直高度。由于三人身长相同，只需比较后者即可。后者可放在直角三角形中分析：风筝线为斜边，竖直高度是线与地面夹角的对边，根据正弦的定义，对边=斜边×sin夹角，因此分别计算三人的竖直高度，再比较大小就能得到结论。
【解析】
设三名同学的身高均为$h_0$，根据直角三角形中正弦的定义$\sinα=\frac{对边}{斜边}$，分别计算三人风筝距离地面的总高度：
甲的风筝高度：
$h_甲 = 100·\sin40° + h_0 \approx 100×0.6428 + h_0 = 64.28 + h_0$
乙的风筝高度：
$h_乙 = 100·\sin45° + h_0 \approx 100×0.7071 + h_0 = 70.71 + h_0$
丙的风筝高度：
$h_丙 = 90·\sin60° + h_0 \approx 90×0.8660 + h_0 = 77.94 + h_0$
比较大小可得：$77.94 + h_0 ＞ 70.71 + h_0 ＞ 64.28 + h_0$，即$h_丙＞h_乙＞h_甲$。
【答案】
丙的风筝最高，甲的风筝最低。
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 解直角三角形的应用
3. 实数大小比较
【点评】
本题是三角函数在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际的风筝高度问题转化为直角三角形中边长计算的问题，利用锐角三角函数求解后比较大小即可，需要注意题目中“身高相同”的条件可以简化比较过程，无需考虑身高对结果的影响。
【难度系数】
0.7
要比较三人风筝的高度，首先明确风筝总高度由两部分组成：同学的身高，以及风筝相对于同学手部的竖直高度。由于三人身长相同，只需比较后者即可。后者可放在直角三角形中分析：风筝线为斜边，竖直高度是线与地面夹角的对边，根据正弦的定义，对边=斜边×sin夹角，因此分别计算三人的竖直高度，再比较大小就能得到结论。
【解析】
设三名同学的身高均为$h_0$，根据直角三角形中正弦的定义$\sinα=\frac{对边}{斜边}$，分别计算三人风筝距离地面的总高度：
甲的风筝高度：
$h_甲 = 100·\sin40° + h_0 \approx 100×0.6428 + h_0 = 64.28 + h_0$
乙的风筝高度：
$h_乙 = 100·\sin45° + h_0 \approx 100×0.7071 + h_0 = 70.71 + h_0$
丙的风筝高度：
$h_丙 = 90·\sin60° + h_0 \approx 90×0.8660 + h_0 = 77.94 + h_0$
比较大小可得：$77.94 + h_0 ＞ 70.71 + h_0 ＞ 64.28 + h_0$，即$h_丙＞h_乙＞h_甲$。
【答案】
丙的风筝最高，甲的风筝最低。
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 解直角三角形的应用
3. 实数大小比较
【点评】
本题是三角函数在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际的风筝高度问题转化为直角三角形中边长计算的问题，利用锐角三角函数求解后比较大小即可，需要注意题目中“身高相同”的条件可以简化比较过程，无需考虑身高对结果的影响。
【难度系数】
0.7
1. (2024·临夏州)如图8,在△ABC中,AB=AC=5,sinB=$\dfrac{4}{5}$,则BC的长是 ()
A.3
B.6
C.8
D.9
A.3
B.6
C.8
D.9
答案
B
解析
【分析】
已知△ABC是等腰三角形，要求底边BC的长，我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高AD，将△ABC分成两个全等的直角三角形，把问题转化为解直角三角形ABD的问题，先求出BD的长度，再根据BC=2BD即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，AB=5，
∴$AD=AB×\frac{4}{5}=5×\frac{4}{5}=4$。
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴BC=2BD=2×3=6。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、解直角三角形、勾股定理
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的边长计算问题，熟练掌握等腰三角形性质和锐角三角函数的定义是解题的基础。
【难度系数】
0.8
已知△ABC是等腰三角形，要求底边BC的长，我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高AD，将△ABC分成两个全等的直角三角形，把问题转化为解直角三角形ABD的问题，先求出BD的长度，再根据BC=2BD即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，AB=5，
∴$AD=AB×\frac{4}{5}=5×\frac{4}{5}=4$。
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴BC=2BD=2×3=6。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、解直角三角形、勾股定理
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的边长计算问题，熟练掌握等腰三角形性质和锐角三角函数的定义是解题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 如图9，AD是$△ ABC$的高。若$BD=2CD=6$，$\tan C=2$，则边$AB$的长为（）
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{7}$
D.$6\sqrt{2}$
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{7}$
D.$6\sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据BD=2CD=6求出CD的长度，再结合AD是△ABC的高可得△ADC和△ADB都是直角三角形；接下来利用Rt△ADC中tanC的定义求出高AD的长度，最后在Rt△ADB中用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=2$，
∴$AD=2× CD=2×3=6$，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是先利用锐角三角函数的定义求出公共高AD的长度，再结合勾股定理求解目标线段长度，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据BD=2CD=6求出CD的长度，再结合AD是△ABC的高可得△ADC和△ADB都是直角三角形；接下来利用Rt△ADC中tanC的定义求出高AD的长度，最后在Rt△ADB中用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=2$，
∴$AD=2× CD=2×3=6$，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是先利用锐角三角函数的定义求出公共高AD的长度，再结合勾股定理求解目标线段长度，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$3a=\sqrt{3}b$，$∠ A$，$∠ B$的对边分别为$a$，$b$，则$∠ A=$ $°$，$\sin A=$ 。
答案
$30$；$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中求锐角度数及锐角正弦值的问题，解题思路如下：第一步，回忆锐角三角函数中正切的定义，∠A的正切值等于其对边a与邻边b的比值，正好可以结合题目给出的a、b的数量关系计算tanA的值；第二步，结合特殊角的三角函数值，由tanA的结果确定∠A的度数；第三步，根据特殊角的三角函数值直接写出sinA的结果即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 根据正切的定义，$\tan A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}} = \frac{a}{b}$。
已知$3a=\sqrt{3}b$，对等式变形可得：
$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
结合特殊角的三角函数值可知，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ A=30°$。
再根据特殊角的三角函数值，$\sin30°=\frac{1}{2}$，即$\sin A=\frac{1}{2}$。
【答案】
$30$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查解直角三角形的基础应用，只要熟练掌握锐角三角函数的定义和30°、45°、60°等常见特殊角的三角函数值，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中求锐角度数及锐角正弦值的问题，解题思路如下：第一步，回忆锐角三角函数中正切的定义，∠A的正切值等于其对边a与邻边b的比值，正好可以结合题目给出的a、b的数量关系计算tanA的值；第二步，结合特殊角的三角函数值，由tanA的结果确定∠A的度数；第三步，根据特殊角的三角函数值直接写出sinA的结果即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 根据正切的定义，$\tan A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}} = \frac{a}{b}$。
已知$3a=\sqrt{3}b$，对等式变形可得：
$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
结合特殊角的三角函数值可知，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ A=30°$。
再根据特殊角的三角函数值，$\sin30°=\frac{1}{2}$，即$\sin A=\frac{1}{2}$。
【答案】
$30$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查解直角三角形的基础应用，只要熟练掌握锐角三角函数的定义和30°、45°、60°等常见特殊角的三角函数值，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a,b,c$，根据下列条件解直角三角形。
(1)已知$a=4\sqrt{3},b=4$，求$∠ A$；
(2)已知$a=\frac{1}{3},c=\frac{\sqrt{2}}{3}$，求$b$；
(3)已知$c=28\sqrt{2},a=14\sqrt{6}$，求$∠ B$；
(4)已知$b=4\sqrt{2},\cos B=\frac{1}{3}$，求$a$。
(1)已知$a=4\sqrt{3},b=4$，求$∠ A$；
(2)已知$a=\frac{1}{3},c=\frac{\sqrt{2}}{3}$，求$b$；
(3)已知$c=28\sqrt{2},a=14\sqrt{6}$，求$∠ B$；
(4)已知$b=4\sqrt{2},\cos B=\frac{1}{3}$，求$a$。
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$，
$\because ∠ A$是锐角，
$\therefore ∠ A=60°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{2}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\cos B = \frac{a}{c} = \frac{14\sqrt{6}}{28\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because ∠ B$是锐角，
$\therefore ∠ B=30°$。
(4) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \cos B = \frac{a}{c} = \frac{1}{3}$，
$\therefore$设$a=k$，则$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入$b=4\sqrt{2}$得：
$k^2 + (4\sqrt{2})^2 = (3k)^2$，
整理得$8k^2=32$，
解得$k=2$（负值舍去），
$\therefore a=2$。
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$，
$\because ∠ A$是锐角，
$\therefore ∠ A=60°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{2}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\cos B = \frac{a}{c} = \frac{14\sqrt{6}}{28\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because ∠ B$是锐角，
$\therefore ∠ B=30°$。
(4) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \cos B = \frac{a}{c} = \frac{1}{3}$，
$\therefore$设$a=k$，则$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入$b=4\sqrt{2}$得：
$k^2 + (4\sqrt{2})^2 = (3k)^2$，
整理得$8k^2=32$，
解得$k=2$（负值舍去），
$\therefore a=2$。
解析
【分析】
这是解直角三角形的基础题型，解题核心是利用直角三角形的两类运算工具：①勾股定理（三边数量关系）；②锐角三角函数（边角对应关系），同时需牢记特殊锐角的三角函数值。各小问的思考路径如下：
(1)已知两条直角边求锐角∠A，选用正切函数（对边/邻边）计算三角函数值，再对应特殊角的度数即可；
(2)已知斜边和一条直角边，求另一条直角边，直接代入勾股定理计算即可；
(3)已知斜边和∠B的邻边，求∠B，选用余弦函数（邻边/斜边）计算三角函数值，再对应特殊角的度数即可；
(4)已知∠B的余弦值和直角边b，先根据三角函数定义设参数表示a、c，再代入勾股定理列方程求解参数即可得到a的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$，
$\because ∠ A$是锐角，
$\therefore ∠ A=60°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{2}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\cos B = \frac{a}{c} = \frac{14\sqrt{6}}{28\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because ∠ B$是锐角，
$\therefore ∠ B=30°$。
(4) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \cos B = \frac{a}{c} = \frac{1}{3}$，
$\therefore$设$a=k$，则$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入$b=4\sqrt{2}$得：
$k^2 + (4\sqrt{2})^2 = (3k)^2$，
整理得$8k^2=32$，
解得$k=2$（负值舍去），
$\therefore a=2$。
【答案】
(1)$∠A=60°$；(2)$b=\frac{1}{3}$；(3)$∠B=30°$；(4)$a=2$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考查勾股定理、锐角三角函数定义及特殊角三角函数值的应用，熟练掌握直角三角形边角关系的转化方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
这是解直角三角形的基础题型，解题核心是利用直角三角形的两类运算工具：①勾股定理（三边数量关系）；②锐角三角函数（边角对应关系），同时需牢记特殊锐角的三角函数值。各小问的思考路径如下：
(1)已知两条直角边求锐角∠A，选用正切函数（对边/邻边）计算三角函数值，再对应特殊角的度数即可；
(2)已知斜边和一条直角边，求另一条直角边，直接代入勾股定理计算即可；
(3)已知斜边和∠B的邻边，求∠B，选用余弦函数（邻边/斜边）计算三角函数值，再对应特殊角的度数即可；
(4)已知∠B的余弦值和直角边b，先根据三角函数定义设参数表示a、c，再代入勾股定理列方程求解参数即可得到a的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$，
$\because ∠ A$是锐角，
$\therefore ∠ A=60°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{2}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\cos B = \frac{a}{c} = \frac{14\sqrt{6}}{28\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because ∠ B$是锐角，
$\therefore ∠ B=30°$。
(4) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \cos B = \frac{a}{c} = \frac{1}{3}$，
$\therefore$设$a=k$，则$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入$b=4\sqrt{2}$得：
$k^2 + (4\sqrt{2})^2 = (3k)^2$，
整理得$8k^2=32$，
解得$k=2$（负值舍去），
$\therefore a=2$。
【答案】
(1)$∠A=60°$；(2)$b=\frac{1}{3}$；(3)$∠B=30°$；(4)$a=2$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考查勾股定理、锐角三角函数定义及特殊角三角函数值的应用，熟练掌握直角三角形边角关系的转化方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
