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5. 如图10,在△ABC中,∠C=90°,tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=$\sqrt{3}$。求AB的长。
答案
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ A=30°$，
∴ $∠ ABC=90°-∠ A=60°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，$∠ CBD=30°$，$CD=\sqrt{3}$，
由$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BC}$，得：
$BC=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$∠ A=30°$，
∴ $AB=2BC=6$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ A=30°$，
∴ $∠ ABC=90°-∠ A=60°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，$∠ CBD=30°$，$CD=\sqrt{3}$，
由$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BC}$，得：
$BC=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$∠ A=30°$，
∴ $AB=2BC=6$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先Rt△ABC中给出了tanA的取值，可先利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数，进而得到∠ABC的度数；再结合BD是∠ABC的角平分线，求出∠CBD的度数；之后在Rt△BCD中，已知CD的长度和∠CBD的正切值，即可求出BC的长度；最后在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，就能求出AB的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ A=30°$，
∴ $∠ ABC=90°-∠ A=60°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，$∠ CBD=30°$，$CD=\sqrt{3}$，
由$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BC}$，得：
$BC=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$∠ A=30°$，
∴ $AB=2BC=6$。
【答案】
$AB=6$
【知识点】
1.解直角三角形 2.角平分线的定义 3.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，综合考查了特殊角的三角函数值、角平分线定义和直角三角形的性质，解题时只需从已知条件逐步推导，熟记特殊角的三角函数值和直角三角形相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知条件入手：首先Rt△ABC中给出了tanA的取值，可先利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数，进而得到∠ABC的度数；再结合BD是∠ABC的角平分线，求出∠CBD的度数；之后在Rt△BCD中，已知CD的长度和∠CBD的正切值，即可求出BC的长度；最后在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，就能求出AB的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ A=30°$，
∴ $∠ ABC=90°-∠ A=60°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
在Rt△BCD中，∠C=90°，$∠ CBD=30°$，$CD=\sqrt{3}$，
由$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BC}$，得：
$BC=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$∠ A=30°$，
∴ $AB=2BC=6$。
【答案】
$AB=6$
【知识点】
1.解直角三角形 2.角平分线的定义 3.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，综合考查了特殊角的三角函数值、角平分线定义和直角三角形的性质，解题时只需从已知条件逐步推导，熟记特殊角的三角函数值和直角三角形相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
6. (2024·浙江)如图11,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AE$是$BC$边上的中线,$AB=10$,$AD=6$,$\tan∠ ACB=1$。
(1)求$BC$的长；
(2)求$\sin∠ DAE$的值。
(1)求$BC$的长；
(2)求$\sin∠ DAE$的值。
答案
解：
(1) ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，
∴ DC=AD=6。
∴ BC=BD + DC=8 + 6=14。
(2) ∵ AE是BC边上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=7$。
∴ ED=EC - DC=7 - 6=1。
在Rt△ADE中，AD=6，DE=1，
由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{6^2 + 1^2}=\sqrt{37}$。
∴ $\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
(1) ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，
∴ DC=AD=6。
∴ BC=BD + DC=8 + 6=14。
(2) ∵ AE是BC边上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=7$。
∴ ED=EC - DC=7 - 6=1。
在Rt△ADE中，AD=6，DE=1，
由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{6^2 + 1^2}=\sqrt{37}$。
∴ $\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求BC的长度：观察图形可知BC=BD+DC，已知AD⊥BC，因此△ABD和△ADC都是直角三角形。首先在Rt△ABD中，已知斜边AB和直角边AD，可通过勾股定理计算BD的长度；再在Rt△ADC中，由tan∠ACB=1，结合正切的定义（对边比邻边）可推出DC=AD，得到DC的长度，将BD和DC相加即可得到BC的长。
(2) 求sin∠DAE的值：首先根据AE是BC边上的中线，利用中线的性质算出EC的长度，再通过ED=EC-DC算出DE的长度；在Rt△ADE中，先通过勾股定理算出斜边AE的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边），用DE的长度除以AE的长度，化简后即可得到sin∠DAE的值。
【解析】
(1)
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，
∴ DC=AD=6。
∴ BC=BD + DC=8 + 6=14。
(2)
∵ AE是BC边上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=7$。
∴ ED=EC - DC=7 - 6=1。
在Rt△ADE中，AD=6，DE=1，
由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{6^2 + 1^2}=\sqrt{37}$。
∴ $\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{14}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{37}}{37}}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，三角形中线性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，将直角三角形的性质、三角函数定义和三角形中线的知识点结合考查，解题的关键是理清各线段的数量关系，逐步推导计算即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求BC的长度：观察图形可知BC=BD+DC，已知AD⊥BC，因此△ABD和△ADC都是直角三角形。首先在Rt△ABD中，已知斜边AB和直角边AD，可通过勾股定理计算BD的长度；再在Rt△ADC中，由tan∠ACB=1，结合正切的定义（对边比邻边）可推出DC=AD，得到DC的长度，将BD和DC相加即可得到BC的长。
(2) 求sin∠DAE的值：首先根据AE是BC边上的中线，利用中线的性质算出EC的长度，再通过ED=EC-DC算出DE的长度；在Rt△ADE中，先通过勾股定理算出斜边AE的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边），用DE的长度除以AE的长度，化简后即可得到sin∠DAE的值。
【解析】
(1)
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，
∴ DC=AD=6。
∴ BC=BD + DC=8 + 6=14。
(2)
∵ AE是BC边上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=7$。
∴ ED=EC - DC=7 - 6=1。
在Rt△ADE中，AD=6，DE=1，
由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{6^2 + 1^2}=\sqrt{37}$。
∴ $\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{14}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{37}}{37}}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，三角形中线性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，将直角三角形的性质、三角函数定义和三角形中线的知识点结合考查，解题的关键是理清各线段的数量关系，逐步推导计算即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
1. (2025·深圳)如图12为人行天桥的示意图,若高BC长为10米,斜道AC长为30米,则sinA的值为 ()
A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.3
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.3
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
D
解析
【分析】
要计算sinA的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。首先根据题意判断△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，找到∠A的对边和斜边，代入比值计算即可。
【解析】
由题意可知，BC是人行天桥的高，因此BC⊥AB，即△ABC为直角三角形，∠ABC=90°。
根据锐角正弦的定义：$\sin A = \frac{∠ A的对边}{\mathrm{斜边}}$，其中∠A的对边是BC，斜边是AC。
已知BC=10米，AC=30米，代入得：
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角正弦的定义，解直角三角形
【点评】
本题是基础题型，核心考查对锐角正弦函数定义的理解与应用，解题关键是准确找到直角三角形中对应角的对边和斜边，属于三角函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
要计算sinA的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。首先根据题意判断△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，找到∠A的对边和斜边，代入比值计算即可。
【解析】
由题意可知，BC是人行天桥的高，因此BC⊥AB，即△ABC为直角三角形，∠ABC=90°。
根据锐角正弦的定义：$\sin A = \frac{∠ A的对边}{\mathrm{斜边}}$，其中∠A的对边是BC，斜边是AC。
已知BC=10米，AC=30米，代入得：
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角正弦的定义，解直角三角形
【点评】
本题是基础题型，核心考查对锐角正弦函数定义的理解与应用，解题关键是准确找到直角三角形中对应角的对边和斜边，属于三角函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
2. (2024·长春)2024年5月29日16时12分，长春净月一号卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射。如图13，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为 ()
A.$a\sinθ$ 千米
B.$\dfrac{a}{\sinθ}$千米
C.$a\cosθ$ 千米
D.$\dfrac{a}{\cosθ}$千米
A.$a\sinθ$ 千米
B.$\dfrac{a}{\sinθ}$千米
C.$a\cosθ$ 千米
D.$\dfrac{a}{\cosθ}$千米
答案
A
解析
【分析】
这是一道结合航天发射场景的三角函数实际应用题，解题思路清晰：首先明确几何关系，火箭距海平面的高度AL垂直于海平面，因此△ALR为直角三角形，∠ALR=90°。其次梳理已知量：R到A的距离AR是斜边，长度为a千米，观测点R的仰角θ即∠ARL=θ，待求的AL是∠θ的对边。根据正弦函数的定义“正弦值=对边/斜边，代入已知量即可求出AL的长度。
【解析】
解：由题意可知，AL垂直于海平面RL，因此△ALR为直角三角形，∠ALR=90°。
在Rt△ALR中，斜边AR = a千米，∠ARL=θ，AL为∠ARL的对边。
根据正弦函数的定义：
$\sinθ = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AL}{AR}$
因此$AL = AR · \sinθ = a\sinθ$千米。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角函数的应用，正弦函数定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题结合航天发射热点场景，考查三角函数的实际应用能力，需要学生准确识别直角三角形中的边角对应关系，正确选用合适的三角函数公式求解，题目贴合实际，难度较低。
【难度系数】
0.8
这是一道结合航天发射场景的三角函数实际应用题，解题思路清晰：首先明确几何关系，火箭距海平面的高度AL垂直于海平面，因此△ALR为直角三角形，∠ALR=90°。其次梳理已知量：R到A的距离AR是斜边，长度为a千米，观测点R的仰角θ即∠ARL=θ，待求的AL是∠θ的对边。根据正弦函数的定义“正弦值=对边/斜边，代入已知量即可求出AL的长度。
【解析】
解：由题意可知，AL垂直于海平面RL，因此△ALR为直角三角形，∠ALR=90°。
在Rt△ALR中，斜边AR = a千米，∠ARL=θ，AL为∠ARL的对边。
根据正弦函数的定义：
$\sinθ = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AL}{AR}$
因此$AL = AR · \sinθ = a\sinθ$千米。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角函数的应用，正弦函数定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题结合航天发射热点场景，考查三角函数的实际应用能力，需要学生准确识别直角三角形中的边角对应关系，正确选用合适的三角函数公式求解，题目贴合实际，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 如图14,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地, $BC// AD,BE⊥ AD$,斜坡AB长26 m,斜坡AB的坡比为12:5。为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造。经地质人员勘测,当坡角不超过$50°$时,可确保山体不滑坡。如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿BC至少向右移 m时,才能确保山体不滑坡。(取$\tan50°=1.2$)
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，根据斜坡AB的坡比和长度，利用勾股定理计算出斜坡的垂直高度BE和水平宽度AE；第二步，明确改造的临界条件：当新坡角恰好为50°时，坡顶移动距离最小，且改造前后坡面的垂直高度不变（因BC平行AD，坡顶水平移动后垂直高度和BE相等）；第三步，利用50°的正切值算出新斜坡的水平宽度AH，坡顶移动的距离等于AH与AE的差值，即可得到结果。
【解析】
解：设坡顶B沿BC向右移至点F时，坡角$∠ FAE=50°$，此时移动距离最小，过F作$FH⊥ AD$于H。
∵斜坡AB的坡比为$12:5$，即$BE:AE=12:5$，
∴设$BE=12x\ \mathrm{m}$，$AE=5x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：$AE^2+BE^2=AB^2$，
代入$AB=26\ \mathrm{m}$得：$(5x)^2+(12x)^2=26^2$，
化简得：$169x^2=676$，解得$x=2$（长度为正，舍去负根），
∴$BE=12×2=24\ \mathrm{m}$，$AE=5×2=10\ \mathrm{m}$。
∵$BC// AD$，$BE⊥ AD$，$FH⊥ AD$，
∴四边形BEHF是矩形，
∴$FH=BE=24\ \mathrm{m}$，$BF=EH$。
在$\mathrm{Rt}△ AFH$中，$\tan50°=\frac{FH}{AH}$，已知$\tan50°=1.2$，
∴$AH=\frac{FH}{\tan50°}=\frac{24}{1.2}=20\ \mathrm{m}$，
∴$BF=EH=AH-AE=20-10=10\ \mathrm{m}$。
即坡顶B沿BC至少向右移10m才能确保山体不滑坡。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
坡比的概念，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题结合山体坡面改造的实际场景，考查解直角三角形的实际应用，解题核心是抓住改造前后坡面垂直高度不变的特点，找到坡角为50°的临界状态计算，解题思路清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，根据斜坡AB的坡比和长度，利用勾股定理计算出斜坡的垂直高度BE和水平宽度AE；第二步，明确改造的临界条件：当新坡角恰好为50°时，坡顶移动距离最小，且改造前后坡面的垂直高度不变（因BC平行AD，坡顶水平移动后垂直高度和BE相等）；第三步，利用50°的正切值算出新斜坡的水平宽度AH，坡顶移动的距离等于AH与AE的差值，即可得到结果。
【解析】
解：设坡顶B沿BC向右移至点F时，坡角$∠ FAE=50°$，此时移动距离最小，过F作$FH⊥ AD$于H。
∵斜坡AB的坡比为$12:5$，即$BE:AE=12:5$，
∴设$BE=12x\ \mathrm{m}$，$AE=5x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：$AE^2+BE^2=AB^2$，
代入$AB=26\ \mathrm{m}$得：$(5x)^2+(12x)^2=26^2$，
化简得：$169x^2=676$，解得$x=2$（长度为正，舍去负根），
∴$BE=12×2=24\ \mathrm{m}$，$AE=5×2=10\ \mathrm{m}$。
∵$BC// AD$，$BE⊥ AD$，$FH⊥ AD$，
∴四边形BEHF是矩形，
∴$FH=BE=24\ \mathrm{m}$，$BF=EH$。
在$\mathrm{Rt}△ AFH$中，$\tan50°=\frac{FH}{AH}$，已知$\tan50°=1.2$，
∴$AH=\frac{FH}{\tan50°}=\frac{24}{1.2}=20\ \mathrm{m}$，
∴$BF=EH=AH-AE=20-10=10\ \mathrm{m}$。
即坡顶B沿BC至少向右移10m才能确保山体不滑坡。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
坡比的概念，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题结合山体坡面改造的实际场景，考查解直角三角形的实际应用，解题核心是抓住改造前后坡面垂直高度不变的特点，找到坡角为50°的临界状态计算，解题思路清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
